Baixe Exercícios Resolvidos: Continuidade e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Exercícios Resolvidos: Continuidade
Contato: [email protected]
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 06/03/2016 - Atualizado em 24/11/
Como saber se uma função é contínua?
Uma função ƒ ( ) é continua em ∈ R se:
) f(a) existe;
) O (^) lim → ƒ ( ) existir;
) lim → ƒ ( ) = ƒ ( )
Propriedades:
- Toda função polinomial é contínua em o R.
- Toda função racional (divisão de polinômios) é contínua em seu domínio.
- As funções sen ( ) , cos ( ) e e^ são contínuas em todo R.
- Se ƒ e g são funções contínuas em um ponto , então:
4.1) ƒ ± g é contínua em ; 4.2) ƒ · g é contínua em ; 4.3) ƒ / g é contínua em a seg ( ) 6 = 0;
- Se ƒ e g são contínuas em , então a função composta g ◦ ƒ também é contínua em .
- A função n ( g ( )) é contínua apenas para g ( ) > 0.
Exemplo 1: Verifique se a função a baixo é descontínua em 1.
ƒ ( ) =
ß 3 − 5 se 6 = 1 2 se = 1
Solução :
i) ƒ ( 1 ) = 2
ii) lim → 1
ƒ ( ) = lim → 1
iii) Como 2 6 = -2, então a função não é contínua em = 1.
Exemplo 2: Verifique se a função a baixo é descontínua em -2.
ƒ ( ) =
^2 + 2 se ≤ − 2 ^3 − 6 se > − 2
Solução:
i) ƒ (− 2 ) = (− 2 )^2 + 2 (− 2 ) = 0;
ii) lim →− 2
ƒ ( ) ⇒
lim →− 2 −^
( ^2 + 2 ) = 0
lim →− 2 +^
( ^3 − 6 ) = 4
Assim conclui-se que: lim →− 2
ƒ ( ) não existe, pois os limites laterais quando
tende a -2 são distintos. Assim, a função não é contínua.
Exemplo 3: Verifique se a função ƒ ( ) =
^2 + 1
^3 + 1
é descontínua em -1.
Solução:
i) Como ƒ (− 1 ) não existe então já pode-se afirmar que a função não é contínua.
Exemplo 4: Para que valores a função ƒ ( ) = n
é continua?
Solução:
Como vimos (na lista de propriedades) a função n ( g ( )) é continua para todo g ( ) > 0. Resolvendo então a inequação
− 1 + 2
chegamos a solução de < − 2 e > 1. Esses então são os valores para o qual ƒ ( ) é contínua.
Exemplo 5: Para que valores de a função ƒ ( ) =
esen ( )
4 −
p ^2 − 9
é descontínua?
iii) Como f(1) = lim → 1
ƒ ( ) então a função é continua em 1.
TESTANDO A CONTINUIDADE EM -
i) lim →− 2 +^
lim →− 2 −
Como os limites laterais são distintos então conclui-se que não existe limite de ƒ ( ) quando = 2. Portanto, ƒ ( ) é descontínua apenas para = 2.
Exemplo 7: Para que valores de a função é ƒ ( ) =
^2 + 3 + 5
^2 + 3 − 4
contínua?
Solução:
Sabe-se que toda função polinomial é continua, assim para determinar as de- scontinuidades de ƒ ( ) (veja a lista de propriedades) basta determinar os valores de para o qual o seu denominador é igual a zero.
^2 + 3 − 4 6 = 0
Portanto, a função é continua para todo ∈ R − {1; − 4 }
Exemplo 8: Para que valores de a função é g ( ) = ( sin ( ^20 + 5 ))^1 /^3 é contínua ?
Solução:
As funções 3
p e ^20 + 5 são contínuas porque são polinomiais. E a função sen ( ) também é contínua, pois é uma função trigonométrica. Sabe-se que a composição de funções contínuas resultam em funções contínuas então:
sen ( ) ◦ ( ^20 + 5 ) = sen ( ^20 + 5 ) é uma função contínua. E também p (^3) ◦ sen ( (^20) + 5 ) = 3
sen ( ^20 + 5 ) é uma função contínua.
Ou seja, ƒ ( ) é contínua em todo o R.
Exemplo 9: Determine todos os valores da constante A para que a seguinte
função seja contínua para todos os valores de . ƒ ( ) =
A^2 − A se ≥ 3 4 se < 3
Solução:
Como funções polinomiais são contínuas para todo o R então só resta investigar a continuidade em = 3.
Se ƒ ( ) é contínua em 3 então:
lim → 3 +^
ƒ ( ) = lim → 3 −^
ƒ ( )
⇒ 3 A^2 − A = 4
⇒ 3 A^2 − A − 4 = 0
⇒ A = 4 / 3; A = − 1
Ou seja, A = 4/3 ou então -1.
Exemplo 10: Verifique se a função a baixo é descontínua em − 3.
ƒ ( ) =
p + 19 − 4 + 3
se 6 = − 3 1 8
se = − 3
Solução:
i) Primeiro verificamos o limite.
lim →− 3
Ç p + 19 − 4 + 3
å
= lim →− 3
Ç p + 19 − 4 + 3
p + 19 + 4 p + 19 + 4
å
= lim →− 3
p + 19 + 4 )
= lim →− 3
p + 19 + 4 )
Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional.
Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number.890m.com
E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor entre em contato para que possa ser feito a devida correção.
nbbedego@gm.com
.ƒ cebook.com/ theNmberType
.nmber.890m.com
