Baixe Roteiro de Estudos 5: Álgebra I - Conjunto ℤ - Universidade do Estado da Bahia (UNEB) e outras Exercícios em PDF para Álgebra, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA (UNEB)
Autorização Decreto nº 9237/86. DOU 18/07/96. Reconhecimento: Portaria 909/95, DOU 01/08- 95
GABINETE DA REITORIA
UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (UNEAD)
Criação e Implantação Resolução CONSU nº 1.051/2014. DOU 20/05/
CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA A DISTÂNCIA
COMPONENTE CURRICULAR: ÁLGEBRA I
ROTEIRO DE ESTUDOS 5
Professor Formador: Caio Eduardo Pinheiro Costa
Prezados Cursistas,
Iniciaremos o nosso Roteiro de Estudos 5 , trabalhando o conceito do Conjunto
𝑚
. O conteúdo deste Roteiro pode e deve ser aprofundado no Módulo da
Disciplina: páginas 51 a 6 0 , como também nas Videoaulas 10 e 11 que estão
na Midiateca. Vale salientar que os referidos exercícios deste Roteiro são
simples e visam facilitar a assimilação do conteúdo abordado.
Desejo sucesso!
Um pouco da Teoria
Relação de Congruência Módulo 𝒎 : Sejam 𝑚 um inteiro, 𝑚 > 1 , e 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ. Dizemos
que 𝑎 é congruente a 𝑏 módulo 𝑚 se, e somente se, 𝑚|(𝑎 − 𝑏), ou seja, 𝑚 divide (𝑎 −
𝑏). Usamos a notação: 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚).
Exemplos:
a) 8 ≡ 5
b) 8 ≡ − 1
c) 5 ≢ 1 (𝑚𝑜𝑑 3 ), 𝑝𝑜𝑖𝑠 3 ∤ ( 5 − 1 ), 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 3 ∤ 4.
A relação de congruência possui algumas propriedades. Dentre essas, destacamos:
As três primeiras propriedades acima nos mostram que a relação de congruência
módulo 𝑚 é uma relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva).
Teorema: Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑚 ∈ ℤ, 𝑚 > 1. Então 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) se, e somente se, 𝑎 𝑒 𝑏
deixam o mesmo resto quando divididos por 𝑚.
Exemplos:
a) 7 ÷ 3 deixa resto 1 e 1 ÷ 3 deixa resto 1, então 7 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 3 ).
b) 12 ÷ 5 deixa resto 2 e 7 ÷ 5 deixa resto 2, então 12 ≡ 7 (𝑚𝑜𝑑 5 ).
Corolário: Se 𝑎 ∈ ℤ e 𝑟 é o resto da divisão de 𝑎 por 𝑚, em que 0 ≤ 𝑟 <
, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 ≡ 𝑟(𝑚𝑜𝑑 𝑚).
Exemplo: Qual o valor de 𝑥, se 𝑥 ≡ 15 (𝑚𝑜𝑑 2 )?
Resolução: Pelo Corolário acima, como o resto da divisão de 15 por 2 é 1, temos 15 ≡
1 (𝑚𝑜𝑑 2 ). Como 𝑥 ≡ 15 (𝑚𝑜𝑑 2 ) e 15 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 2 ), por transitividade concluímos
que 𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 2 ). Ou seja, 𝑥 deixa resto 1 quando dividido por 2, e então 𝑥 é um
número inteiro ímpar.
Classe de Equivalência da Relação de Congruência: Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑚 ∈ ℤ, 𝑚 > 1. Chama-
se classe de equivalência determinada por 𝑎 módulo 𝑚 o conjunto:
a̅ =
x ∈ ℤ ; 𝑥 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑚)
x ∈ ℤ ; 𝑚|(𝑥 − 𝑎)
x ∈ ℤ ; 𝑥 − 𝑎 = 𝑘. 𝑚, 𝑘 ∈ ℤ
O conjunto das classes de equivalência módulo 𝑚 é chamado de conjunto dos inteiros
módulo 𝑚, ou conjunto das classes residuais módulo 𝑚, e é indicado por ℤ
𝑚
De acordo com o Teorema anterior, a classe de equivalência de um inteiro 𝑎
módulo 𝑚 é composta por todos os inteiros que deixam o mesmo resto que 𝑎
quando divididos por 𝑚. Sendo assim, as possibilidades de 𝑎 deixar resto
quando dividido por 𝑚, será exatamente um dos casos: 0 , 1 , 2 , … 𝑚 − 1 ; já que
pelo algoritmo da divisão o resto tem que ser maior ou igual a 0 e menor que o
divisor (no caso, 𝑚).
Já vimos (em conteúdos anteriores) que se dois elementos estão relacionados
por uma relação de equivalência, então eles possuem a mesma classe de
equivalência. Assim, as classes de equivalência determinadas pela relação de
congruência módulo 𝑚 são dadas por 0
. Então, podemos
concluir que o conjunto ℤ
𝑚
é dado por: ℤ
𝑚
Além disso, de acordo com a definição anterior, as classes de equivalência
determinadas pela relação de congruência módulo 𝑚 também podem ser
expressas da seguinte forma: a̅ =
Exemplos:
a) Para 𝑚 = 2 , temos:
= { 0 + 2 𝑞, 𝑞 ∈ ℤ} = { 0 , ± 2 , ± 4 , ± 6 , … } (inteiros pares)
= { 1 + 2 𝑞, 𝑞 ∈ ℤ} = {± 1 , ± 3 , ± 5 , ± 7 , … } (inteiros ímpares)
2
b) Para 𝑚 = 3 , temos:
3
Exercícios Propostos:
Questão 1: Classifique em Verdadeiro ou Falso as afirmações abaixo:
a) 5 ≡ 2 (𝑚𝑜𝑑 3 )
b) 35 ≡ 8 (𝑚𝑜𝑑 4 )
c) 17 ≡ 2 (𝑚𝑜𝑑 3 )
d) 236 ≡ 15 (𝑚𝑜𝑑 21 )
Respostas:
a) Verdadeiro, pois 3 divide 3.
b) Falso, pois 4 não divide 27.
c) Verdadeiro, pois 3 divide 15.
d) Falso, pois 21 não divide 221.
Questão 2: Encontre o valor de 𝑥, sabendo que 𝑥 ≡ 6 (𝑚𝑜𝑑 5 ).
Resposta: Como 𝒙 ≡ 𝟔(𝒎𝒐𝒅 𝟓) , então 𝟓 divide 𝒙 − 𝟔. Ou seja, existe 𝒕 ∈ ℤ tal que
𝒙 − 𝟔 = 𝟓𝒕 , o que significa que 𝒙 = 𝟓𝒕 + 𝟔, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 ∈ ℤ.
Questão 3: Construa as tábuas de adição e multiplicação para os conjuntos ℤ 5
6
Em seguida determine, para cada operação e cada conjunto:
a) O elemento neutro.
b) Os pares de elementos simétricos.
Respostas:
Para ℤ 5
Elemento neutro: 𝟎
Elementos simétricos: 𝟎
Elemento neutro: 𝟏
Elementos simétricos: 𝟏
Para ℤ 6
Elemento neutro: 𝟎
Elementos simétricos: 𝟏
Elemento neutro: 𝟏
Elementos simétricos: 𝟏
