Baixe Números Inteiros, Fracionários e Decimais: Exercícios Resolvidos e Propostos e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
CAPÍ TULO 1
1- NÚMEROS INTEIROS, FRACIONÁRIOS E DECIMAIS.
1.1- NÚMEROS NATURAIS
Os números naturais surgiram quando as primeiras civilizações começaram a contar os seus rebanhos. Então, surgiram os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... À representação dos números chamamos de numeral, por exemplo: 19 é o numeral representado pelos algarismos 1 e 9.
1.1.2- CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( `)
Representaremos o conjunto de todos os números naturais por:
`= { 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,...}
1.1.3- NÚMEROS PARES E NÚMEROS ÍMPARES
Chamaremos de números pares aos números múltiplos de 2, isto é: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,... Chamaremos de números ímpares aos números naturais que não são pares, isto é: 1, 3, 5, 7, 9,...
1.2- NÚMEROS INTEIROS Estudaremos no ensino fundamental que os números inteiros são: ...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...
1.2.1- PROPRIEDADES E OPERAÇÕES DOS NÚMEROS INTEIROS Se a , b e c são números inteiros, então: I- a+b = b+a e ab = ba Dizemos então que a soma e o produto são operações comutativas.
II- a+(b+c) = (a+b)+c e a.(bc) = (ab).c Dizemos então que a soma e o produto são operações associativas.
III- a(b+c) = ab + ac Dizemos então que o produto é distributivo em relação à operação soma.
IV- a+0 = a Dizemos que zero é o elemento neutro da operação soma.
V- a.1 = a Dizemos que um é o elemento neutro da operação produto.
VI- Para cada inteiro a , existe um inteiro x, tal que x+ a = 0. Este valor de x será representado por –a , e será chamado de simétrico ou oposto do número a.
Exemplos: -2 é simétrico de 2 -3 é simétrico de 3 -2 é oposto de 2 3 é simétrico de - 3 é oposto de -
1.2.2- MÓDULO (OU VALOR ABSOLUTO) O módulo (ou valor absoluto) de um inteiro não negativo a e de seu oposto –a será o próprio valor inteiro a. Representaremos o módulo do inteiro a como sendo a. Isto é:
, 0 , 0
a a a a a
⎧^ ≥
Observe que:
0 0 2 2 2 2 3 3 3 3
1.2.3- CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Representaremos o conjunto dos números inteiros por:
]= {..., −4, −3, −2, −1, 0,1, 2,3, 4,...}
Teremos então os seguintes conjuntos derivados do conjunto dos números inteiros:
] (^) −= conjunto dos números inteiros não positivos:
]− = {..., −4, −3, −2, −1, 0}
] (^) += conjunto dos números inteiros não negativos:
]+ = { 0,1, 2,3, 4,...}
] (^) −= conjunto dos inteiros negativos:
{..., 4,^ 3,^ 2,^1 }
∗ ]− = − − − −
∗ ] (^) += conjunto dos números inteiros positivos:
]∗+ = {1, 2,3, 4,... }
1.3- MÚLTIPLOS E DIVISORES
Sejam a e b números inteiros. Dizemos que a é múltiplo de b , se a é o produto de b por um número inteiro c.
DIVISIBILIDADE POR 5
Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco. Exemplos: a) b) 950
DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6, quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente. Portanto, tem que ser par e divisível por 3. Exemplos: a) 138 b) 714
DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Exemplos: a) 12240 é divisível por 8, pois 240 é divisível por 8. b) 95.880 é divisível por 8, pois 880 é divisível por 8.
DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplos: a) 567 é divisível por 9, pois 5 + 6 + 7 = 18 é divisível por 9. b) 2124 é divisível por 9, pois 2 + 1 + 2 + 4 = 9 é divisível por 9. c) 8793 é divisível por 9, pois 8 + 7 + 9 + 3 = 27 é divisível por 9.
DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero). Exemplos: a) 54800 é divisível por 10. b) 71350 é divisível por 10.
DIVISIBILIDADE POR 11 Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11. Exemplos: a) 23639 é divisível por 11, pois, soma dos algarismos de ordem par: 3 + 3 = 6 soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 6 + 9 = 17 Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11.
b) 919193 é divisível por 11. soma dos algarismos de ordem par: 1 + 1 + 3 = 5 soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27
Diferença: 27 – 5 = 22 é divisível por 11.
1.6- DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Todo número inteiro, maior que um, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores primos. Exemplos: a) O número 45 pode ser decomposto como 3^2 x5^1. b) O número 72 pode ser decomposto como 2^3 x3^2. Esperamos que todos os leitores tenham visto no ensino fundamental a seguinte regra prática para decomposição dos números em fatores primos:
Decomposição do 72 em fatores primos.
1ª Passo: Dividimos o número 72 pelo menor divisor primo de 72.
2ª Passo: Dividimos o quociente obtido no 1ª Passo pelo menor divisor primo desse quociente.
3ª Passo: Continuamos conforme o 2ª Passo, considerando os quocientes obtidos no passo anterior até chegarmos ao quociente igual a um, quando poderemos escrever o número decomposto como o produto dos fatores primos obtidos.
Exemplos:
a) Vamos decompor o número 72 em fatores primos:
Logo temos: 72 = 2^3 x3^2.
b) Vamos decompor o número 40 em fatores primos:
Logo temos: 40 = 2^3 x5^1.
1.7- NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 5 pedaços iguais.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
01) ¾ de 160 vale: a) 120 b) 125 c) 130 d) 135 e) 140 Resposta: A
02) 3/5 de 200 vale: a) 115 b) 120 c) 125 d) 135 e) 145 Resposta: B
03) ¾ de 8/9 vale: a) 2/ b) 1/ c) 2/ d) 1/ e) 3/ Resposta: A
04) 2/3 de 27/4 vale: a) 7 b) 7/ c) 9 d) 9/ e) 10 Resposta: D
05) O valor de x para que 2/5 seja 80 vale: a) 100 b) 200 c) 220 d) 250 e) 300 Resposta: B
06) O valor de x para que ¾ seja 600 vale: a) 400 b) 500
c) 600 d) 700 e) 800 Resposta: E
07) Transforme em fração: a) 0,11111....= b) 0,22222...= c) 0,33333...= d) 0,44444...= e) 0,66666...= f) 0,121212...= g) 0,232323...= h) 0,451451...= i) 0,721721...= j) 0,233333...= k) 0,455555...= l) 0,344444...= m) 0,54444...= Resposta: a) 1/9; b) 2/9; c) 3/9; d) 4/9; e) 6/9; f) 12/99; g) 23/99; h) 451/999; i) 721/999; j) 23/90; k) 41/90; l) 31/90; m) 49/90.
08) A razão entre 0,34444...e 93/45 vale: a) 1/ b) 1/ c) 1 d) 5 e) 6 Resposta: A
09) A razão entre 0,2333... e 42/90 vale: a) 1/ b) 1/ c) 1/ d) 1/ e) 1 Resposta: D
10) Efetue
a) b)1/
c)1/ d)1/
1 25
2 7 4 2 3 5 1 31 − ⋅ ⎛⎝⎜ + ÷ ⎞⎠⎟ ⋅
c) 16 d) –
e) N.R.A. **Resposta: E
- A razão entre 0,4555... e 82/45 vale:** a) 1 b) 1/ c) 1/ d) 1/ e) 1/ Resposta: D
16) Efetue:
a) 30 b) 36 c) 40 d) 44 e) 64 Resposta: B
17) Efetue:
a) 25 b) 36 c) 49 d) 64 e) 81 Resposta: E
18) Efetue:
a) 35/ b) 35/ c) 25/ d) 24/ e) N.R.A. Resposta: A
19) Efetue:
⋅ 3 ÷ 4 ⋅^4
( −^3 )^5 ⋅ −( 3 ) 7 ⋅ −( 3 )^12 ÷ −( 3 )^20
3 4 2 (^27 )
− −
1 15
40 3
3 5 6 1 3 2 4 7
3 14
1 42
1 21
⎛⎝⎜ + + ⎞⎠⎟ − ⎛⎝⎜ + ⎞⎠⎟ − ⎡ + − ⎛⎝⎜ − ⎞⎠⎟ − ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥
⎧ ⎨⎪ ⎩⎪
⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪
a) b) c) d) e) N.R.A. **Resposta: A
- Efetue:**
a)1/ b)2/ c)3/ d)4/ e) N.R.A. Resposta: A
21) Efetue:
a) b) c) d) e) N.R.A. Resposta: A
22) Efetue:
a) b) c) d) e) N.R.A. Resposta: A
23)Efetue:
a)1/ b)2/ c)3/ d)4/ e) N.R.A. Resposta: A
1 1 3
2 5
3 8 1 1 3
2 5 − + + ⋅ ⎡− ⎛⎝⎜ + ⎞⎠⎟ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥
⎧ ⎨⎪ ⎩⎪
⎫ ⎬⎪ ⎭⎪
99 10 1
2 3
1 5
7 20
2 3 2
3 4
2 3
2
⎞ ⎠⎟
⎡ ⎣⎢^
⎤ ⎦⎥ −
- − ⎡⎛⎝⎜ − ⎞⎠⎟ − ⎛⎝⎜ − ⎞⎠⎟ ⎣⎢^
⎤ ⎦⎥
⎧ ⎨⎪ ⎩⎪
⎫ ⎬⎪ ⎭⎪
⎛⎝⎜ 2 − 47 ⎞⎠⎟ ⋅ ⎛⎝⎜ (^25) + 103 ⎞⎠⎟ + ⎛⎝⎜ (^1) + 119 ⎞⎠⎟ ⋅ ⎡ (^54) ⋅ ⎛⎝⎜ 2 + 23 ⎞⎠⎟ − (^79) ⋅ ⎛⎝⎜ 1 − 41 ⎞⎠⎟ ⎣⎢^
⎤ ⎦⎥
1 3
2 7
2 3
1 7
4 3
1 3
3 7
⎛⎝⎜ − ⎞⎠⎟ ÷ ⎛⎝⎜ + ⎞⎠⎟ − ⎡ − ⎛⎝⎜ + ⎞⎠⎟ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
⎧ ⎨⎪ ⎩⎪
⎫ ⎬⎪ ⎭⎪
c) 14 d) 15 e) 16 Resposta: A
31) O número de divisores positivos possui de 90 é: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 Resposta: A
1.9- MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dados dois inteiros a e b , não nulos, chamamos de máximo divisor comum e indicamos por MDC(a,b), ao maior número inteiro positivo que é divisor comum de a e b simultaneamente. Exemplos: Sejam os inteiros 30 e 24 Então, temos: Divisores de 30: ...-30, -15 , -10, -6, - 5, -3, -2, -1, 1 , 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Divisores de 24: ..., –24 , –12 , –8 , –6 , –4 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24. O máximo divisor comum será o maior divisor simultâneo de 30 e 24. Logo temos; MDC (30 , 24) = 6.
Observação : O máximo divisor comum será o produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes.
Exemplo: Calcule o MDC(132,120) Vamos decompor os números.
Logo temos: 132 = 2^2 x3^1 x11^1 120 = 2^3 x3^1 x5^1 Então MDC(132,120) = 2^2 x3^1 MDC(132,120) = 12.
1.9.1- NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dizemos que dois inteiros positivos são primos entre si, quando o MDC entre eles é um.
Exemplo: 16 e 25 são primos entre si, pois o MDC (16 , 25) = 1
1.9.2- MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Dados dois inteiros a e b , não nulos, o mínimo múltiplo comum entre a e b , é o menor número inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e b , e representamos por MMC(a,b). Exemplo: Calcule o MMC(3,4) Múltiplos de 3: ..., -15, -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... Múltiplos de 4: ..., -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ... Observamos que o menor número inteiro positivo que é múltiplo simultâneo de 3 e 4 é 12. MMC (3 , 4) = 12.
Observação : O MMC será o produto de todos os fatores primos elevados aos maiores expoentes.
Teorema:
Sejam a e b dois números inteiros não nulos. Então
a b MMC a b MDC a b
1.9.3- SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Nosso sistema de numeração é o hindu-arábico que consta de dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) como símbolos para representar os números. Portanto trabalhamos com o sistema decimal e representamos os números na base 10 através dos 10 algarismos conhecidos. Exemplos : a) 427 representa 4x10^2 +2x10^1 +7x10^0 b) 5843 representa 5x10^3 +8x10^2 +4x10^3 +3x10^1
De um modo geral poderíamos representar um número na base 10 com (n+1) algarismos por: (anan-1an-2...a 0 ) 10 = anan-1an-2...a 0 = 10^0 a 0 +10^1 a 1 +10^2 a 2 +10^3 a 3 + ... +10nan
Exemplos : Conforme o exemplo anterior temos os seguintes números representados na base 10: a)427 = (427) 10 = 4x10^2 +2x10^1 +7x10^0 b) 5843 = (5843) 10 = 5x10^3 +8x10^2 +4x10^3 +3x10^1
Sendo assim no sistema de base 5, por exemplo, temos apenas cinco algarismos(0, 1, 2, 3, 4). Portanto podemos dizer que: (anan-1an-2...a 0 ) 5 = 5^0 a 0 +5^1 a 1 +5^2 a 2 +5^3 a 3 + ... +5nan e os dez primeiros números naturais positivos escritos na base 5 serão: (1) 5 , (2) 5 , (3) 5 , (4) 5 , (10) 5 , (11) 5 , (12) 5 , (13) 5 , (14) 5 , (20) 5
36) Calcule o MDC(72, 90,210) a) 6 b) 8 c) 12 d) 15 e) 18 Resposta: A
37) Se a = 2. 32. 5 e b = 2. 3. 7 , então o MMC(a,b) é: a) b) c) d) e)N.R.A Resposta: D
38) Se a = 2 m.^32 e b = 23. 3 n e MMC( a,b)= 24. 33 então: a) m=4 e n= b) m=4 e n= c) m=3 e n= d) m=4 e n= e) m=3 e n= Resposta: D
39) Sabendo-se que A = 2 x. 32. 5 B = 22 x^. 3. 52 e que o MMC(A,B) possui 45 divisores positivos, qual o valor de x? a) b) c) d)4 · e) Resposta: B
40) O produto de dois números inteiros e positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois números é: a) 1 b) 3 c) 5 d) 11 e) 15 Resposta: C
41) Saem do porto de Santos, navios argentinos de 6 em 6 dias, os do Uruguai de 4 em 4 dias. Se num dia saírem dois navios desses países que tempo demorará a saírem juntos outra vez?
a) 10 dias b) 11 dias c) 12 dias d) 13 dias e) 14 dias Resposta: C
42) Três locomotivas apitam em intervalos de 45, 50 e 60 minutos, respectivamente. Se coincidir das três apitarem juntas numa vez, quantas horas levará para apitarem juntas novamente? a)15 horas b)16 horas c)17 horas d)18 horas e)19 horas Resposta: A
43) Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá uma volta completa na pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terão dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de saída? a) 66, 60, 55 b) 62, 58, 54 c) 60, 55, 50 d) 50, 45, 40 e) 40, 36, 32 Resposta: A
44) Pretende-se acomodar 600 cópias do documento A e 750 cópias do documento B em pastas, de forma que: 1)Todas as pastas tenham a mesma quantidade de cópias; 2)Cada pasta tenha cópias de um único documento; 3)A quantidade de pastas utilizadas seja a menor possível. O número de cópias colocadas em cada pasta deve ser: a) b) c) d) e) Resposta: D
45) (FUVEST/91) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 12
49) A raiz quadrada do produto entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números n e 20 é 30. A razão entre o MDC e o MMC é 1/36. Então, a soma dos números vale: a) b) c) d) e) Resposta: C
50) Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo: a) 24 e 50 b) 36 e 90 Resposta: a) MMC(24,50) = 600, MDC(24,50) = 2 b) MMC(36,90) = 180 e MDC(36,90) = 18
VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM GERAL DO CAPÍTULO I
(PROBLEMAS MAIS SOFISTICADOS)
51) A raiz quadrada do produto entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números n e 15 é 30. A razão entre o MDC e o MMC é 1/4. Então, a soma dos números vale: a) b) c) d) e) Resposta: E
52) Para evitar o uso de dinheiro, um hotel fazenda entregou aos seus hospedes um colar contendo 3 contas pretas, 5 vermelhas, 8 brancas e 10 azuis. Uma conta branca correspondia a 5 azuis ou valia metade do valor da vermelha; a preta valia 5 vezes o valor da vermelha. Se cada conta azul valia R$ 1,00, pode-se concluir que o valor do colar era: a)R$ 250, b)R$200, c)R$180, d)R$150, e)R$120, Resposta: A
53) Observe a figura.
O quadrado maior, cuja medida do lado é igual a 4 palitos, deverá ser totalmente preenchido com quadrados menores com medida de lado igual a 1 palito. Para tanto, serão necessários: a)50 palitos· b)45 palitos c)40 palitos d)35 palitos· e)30 palitos Resposta: C
54) (Oficial de Promotoria-2001-Vunesp) Uma despesa de restaurante de R$ 54, seria igualmente dividida entre oito amigos. Na hora de pagar a conta, dois deles estavam sem dinheiro. Por isso, cada um dos outros pagou a parte desses dois no valor de: a)R$ 2, b) R$ 2, c) R$ 2, d)R$ 3, e) R$ 3, Resposta: B
55) (Oficial de Promotoria-2001-Vunesp) No açougue, Dona Maria teve que pedir ¾ de quilo de contra-filé porque não tinha R$ 8,40 necessários para comprar um quilo. Ela pagou, pelo contra-filé que levou: a)R$ 6, b)R$ 6, c)R$ 6, d)R$ 6, e)R$ 6, Resposta: A
56) Em uma indústria, 3
(^2) dos trabalhadores são homens e 4
(^1) são mulheres. Os 30
restantes são meninos. Quantos são os homens e quantas as mulheres? a) 240 e 90 b) 230 e 100 c) 220 e 110 d) 210 e 120 e) 200 e 130 Resposta: A
