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Cálculo I (2015/1) IM UFRJ
Lista 2: Limites e Continuidade
Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral
Versão 30.03.
1 Exercícios de Limite
1.1 Exercícios de Fixação
Fix 1.1: Considere o grá co de y = f (x) esboçada no grá co abaixo. Determine os limites abaixo.
Caso algum não exista, determine os limites laterais.
(a) lim
x→a
f (x); (b) lim
x→b
f (x); (c) lim
x→c
f (x).
x
y
a b c
Fix 1.2: Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um contraexemplo ou corrija. Se for
verdadeiro justi que.
(a) Se lim
x→ 3 +^
f (x) = 5, então lim
x→ 3
f (x) = 5.
(b) Se lim
x→ 2
f (x) = 4, então lim
x→ 2 −^
f (x) = − 4.
(c) Se lim
x→ 2
f (x) = 4, então f (2) = 4.
(d) Existe uma função f tal que lim
x→ 3 +^
f (x) 6 = lim
x→ 3 −^
f (x) = lim
x→ 3
f (x).
(e) se lim
x→c
(f (x) + g(x)) existe, então existe lim
x→c
f (x).
(f) se g(x) =
4; x 6 = 2;
π; x = 2
, então lim
x→ 2
g(x) = g(2) = π.
Fix 1.3: Considere a função f dada por f (x) =
5; x ≤ 1
7; 1 < x ≤ 2
9; x > 2
. Determine lim
x→k
f (x) ou, caso não
exista, os limites laterais para:
(a) k = 1; (b) k = 0. 9999 ; (c) k = 1. 0001 ;
(d) k = 2; (e) k = 1. 9999 ; (f) k = 2. 0001.
Fix 1.4: Aplique a de nição do módulo para esboçar o o grá co de:
(a)
cos x
| cos(x)|
; (b)
|x|.
Fix 1.5: Partindo de grá co de funções simples (±x^2 ,
x, log(x)), utilizando translações verticais e/ou
horizontais e/ou re exões, esboce o grá co de:
(a) y = 1 +
x (b) y = log(x − 1) + 2; (c) y = |(x + 1)(x + 2)|.
Fix 1.6: Determine: (a) lim
x→ 2
x − 2
(2 − x)(3 − x)
; (b) lim
x→ 0
x^4 + x
x^3 + 2x
; (c) lim
x→ 3
x − 3
x^2 − 4
Fix 1.7: Faça o estudo de sinal do numerador e denominador para determinar os valores de x que
satisfazem as desigualdades:
(a)
3 − x^2
x^2 − 1
≥ 0 ; (b)
x^3 − 1
x(x^2 − 4)
Fix 1.8: Faça o estudo de sinal e o esboço do grá co dos polinômios abaixo.
(a) p(x) = (x − 2)(x + 3)(1 − x); (b) q(x) = (x − 2)^2 (x + 1);
(c) r(x) = (3 − x)(x − 2)^2 (x − 5).
Fix 1.9: Determine: os limites: (a) lim
x→ 0 −
x
; (b) lim
x→ 0 −
x^2
; (c) lim
x→ 0 −
x
|x|
(d) lim
x→ 0
x^3
|x|
; (e) lim
x→ 2
x^2 + 1
x − 2
; (f) lim
x→ 0 −
x +
x
; (g) lim
x→ 3 +
x
x^2 − 9
Fix 1.10: Complete as lacunas com pode/não pode:
(a) A assíntota vertical do grá co de y = f (x) interceptar o grá co de f.
(b) A assíntota horizontal do grá co de y = g(x) interceptar o grá co de g.
Fix 1.11: Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um contraexemplo ou corrija. Se for
verdadeiro justi que. Se lim
x→ 1
q(x) = 0, então
(a) lim
x→ 1
q(x)
= ∞; (b) lim
x→ 1
q(x)
f (x)
= 0; (c) lim
x→ 1
q(x)
−x^2
Fix 1.12: Qual a diferença entre o limite ser indeterminado e o limite não existir?
Fix 1.13: Qual das Figuras abaixo pode representar o grá co de uma função g tal que:
(i) lim
x→∞
g(x) = 1 (ii) lim
x→−∞
g(x) = − 1
(iii) lim
x→ 1 +^
g(x) = ∞ (iv) lim
x→ 1 −^
g(x) = −∞.
(a) (b) (c) (d)
Fix 1.14: Faça um esboço de um grá co de uma função f tal que lim
x→ 1 −^
f (x) = 2, f (1) = 1 e, além
disso (um grá co para cada item):
(a) lim
x→ 1 +^
f (x) = − 2 , (b) lim
x→ 1 +^
f (x) não exista, (c) lim
x→ 1 +^
f (x) = ∞,
Fix 1.15:
(a) É verdade que se 1 ≤ g(x) ≤ 2 então lim
x→ 3 / 2
g(x) existe e é um número entre 1 e 2?
(b) Explique, utilizando o Teorema do Sanduíche, como calcular lim
x→∞
cos(
x^2 + 1)
x^2
1.2 Problemas
Prob 1.1: Esboce o grá co das seguintes funções:
(a) f (x) =
9 − x^2 ; |x| ≤ 3
|x| − 3; |x| > 3.
(b) f (x) =
x − 1; x ≥ 1;
log(x) + 1; x < 1.
Prob 1.2: Considere a função IZ (chamada de função característica ou indicadora do conjunto Z)
de nida por IZ(x) =
0; x 6 ∈ Z
1; x ∈ Z.
Esboce o grá co e determine (se existir):
(a) lim
x→ 3 / 4
IZ(x); (b) lim
x→− 3
IZ(x); (c) lim
x→∞
IZ(x).
Prob 1.3: Calcule os limites abaixo (quando eles existirem) justi cando seus passos (sem utilizar a
regra de L'Hospital) Limites com raízes:
(a) lim
h→ 0
1 + h −
1 − h
h
(b) lim
x→ 4
|x| − 4
x − 2
; (c) lim
h→− 1
h^2 + 3 − 2
h + 1
Prob 1.4: Determine os limites e, caso não exista, os limites laterais (caso existam).
(b) Se f é contínua em a, então lim
x→a−^
f (x) existe.
(c) Se f é descontínua em a, então lim
x→a−^
f (x) 6 = lim
x→a+^
f (x).
Fix 2.2:
(a) Determine se f esboçada no grá co abaixo é contínua ou não nos pontos A, B, C, D.
(b) Explique, caso não seja contínua, qual (quais) condições são violadas.
(c) Determine os pontos de descontinuidade removível
x
y
A B C D
Fix 2.3: Considere as funções abaixo:
(I) f (x) =
x; x < 0;
0; x ≥ 0;
(II) g(x) =
x; x < 0;
1; x ≥ 0;
(III) h(x) =
5; x ≥ −2;
4; x < −2;
Determine se são contínuas em: (a) R; (b) (− 2 , 0); (c) [− 2 , 0].
Fix 2.4: Seja f contínua em [1, 4] tal que f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = − 1 e f (4) = 2. Determine se é
Verdadeiro (provando a a rmativa) ou Falso (dando contraexemplo):
(a) f não tem raiz em [1, 2]; (b) f tem pelo menos duas raízes em [1, 4];
(c) f tem exatamente uma raiz em [2, 3].
Fix 2.5: Determine se é Verdadeiro (provando a a rmativa) ou Falso (dando contraexemplo):
(a) a função que representa o número de habitantes de uma cidade em função do tempo é contínua
em todos os pontos;
(b) a função que representa a altura de uma pessoa em função do tempo é contínua em todos os
pontos;
Fix 2.6: Determine se é Verdadeiro (provando a a rmativa) ou Falso (dando contraexemplo):
(a) Se f é contínua com f (0) > 0 e f (1) > 0 , então f (x) > 0 para todo x ∈ [0, 1].
(b) Se g(1) < 0 < g(2), então g possui raiz em [1, 2].
(c) Se h é contínua e h(2) < k < h(4), então existe c ∈ (2, 4) tal que h(c) = k.
(d) Se j é contínua e k < j(2) < j(4), então não existe c ∈ (2, 4) tal que h(c) = k.
Fix 2.7: Considere f : [− 3 , −1] → R contínua com f (−3) = 5 e f (−1) = 2. Determine se é Verdadeiro
ou corrija:
(a) Se K ∈ [− 3 , −1], então existe c ∈ [2, 5] tal que f (c) = K.
(b) Se K ∈ [3, 4], então existe c ∈ [− 3 , −1] tal que f (c) = K.
(c) Se K ∈ [0, 3], então existe c ∈ [− 3 , −1] tal que f (c) = K.
2.2 Problemas
Prob 2.1: Determine a ∈ R, se for possível, de modo que a função seja contínua em R.
(a) f (x) =
(x − 2)^2 (x + a)
x^2 − 4 x + 4
; x 6 = 2
7; x = 2.
(b) f (x) =
2 x + 5 se x < − 1 ,
a se x = − 1 ,
x^2 − 3 se x > − 1.
(c) f (x) =
x
|x|
; |x| ≥ 1
ax; |x| < 1.
(d) f (x) =
sen
x
; x 6 = 0;
a; x = 0;
(e) f (x) =
e^1 /x; x > 0
a; x ≤ 0.
(f) f (x) =
sen(6x)
sen(8x)
; x 6 = 0;
a; x = 0.
Prob 2.2: Determine a, b ∈ R, se for possível, de modo que f seja contínua em R.
f (x) =
ax + b; |x| ≤ 2;
|x − 1 |; |x| > 2
Prob 2.3:
(a) Seja f (x) = x^4 − 2 x^3 + x^2 + 7 sen(x). Mostre que existe a ∈ R tal que f (a) = 10.
(b) Mostre que existe pelo menos um b > 0 tal que log(b) = e−b.
(c) Considere f contínua em [0, 1] com 0 ≤ f (x) ≤ 1. Mostre que existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c.
(d) Suponha que f é contínua em [0, 2] com f (1) = − 3 e f (x) 6 = 0 para todo x ∈ [0, 2]. Prove que
f (x) < 0 para todo x ∈ [0, 2].
Prob 2.4: Suponha que f : R → R é contínua e f (x) ∈ Q para todo x ∈ R. Prove que f (x) é constante
para todo x ∈ R.
x − 2 − − − + x + 3 − + + + 1 − x + + − − 0 0 0 p(x) + − + −
x
y
(a) p(x) = (x − 2)(x + 3)(1 − x)
(b) Raízes são − 1 , 2. − 1 2 (x − 2)^2 + + + x + 1 − + + 0 0 q(x) − + +
x
y
(b) q(x) = (x − 2)^2 (x + 1)
(c) Raízes são 2 , 3 , 5. 2 3 5 3 − x + + − − (x − 2)^2 + + + + x − 5 − − − + 0 0 0 r(x) − − + −
x
y
(c) r(x) = (3 − x)(x − 2)^2 (x − 5);
Fix 1.9: (a) −∞. (b) ∞. (c) − 1. (d) (a função vale x^2 para x > 0 e −x^2 para x < 0 ) 0. (e) não existe pois depende de qual lado se aproxima. (f) −∞ (0+1/ 0 −^ = 0 − ∞ = −∞). (g) ∞. Fix 1.10: (a) não pode; (b) pode. Fix 1.11: (a) Falso. Se q(x) = x− 1 o limite não existe; se q(x) = −(x − 1)^2 o limite é −∞. (b) Falso. Se f (x) = q(x) então o limite será 1. (c) Verdadeiro. O denominador vai para − 1. As- sim, 0 /(−1) = 0 (não é indeterminação). Fix 1.12: Ser indeterminado signi ca que não pode- mos usar propriedades usuais (soma, produto, divisão) por ter resultado em uma indeterminação. Temos que aplicar outras técnicas para tentar calcular. Pode ser que não exista o limite ou que exista. Quando não existe nada mais podemos fazer. Fix 1.13: A condição (i) exclui a letra (b). Tanto (iii) quanto (iv) exclui letra (d). Finalmente a letra (c) não representa uma função: qual valor de f (0.99999)? São três possibilidades: logo não é função. Resposta: (a). Fix 1.14:
x
y
(a)
x
y
(b)
x
y
(c)
Fix 1.15: (a) É falso. O limite pode não existir. Por exemplo g descontínua em x = 3/ 2 : g(x) = 1 para x ≤ 3 / 2 e g(x) = 2 caso contrário. (b) Como − 1 ≤ cos(y) ≤ 1 ,
x^2
cos(
x^2 + 1) x^2
x^2
Assim, pelo Teorema do Sanduíche, como
lim x→∞
x^2 = lim x→∞
x^2
lim x→∞
cos(
x^2 + 1) x^2
1.2 Problemas p.
Prob 1.1:
x
y
(a) f (x) =
9 − x^2 ; |x| ≤ 3 |x| − 3; |x| > 3.
x
y
(b) f (x) =
x − 1; x ≥ 1; log(x) + 1; x < 1.
Prob 1.2: (a) e (b) o limite é 0. Em (c) o limite não existe pois oscila entre 0 e 1.
Prob 1.3: (a) 1 (racionalize o numerador). (b) 4 (note que para x próximo de 4 , |x| = x e racionalize). (c) − 1 / 2 (racionalize).
Prob 1.4: (a) não existe pois o valor oscila entre 1 e − 1. (b) −∞. (c) para x > 2 , como |x − 2 | = x − 2 , cancelamos os termos e a função é x + 1. para x < 2 , como |x − 2 | = 2 − x obtemos que a função é −(x + 1). Assim para x → 2 +^ o limite é 2 + 1 = 3; para x → 2 − o limite é −(2 + 1) = − 3. Logo o limite não existe. (d) Para x próximo de − 5 o numerador é sempre negativo (cerca de − 2 ). Assim para x → − 5 +^ o limite é −∞; para x → − 5 −^ o é ∞. Logo o limite não existe. (e) Note que x^2 − 5 x + 6 = (x − 3) ∗ (x − 2). Para x → 2 −, |x − 2 | = 2 − x. Logo a função é (x − 3) ∗ (−1) = 3 − x. Assim quando x → 2 −^ o limite é 1. Para x → 2 +, |x − 2 | = x − 2. Logo a função é (x − 3). Assim quando x → 2 +^ o limite é − 1.
Prob 1.5: (a) −∞. (b) 3 (x^3 +1 = (x+1)(x^2 −x+1)). (c) − 1 (para x → − 2 , |x| = −x). (note que 2 é raiz dupla: a^3 − 5 a^2 + 8a − 4 = (a − 1)(a − 2)^2 ). (d) Divida por x − 1 o numerador e o denominador para obter x^3 −x^2 −x− 2 x^2 +3∗x+2.^ R:^ −^1 /^2.^ (e)^4 (f)^ −∞^ (^
1 x −^
1 x^2 =^
x− 1 x^2 ). (g) 0 (o limite é 0 /3 = 0). (h) −∞. (i) 3 (rearrumando o numerador obtemos (x^2 + x − 2)/x). (j) 0. Prob 1.6: (a) ∞. (b) 3. (c) 5 / 4. (d) − 1 (para x pequeno, numerador vale
x^2 = −x). (e) ∞ (para x pequeno, vale − 3 y^3 /(
10 y^2 )). (f) sen(−2) (para x pequeno, numerador vale 4
x^6 = − 4 x^3 ). Prob 1.7: (a) como seno é limitado por ± 1 , temos que −
|x| ≤
|x| sen(1/x) ≤
|x|. Aplicando o Teorema do Sanduíche, concluímos que o limite é 0. (b) substituindo variável, o limite é 3. (c) substi- tuindo variável, o limite é e^5. (d) −∞. (e) e−^2 (fazendo y = − 2 x). Prob 1.8: (a) eab^ (mude variável para y = ax). (b) a−b 2 √c (racionalizando). Prob 1.9: (a) quando x → 0 −^ é 1 , quando x → 0 +^ é
(b) para x > 0 a função vale 1 /x − 1 /x = 0, para x < 0 vale 1 /x − (− 1 /x) = 2/x. Assim quando x → 0 + é 0 , quando x → 0 −^ é −∞. Prob 1.10: (a) É uma pegadinha, pois podemos sim- pli car a função para (x + 1)(x − 1)/(x − 1) = x + 1 para x 6 = 1 (função não esta de nida no 1 ). Assim a função é a reta y = x + 1 mas sem estar de nida em x = 1.
x
y
y = x + 1
(a) y = x^2 − 1 x − 1
(b) O sinal da função é dado pelo denominador, já que o numerador é sempre positivo (igual a 1). O sinal é: |x| > 1 a função é positiva, |x| < 1 é negativa. Assintotas verticais (quando denominador se anula): x = ± 1. A assíntota horizontal é y = 0 (o eixo x) pois o no ±∞ é 0.
x
y
(b) y =
x^2 − 1
x = − 1 x = 1
(b) Correto pois se K ∈ [3, 4] então K ∈ [2, 5]. Logo, pelo TVI, existe c ∈ [− 3 , −1] tal que f (c) = K. (c) Errado. O intervalo [0, 3] não está contido em [2, 5].
2.2 Problemas p.
Prob 2.1: (a) Simpli que o (x − 2)^2 no numerador e denominador. a = 5. (b) Impossível. Teríamos que ter a = 3 e − 2 ao mesmo tempo. (c) a = 1. (d) Impossível pois o limite em x = 0 não existe. (e) Impossível pois teríamos que ter a = ∞, que não é um número real. (f) a = 3/ 4.
Prob 2.2: Temos que resolver o sistema
{ 2 a + b = | 2 − 1 | = 1, − 2 a + b = | − 2 − 1 | = 3.
Obtemos a = − 1 / 2 , b = 2.
Prob 2.3: (a) Note que f (0) = 0 < 10 e que lim x→∞ f (x) =
∞ Logo existe M > 0 tal que f (M ) > 10. Pelo TVI existe c ∈ [0, M ] tal que f (c) = 10. (b) De na h(x) = log(x) − e−x. Queremos en- contrar b > 0 tal que h(b) = 0. Quando x → 0 +, log(x) → −∞ e e−x^ → 1. Logo, lim x→ 0 +
h(x) = −∞.
Quando x → ∞, log(x) → ∞ e e−x^ → 0. Logo, lim x→∞ h(x) = ∞. Assim existem M, N com 0 < M < N
e tais que h(M ) < 0 e h(N ) > 0. Como h é contínua, pelo TVI existe d ∈ [M, N ] tal que h(b) = 0. (c) De na g(x) = f (x) − x. Se g(c) = 0, então f (c) = c. Note que g(0) = f (0) − 0 = f (0) ≥ 0 e g(1) = f (1) − 1 ≤ 0. Se em um dos extremos g se anular nos teremos obtido o c. Caso contrário, g(1) < 0 < g(0). Pelo TVI (g é contínua pois é a subtração de duas funções contínuas), existe c ∈ [0, 1] com g(c) = 0. Este resultado é uma versão simpli cado do Teorema do Ponto Fixo de Brower. (d) Suponha, por contradição, que não é verdade que f (x) < 0. Assim, existiria um t ∈ [0, 2] com f (t) ≥
- Como f não se anula em [0, 2], na verdade f (t) > 0. Como f (−1) = − 3 , aplicando o TVI em [1, t] (f é negativa em 1 e positiva em t) concluímos que existe um c ∈ [1, 2] tal que f (c) = 0. Como isto é um absurdo, concluímos que f (x) < 2 no intervalo [0, 2].
Prob 2.4: Suponha que não e que existam a, b ∈ R, a 6 = b, tais que f (a) 6 = f (b). Como os irracionais estão em todo lugar em R (são densos em R), existe um ir- racional k entre f (a) e f (b). Como f é contínua, pelo TVI existe c ∈ R tal que f (c) = k é irracional. Con- tradição pois assumimos que f (x) é racional para todo x.
