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Função Quadrática
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax^2 + bx + c , onde a, b e c
são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1. f(x) = 3x 2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x^2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -
3. f(x) = 2x 2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x^2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x^2 , onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax 2 + bx + c, com a 0, é uma
curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x^2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor
correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, notaremos
sempre que:
• se a > 0 , a parábola tem a concavidade voltada para cima ;
• se a < 0 , a parábola tem a concavidade voltada para baixo ;
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax^2 + bx + c , a
0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax^2 + bx + c são as soluções da equação do 2º
grau ax^2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido
para o radicando , chamado discriminante, a saber:
• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes
iguais);
• quando é negativo, não há raiz real.
Função Quadrática
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de
mínimo V ; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e
um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são. Veja os gráficos:
Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de
pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a<
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da
parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 0 2 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a
parábola corta o eixo dos y.
Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax^2 + bx + c e determinemos os
valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é
positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b 2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes
casos:
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a
parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos
gráficos abaixo:
quando a > 0
y > 0 (x < x 1 ou x > x 2 )
y < 0 x1 < x < x 2
quando a < 0
y > 0 x1 < x < x 2
y < 0 (x < x 1 ou x > x 2 )
Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4ax² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da
- quando a >
- quando a <
- 3º - < - quando a > - quando a <
- Questão
- • Resposta Questão parábola não possui ponto em comum com o eixo x. - ∆ < - b² – 4ac < - (–4)² – 4 * 4 * (–k) < - 16 + 16k < - 16k < – - k < –
- • Questão O valor de k para que a função não tenha raízes reais deve ser menor que – 1.
- • Resposta Questão Determine os valores de p, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais. - ∆ ≥ Para essa situação temos que ∆ ≥ 0. - b² – 4ac ≥ - (–2)² – 4 * (m – 2) * 6 ≥ - 4 – 4 * (6m – 12) ≥ - 4 – 24m + 48 ≥ - – 24m ≥ – 48 – - – 24m ≥ – - 24m ≤ - m ≤ 52/ - m ≤ 13/
Questão 3 - (Vunesp-SP) O gráfico da função quadrática definida por y = x² – mx + (m – 1), em que m Є R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Determine y associado ao valor de x = 2.
Um ponto em comum significa dizer uma única raiz, então ∆ = 0.
y = x² – mx + (m – 1) Substituir m = 2, no intuito de obter a lei da função y = x² – 2x + (2 – 1) y = x² – 2x + Substituindo x = 2, para determinarmos o valor de y y = 2² – 2 * 2 + 1 y = 4 – 4 + 1 y = 1 Temos que a equação possui a lei de formação y = x² – 2x +1. E quando x = 2, o valor de y se torna igual a 1.
- Questão 4: (UCSal-BA) Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x
- 1, com o eixo das abscissas.
- Resposta Questão 4
No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto: f(x) = 0 2x² – 3x + 1 = 0
Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o “c”. Ele vale –2, então o gráfico da parábola com certeza corta o eixo Y no ponto –2. Vamos marcá-lo:
Pelo coeficiente “a” sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo “b” sabemos que logo após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o seguinte:
Vamos rever a fórmula de Bhaskara dada na lição anterior:
Esta fórmula está correta!
O que iremos mudar é a parte de dentro da raiz (radicando), que é chamada de "DISCRIMINANTE" e representada pela letra grega Δ (delta).
Portanto, a fórmula "super correta" de Bhaskara é, na verdade:
Onde "a", "b" e "c" são os coeficientes dos termos de nossa função quadrática.
Neste capítulo vamos estudar o papel desempenhado por esse "delta" no gráfico de nossa função.
Na fórmula de Bhaskara, o Δ está dentro de uma raiz (é um "radicando") e logo após um sinal ± (mais ou menos).
Este fato de primeiro somar e depois diminuir é o que diferencia uma raiz da outra, pois "mais" Δ é diferente de "menos" Δ.
E se este delta for igual à zero (Δ=0), não teremos diferença entre as raízes. Como uma função quadrática sempre tem que ter duas raízes, dizemos que a função com Δ=0 tem as duas raízes idênticas. Se Δ≠0, então a função tem duas raízes distintas:
Δ = 0 raízes reais e idênticas (iguais); Δ ≠ 0 raízes distintas (diferentes).
Agora, quando Δ≠0 (raízes distintas), teremos duas situações: quando Δ for positivo (Δ>0)e quando Δ for negativo (Δ<0).
Como o Δ é um radicando (está dentro de uma raiz quadrada), se for negativo (Δ<0), as raízes serão números complexos não reais, pois raiz de número negativo não é real. E quando Δ for positivo (Δ>0), então as raízes serão números REAIS.
Veja o quadro de referência rápida abaixo:
Δ = 0 raízes reais e idênticas (iguais); Δ ≠ 0 raízes distintas (diferentes); Δ > 0 raízes REAIS; Δ < 0 raízes complexas NÃO REAIS.
Como sabemos, raiz de uma função é o ponto em que o gráfico da função "corta" o eixo X, então podemos agora analisar o comportamento do gráfico para cada um dos tipos de discriminante.
Δ > 0 Duas Raízes REAIS
Com o discriminante positivo as raízes são REAIS, então existem dois pontos em que o gráfico "corta" o eixo X.
O gráfico pode ser destes dois tipos:
ou
Note que, nos dois exemplos, há dois pontos de "corte".
Δ = 0 Duas Raízes Reais e IDÊNTICAS
Onde "a" é o coeficiente de x 2 na lei da função, e "r 1 " e "r 2 " são as raízes da função. Vejamos uns exemplos:
f(x)= 2x 2 - 6x - 20 Aplicando Bhaskara achamos as raízes 5 e -2 , e o valor de "a" é 2 (a=2). Então, fatorando esta função, temos:
Atenção para os sinais! Como a fórmula é , então o MENOS da fórmula com o MENOS da raiz fica MAIS. f(x) = 3x^2 + 24x + 36 raízes são^ -6^ e^ -2 , e a=3. Portanto, a fatoração desta função fica:
f(x) = x^2 - 4 raízes são^^2 e^ -2,^ e^ a=
Fatoração: f(x) = x^2 + 12x raízes: 0 e -12, a=
Fatoração: f(x) = 4x 2 - 12x + 9 raízes: e , a=
Fatoração: ou
Como já vimos anteriormente, uma função quadrática sempre terá duas raízes, portanto sempre terá dois fatores (mais o "a" , que pode ser 1, mas nunca 0). Fatorando uma função, podemos ver com mais clareza o porquê das raízes serem os "zeros" das funções. Veja nesta função fatorada: f(x)=(x-2)(x+2). Os "zeros" (ou raízes da função) são 2 e -2, pois se colocarmos 2 no lugar de "x" no primeiro fator, este fator será 2-2, que é zero, e qualquer coisa "vezes" zero resulta em zero. A função toda é zerada, e acontece a mesma coisa se colocarmos -2 no segundo fator.
Este tipo de situação pode ser pedido ao contrário também. Ou seja, ao invés de pedir para fatorar uma função, pode ser pedido qual a função que possua determinada raiz. Veja os dois exemplos abaixo: Qual a função que possui apenas 3 e -4 como raízes?
- Devemos utilizar diretamente a fórmula da fatoração , efetuamos a multiplicação e está pronto. Como não é pedido um valor específico para "a" , podemos utilizar a=.
Esta é a função pedida.
Qual a função que possui possui as raízes -4 e -2 e passa pelo ponto (2, 48)?
Usando a fatoração temos: Agora devemos encontrar o valor de "a", para isso utilizaremos o ponto dado no enunciado. Se esta função passa pelo ponto (2, 48), então se substituirmos x=2 e y=48, teremos uma igualdade (lembrando que y é a mesma coisa que f(x)).
Portanto, a função pedida é:
Em alguns exercícios é pedido que se ache o valor da SOMA ou PRODUTO das raízes de uma função do segundo grau.
Uma maneira seria aplicar Bhaskara, achar as duas e somá-las ou multiplicá-las, mas existe um método mais rápido. Veja só!
Vamos usar uma função genérica do segundo grau, que tenha raízes "r1" e "r2". Usando seus fatores, ficamos com:
Efetuando as multiplicações, temos:
Nos termos que possuem "x" podemos colocá-lo em evidência:
Agora, terminando de efetuar as multiplicações, ficamos com:
Verifique agora os coeficientes desta função:
O coeficiente "b" nada mais é do que a SOMA DAS raízes (r1+r2) , multiplicado por "-a". Então, para a soma de raízes (S), podemos utilizar a fórmula:
Olhando para o coeficiente "c" , vemos também que ele é o produto das raízes (r1.r2) multiplicado por "a". Portanto, também para o produto, usamos uma fórmula:
Exemplos:
f(x) = x^2 - x - 2 Soma=-(-1)/1 = 1 Obs.: Não rateie no sinal de "b"! Produto = -2/1 = - f(x) = 2x 2 - 4x - 16 Soma = -(-4)/2 = 2 Produto = -16/2 = - f(x) = 2x 2 + 8x Soma = -(8)/2 = - Produto = 0/2 = 0 f(x) = 4x 2 - 24x + 36 Soma = -(-24)/4 = 6 Produto = 36/4 = 9 f(x) = x^2 - 25 Soma = -(0)/1 = 0 Produto = (-25)/
Vamos nos situar nos estudos. O que é vértice de uma parábola?
- É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.
Como assim?
Veja os exemplos abaixo:
quadrada...).
Vamos ver o que é a tal de "análise de sinal". Dê uma olhada na imagem abaixo:
Veja você que esta parábola (vendo da esquerda para direita) vem lá de cima (infinito) e vai descendo até o vértice, quando troca de sentido e passa a subir até o infinito novamente. Fazer a "análise de sinais" é verificar qual o sinal de Y em cada ponto do eixo X. Olhe novamente a figura. Até o ponto x=-3 a parábola está acima do eixo X , portanto ela é positiva. De -3 até 1 ela está abaixo do eixo X , portanto é negativa. Se houver um exercício, pedindo qual o intervalo em que esta parábola é negativa, a resposta será:
S = (-3, 1)
Note que foi utilizado parênteses, isso indica que o ponto -3 não está no intervalo, pois nele a função vale zero (está em cima do eixo). Idem para o ponto 1.
RESOLUÇÃO
Clique aqui e veja a resolução destes exercícios
- A representação cartesiana da função é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
(A) a<0, b<0 e c> (B) a>0, b>0 e c< (C) a>0, b>0 e c> (D) a<0, b>0 e c< (E) a<0, b>0 e c>
- Qual a função que representa o gráfico seguinte?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- O valor mínimo do polinômio , cujo gráfico é mostrado na figura, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- (UFRGS) As soluções reais da desigualdade são os números x, tais que
(A) (B) (C)
(D) (E)
- (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação
. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a
(A) 6,25 m, 5s (B) 250 m, 0 s (C) 250 m, 5s (D) 250 m, 200 s (E) 10.000 m , 5s
- (UFRGS) Considere a função , definida por , com e. O gráfico de f
(A) não intercepta o eixo das abscissas (B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente (C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto (D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos. (E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.
- A razão entre a soma e o produto das raízes da equação
(A)
(B)
(C)
(D)
03-C 06-B 09-B
Para ver a resolução destes exercícios, clique AQUI. Mas primeiro tente resolvê-los sozinho(a).
1) A representação cartesiana da função é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
(A) a<0, b<0 e c> (B) a>0, b>0 e c< (C) a>0, b>0 e c> (D) a<0, b>0 e c< (E) a<0, b>0 e c>
Isto é apenas análise de coeficientes:
- a concavidade da parábola está para baixo, portanto, o coeficiente "a" é negativo (a<0);
- a parábola corta o eixo Y (eixo vertical) em um ponto acima da origem, logo "c" é positivo (c>0);
- após o ponto de corte do eixo Y , a parábola sobe, então "b" é positivo;
- resposta certa letra "E".
2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- no gráfico é indicado quais são as raízes da função (-3/2 e 3), então sabemos quais são os fatores da equação (x+3/2) e (x-3). Agora efetuando a multiplicação entre estes dois fatores, achamos uma suposta equação para este gráfico:
- mas esta é somente uma suposta equação, pois veja quanto vale seu coeficiente "c". Ele vale -9/2, e no gráfico mostra que ele deve valer "-9". Então, o que devemos fazer para -9/2 virar -9? Isso mesmo, multiplicar TUDO por 2. Daí teremos a equação certa. 2x^2 -3x-9 Letra "C"
3) O valor mínimo do polinômio , cujo gráfico é mostrado na figura, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- este exercício envolve dois tópicos de equações quadráticas: calcular a equação e calcular o vértice;
- é dada uma equação incompleta, sendo indicado somente o valor de "a" (a=1). Porém, no gráfico podemos descobrir as raízes e achar os fatores da função. As raízes são 0 e 3 , portanto os fatores, (x-0) e (x-3). Vamos multiplicar os fatores:
- agora sabemos qual é a equação, e é pedido o valor mínimo da função (Yv). Colocando na fórmula: Resposta certa, letra "C"
4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade são os números x, tais que
(A) (B) (C)
(D) (E)
- esta é uma questão de análise de sinal, pois a equação dada pode ser escrita da seguinte forma: x 2 +1>2x => x 2 -2x+1>
- agora, o que está sendo perguntado é: quando a equação x^2 -2x+1 é positiva? Vamos fazer a análise de sinal, para isso devemos calcular as raízes. Aplicando Bhaskara, achamos 1 e 1 (raízes idênticas). Portanto, o esboço do gráfico é assim:
- o exercício pede quando ela é positiva. Veja que ela está toda em cima da origem, mas atenção no ponto x=1. Ela vale ZERO, e zero não é positivo nem negativo, portanto ela será positiva em todos os números, menos no 1. Resposta certa letra "D"
5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela
equação. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a
(A) 6,25 m, 5s (B) 250 m, 0s (C) 250 m, 5s (D) 250 m, 200s (E) 10.000 m , 5s
- primeiro devemos fazer o esboço do gráfico. Veja como é:
