Baixe Limite e Continuidade e outras Provas em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Capítulo 3
Limite e Continuidade
Neste capítulo você vai:
Descrever a noção intuitiva de limite de uma função;
Calcular limite de função usando teorema, bem como
calcular limites laterais, limites no infinito e limites
infinitos e limites fundamentais;
Analisar a continuidade de uma função.
3.1 Limites de funções
O conceito de Limite é importante na construção de muitos outros
conceitos no cálculo diferencial e integral, por exemplo, as noções de
derivada e de integral que serão abordados nos capítulos 4 e 5, que são os
suportes de toda a construção das variáveis físicas, além da importância
no cálculo de área e volumes.
Glossário.
Limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu
argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma
sequência de números reais, à medida que o índice vai crescendo, ou seja, tende para infinito.
3.1.1 A Noção de limite
A noção de limite fornece um caminho preciso para distinguir o
comportamento de algumas funções que variam continuamente e o
comportamento de outras funções que podem variar independente do
modo como se controla as variáveis.
É com base nisso, que pretendemos apresentar a você uma noção
intuitiva de limite para que você possa observar o que ocorre com a
função f^ ( ) x^ , intuitivamente, quando x^ tende para um número real a^ ou
quando x^ tende para mais ou menos infinito. Usaremos limites, por
exemplo, para definir retas tangentes e gráficos de funções. Essa
aplicação geométrica nos leva ao importante conceito de derivada de uma
função que investigaremos, com detalhes, no Capitulo 4.
Dada uma função f^ , você quer saber o que ocorre com os valores
f ( ) x (^) , quando a variável x^ se aproxima de um ponto a^. Para você
entender isto melhor, considere a função f^ definida pela expressão
abaixo:
x x
f x
x
A função f^ está definida para todo
x real exceto x = 1. Assim, se
x ≠ 1 , o numerador e o denominador de f^ podem ser divididos por (^ x^ −^ 1) e
você obtém
f ( ) x = 3 x + 2, para x ≠ 1.
Vamos estudar juntos os valores da função f^ ( ) x^ , quanto
x estiver
próximo de 1, mas não é igual a 1. Primeiro, vamos considerar valores de
x
cada vez mais próximo de 1, com x < 1 e observarmos o que está
acontecendo com f^ ( ) x^ , conforme o quadro abaixo:
x < 1 0 0,
f ( ) x = 3 x + 2 2 2,
Agora, vamos considerar que a variável x^ aproxima-se cada vez
mais de 1, com x > 1 e observar o que está acontecendo com f^ ( ) x^ :
x > 1 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,
f ( ) x = 3 x + 2 8 7,25 6,5 5,75 5,30 5,03 5,003 5,
Observamos, em ambas quadros, que quando x^ se aproxima cada
vez mais de 1, a função f^ ( ) x^ se aproxima cada vez mais de 5, em outras
palavras, é possível obter o valor de f^ ( ) x^ tão próximo de 5 quando
desejarmos, desde que tomemos x^ suficientemente próximo de 1.
Examine o gráfico de f^ ( ) x^ abaixo.
1 1
lim ( ) lim
x x
x
f x
x
− − → →
Apresentaremos agora a definição formal de limite de uma função.
Definição. Seja I um intervalo qualquer, a ∈ I e f^ ( ) x uma função definida
no intervalo I, (exceto eventualmente em a). Diz-se que o limite de f^ ( ) x
quando x tende a a é (^) L , e escreve-se
lim ( ) ,
x a
f x L
→
se para todo ε^ (epslon),
ε > 0 , existe um δ (delta), δ > 0 , tal que
f ( ) x − L < ε sempre que 0 < x − a < δ.
Gráficamente,
Figura 3.
Exemplo. Mostrar que 3
lim (4 1) 11.
x
x
→
Resolução: Pela definição, dado ε > 0 , existe um δ > 0 tal que f^ ( ) x^ −^ b <^ ε
sempre que x^ −^ a <^ δ, ou f^ ( ) x^ −^11 <^ ε sempre que x −^3 <^ δ, ou 4 x −^1 −^11 <^ ε
sempre que x −^3 <^ δ, ou 4 x −^12 <^ ε sempre que x −^3 <^ δ ⇒^ 4(^ x −^ 3)<^ ε
sempre que x −^3 <^ δ ⇒^3
x
ε
− < sempre que x −^3 <^ δ.
Fazendo
ε
δ = , pois δ^ =^ δ ε( ), então para ε^ =^ 0, 01,
ε
δ = = =.
Então temos:
x
ε
− < sempre que x −^3 <^ δ
⇒ 4 x − 3 < ε sempre que x − 3 < δ
⇒ 4 x − 12 < ε sempre que x − 3 < δ
⇒ f ( ) x − 11 < ε sempre que x − 3 < δ.
Portanto,
3
lim (4 1) 11
x
x
→
3.1.1 Propriedades dos limites
A seguir daremos algumas propriedades importantes do conceito de
limite. Essas propriedades serão utilizadas freqüentemente no decorre do
trabalho.
P 1 – Unicidade do limite
Se 1
lim ( )
x a
f x b
→
e 2
lim ( )
x a
f x b
→
, então 1 2
b = b.
P 2 – Se m^ e b são constantes quaisquer, então
lim ( )
x a
m x b m a b
→
P 3 – Se c^ é uma constante, então para qualquer número a^ ,
lim
x a
c c
→
P 4 –
lim
x a
x a
→
P 5 – O limite da soma ou diferença de duas funções é igual a soma ou
diferença dos limites dessas funções, isto é, se
1
lim ( )
x a
f x b
→
e 2
lim ( )
x a
g x b
→
então
( ) 1 2
lim ( ) ( )
x a
f x g x b b
→
Observação. Se 1 1
lim ( )
x a
f x b
→
lim ( )
x a
f x b
→
lim ( ) n n x a
f x b
→
então
( ) 1 2 1 2
lim ( ) ( ) ... ( ) ... n n x a
f x f x f x b b b
→
P 6 – O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites
dessas funções, isto é, se
1
lim ( )
x a
f x b
→
e 2
lim ( )
x a
g x b
→
então
( ) 1 2
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x b b
→ → →
× = × = ×
Observação: 6
P (^) é válida para n (^) -funções.
( )
3 3 27
x x
x
( )
( )
2
3 9
x x
x
2
= x + 3 x + 9
( )
3
2
3 3
2
lim lim 3 9
x x
x
x x
x
→ →
= + × +
(v) Neste caso,
( )
2
x x
x x
( x^ −^1 )( )
( )
x x
( )
2 1 1
lim lim.
x x
x
x x x
→ →
Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure,
então, atender aos exercícios propostos.
Exercícios propostos – 1
Calcular os seguintes limites
3
0
lim
x
x
x
→
0
lim
x
x x
x
→
0
lim
x
x
x
→
4
1
lim
x
x
x
→
( )
3 3
0
lim
h
x h x
h
→
0
lim
x
x
x
→
2
2 3
lim
y
y
y y
→−
2
2 3
lim
x
x x
x x
→−
- Se (^) ( )
x 9 3
h x
x
= , demonstre que ( )
0
lim
x
h x
→
= (^) , mas h^ ( 0 ) não está
definida.
3.2Limites Laterais
a) Limite á direita
Dizemos que b é o limite à direita de
f ( ) x no ponto 0
x e escrevemos
( )
0
0
lim ( )
x x
b f x f x
→
quando 0
x → x para valores maiores que 0
x .
Figura 3.
b) Limite á esquerda
Dizemos que b é o limite à esquerda de
f ( ) x no ponto 0
x e escrevemos
( ) _
0
0
lim ( )
x x
b f x f x
−
→
quando 0
x → x para valores menores que 0
x .
Figura 3.
Por exemplo,
2, se 1
3, se 1
x
f x
x
^ >
Figura 3.
Temos
1
lim ( ) 3
x
f x
− →
e
1
lim ( ) 2
x
f x
→
Observação:
0
lim ( )
x x
f x b
→
existe se e somente se (^) _
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x
→ →
, se 2
1, se 2
x x
f x
x x
^ ≤
- Seja
3
1
x
f x
x
0
lim ( )
x
f x
→
? Resposta: não existe
- Seja
3
8
x
f x
x
2
lim ( )
x
f x
→
? Resposta: não existe
- Seja (^2)
x
f x
x x
2
lim ( )
x
f x
→
? Resposta: não existe
- Seja
2
x
f x
x
, existe 0
lim ( )
x
f x
→
? Resposta: não existe
3.3Limites Infinitos e Limites no infinito
a) Limites infinitos
(i)
lim ( )
x
f x
→∞
dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um
número n > 0 tal que ∀^ x^ >^ n^ ⇒^ f^ ( ) x^ > k.
Figura 3.
(ii)
lim ( )
x
f x
→−∞
dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um
número n > 0 tal que ∀^ x^ <^ n^ ⇒^ f^ ( ) x^ < k.
(iii)
lim ( )
x
f x
→−∞
dado k^ >^0 arbitrário, existe em correspondência um
número n^ >^0 tal que
∀ x < n ⇒ f ( ) x > k .
Figura 3.
(iv)
lim ( )
x
f x
→∞
dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um
número n > 0 tal que ∀^ x^ >^ n^ ⇒^ f^ ( ) x^ < k.
(v)
lim ( )
x a
f x
→
dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um
número δ > 0 tal que ∀ x temos x^ −^ a^ <^ δ⇒^ f^ ( ) x^ > k , isto é, quando
x → a , f ( ) x assume valor que superam k > 0.
Figura 3.
(vi)
lim ( )
x a
f x
→
dado ε > 0 arbitrário, existe em correspondência um
número δ > 0 tal que ∀ x temos x^ −^ a^ <^ δ⇒^ f^ ( ) x^ < k.
Figura 3.
c) É importante notar que
0
lim n x (^) x
→
e
0
1 ,^ se^ é par
lim
, se é ímpar,
n x
n
x n
− →
^ +∞
onde
n é um número inteiro positivo qualquer.
c) Limites importantes
1 - Seja
1
0 1
n n
n
f x P x a x a x a
−
= = + + + (^) , 0
a ≠ (^0) :
(i) Quando x^ →^ c , então
lim ( ) ( )
x c
P x P c
→
Por exemplo,
3 3
1
lim 3 1 3 1 1 3 1 2.
x
x
→
− = × − = − =
(ii) Quando x → ±∞ , neste caso calculamos inicialmente para
x → +∞ (^) ,
( )
( ) [^ ]
( )
1
1
0
0 0
1
1
0
0 0
0
0
lim ( ) lim 1 ...
lim lim 1 ...
lim 1 0 0 ... 0
lim
lim ( ).
n
n (^) n
n n x x
n
n (^) n
n n x x
n
x
n
x
x
a x a
P x a x
a x a x
a x a
a x
a x a x
a x
a x
P x
−
→+∞ →+∞
−
→∞ →+∞
→∞
→∞
→∞
= × + + +
= × + + + +
Assim, 0
lim
n
x
a x
→∞
será +∞^ ou −∞^ , dependendo do sinal do 0
a (^) e
também de n^ , inteiro seja par ou ímpar.
Agora, analisando quando
x → −∞ vem 0
lim
n
x
a x
→−∞
também será
+∞ ou −∞^.
Por exemplo,
(i) ( )
2 2
lim 2 1 lim 2
x x
x x x
→∞ →∞
(ii)
4 3 4
lim 4 10 lim 4
x x
x x x x
→−∞ →−∞
(iii) ( )
3 2 3
lim 7 lim
x x
x x x
→−∞ →−∞
(iv) ( )
5 2 5
lim 3 5 lim
x x
x x x x
→−∞ →−∞
d) Limite de uma função racional
Seja
P x
f x
Q x
, Q x ( )^^ ≠^0 ∀ x^ , onde P x ( )^ e Q x ( )^ são polinômios em
x .
(i) Quando x^ →^ c , então
lim , ( ) 0
x c
P x P c
Q c
Q x Q c
→
quando
( ) 0 lim
x c
P x
Q c
Q x
→
Por exemplo,
3 3
2 2 1
lim.
x
x
x
→
(ii) Quando
x → ± ∞
. Analisamos inicialmente, quando
x → + ∞
. Temos
1
0 1
1
0 1
1
1
0
0 0
1
1
0
0 0
lim lim
lim.
n n
n
m m x x
m
n
n (^) n
n n
m x
m (^) m
m m
P x a x a x a
Q x b x b x b
a x a
a x
a x a x
b x b
b x
b x b x
−
− →+∞ →+∞
−
− →∞
÷
÷
Como
1
1
0 0
lim 1 ... 1
n
n
n n x
a x^ a
a x a x
−
→∞
÷
e
1
1
0 0
lim 1 ... 1
m
m
m m x
b x^ b
b x b x
−
→∞
÷
então
0 0
0 0
lim lim lim
n
n m
m x x x
P x a x^ a
x
Q x b x b
−
→+∞ →+∞ →∞
isto é, o limite da função racional f^ ( ) x^ é dado pelo limite da razão
dos termos de maior grau dos polinômios P x ( )^ e Q x ( )^.
Agora, analisando quando x^ → −∞^ temos
0
0
lim
n m
x
P x a
x
Q x b
−
→−∞
(iii)
2
2 2
lim
x
x x
x x
→
Resolução:
(i)
( ) ( )
2 2
2 2 2
lim lim ,
x (^) 6 x 2 3
x x x x
x x x x
→ →
quando x 2 x 2 0
→ ⇒ − →
×
(ii)
( ) ( )
2 2
2 2 2
lim lim ,
x (^) 6 x 2 3
x x x x
x x x x
− + → →
quando x 2 x 2 0
− −
→ ⇒ − →
− −
×
(iii) Conforme (i) e (ii), podemos concluir que
2
2 2
lim
x
x x
x x
→
não existe.
Observação. Muitas vezes, calculamos o limite de uma maneira formal,
escrevemos que
2
2 2
lim
x
x x
x x
→
sem nos preocuparmos com o sinal, o que devemos cuidar, ou seja
estamos considerando uma coisa que não existe.
Exemplo. Determinar
2
lim
x
x
x
→−∞
Resolução: Como no exemplo anterior, dividimos numerador e
denominador por
x
. Neste caso, temos
x → − ∞ , os valores de
x podem ser
considerados negativos. Então, para o denominador, tomamos
2
x = − x
Sabemos que
, se 0
, se 0
x x
x
x x
^ >
Neste caso, também
2
2
, se 0
, se 0
x x
x
x x
Então, temos
2
2
lim 2
2 5
lim
lim 2
x
x
x
x x
x
x
→−∞
→−∞
→−∞
÷
Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure,
então, atender aos exercícios propostos.
Exercícios propostos – 3
Determinar os seguintes limites:
2
lim
x
x
x
→∞
3
2 0
lim.
x
x x
x
→
÷
- (^ )
5 3
lim 3 4 1.
x
x x
→∞
2 0
lim.
x
x
x
→
1
lim.
x
x
x
→−
2
3
lim
x
x
x
→∞
3
5
lim
x
x
x
→∞
4 2
4
lim
x
x x x
x
→∞
2
3
lim
x
x x
x
→∞
3.4 Continuidade de uma função
Definição. Uma função f é contínua em um ponto a^ ∈ D^ ( f ) se
(i) existe
lim ( )
x a
f x
→
(ii)
lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
Condições de continuidade
(i) f^ ( a^ ) existe para a^ ∈^ D^ ( f );
(ii)
lim ( )
x a
f x
→
, isto é, (^ )^ (^ )
lim lim
x a x a
f x f x
→ → −
(iii) (^ )^ (^ )
lim
x a
f x f a
→
(ii) A função f^ ( ) x^ é descontínua no ponto x = 3 , pois,
3 3
lim ( ) lim( 1) 3 1 2
x x
f x x
− − → →
e
3 3
lim ( ) lim 4 4
x x
f x
→ →
, logo não existe 3
lim ( )
x
f x
→
Observe que
f (3) = 3 − 1 = 2 , mas isto não é suficiente para a continuidade
de
f ( ) x
. Seria necessário que se tivesse 3
lim ( ) (3)
x
f x f
→
o que jamais
poderia ocorrer visto que não existe 3
lim ( )
x
f x
→
. Veja o gráfico de
f ( ) x abaixo.
Figura 3.
Definição Uma função
f é contínua no conjunto X se
f é contínua em
todos os pontos de X.
Por exemplo, a função
1
1 1 0
n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
é continua em todos os pontos x^ ∈^ ¡^.
Procure resolver os exercícios propostos a seguir.
Exercícios propostos – 4
- Seja a função
f ( ) x definida por
x se x
f x
k se x
^ +^ ≥
Determinar o valor da constante k^ tal que a função
f ( ) x seja
contínua no ponto x^ =^1.
- Seja
2
1, 2
x se x
f x se x
x se x
Verificar se f^ ( ) x^ é contínua em x = 2.
- Verificar se a função f^ definida por
2
3
, 3
( ) 2, 3
4, 3
x x se x
f x x se x
se x
− < −
= + > −
= −
é contínua no ponto x = − 3.
- Seja
x se x
f x se x
x se x
Verifique se f^ ( ) x^ é contínua em x = 3.
- Determinar o valor de k de modo que a função f^ ( ) x^ definida por
4
3
x
e se x
f x
k se x
−^ =
seja contínua em x = 0.
RESPOSTAS:
k = − 1.
Sim, f^ ( ) x^ é contínua em x = 2.
A função dada não é contínua em x = − 3.
A função f^ ( ) x^ não é contínua em x = 3.
A função f^ ( ) x^ será contínua em x = 0 usando k = 2.
Resumo do capítulo.
Neste capítulo você compreender a noção intuitiva de limite de uma
função e aprendeu também como calcular diversos tipos de limites e
finalmente, você aprendeu a analisar a continuidade de uma função.
Saiba mais
Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo, consulte:
MORETTIN, Pedro A., HAZZAN, Samuel e BUSSAB, Wilton de O. Cálculo funções de uma
e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2005.
A partir de agora passaremos a estudar um dos conceitos mais importante
do cálculo diferencial que é a derivada de uma função e suas aplicações.
