Baixe Experiencia5 - V2004 e outras Notas de estudo em PDF para Mecatrônica, somente na Docsity!
EXPERIÊNCIA 5:
IMPLEMENTAÇÃO D IGITAL DE CONTROLADORES PID
1. Introdução
Na Experiência 4 você projetou dois controladores da classe PID, um em tempo contínuo e outro em tempo discreto, (mais precisamente você deve ter projetado controladores PI) para o Motor CC. Nesta experiência, será realizada a implementação em computador (digital) destes controladores. A implementação do controlador em computador é feita através da sua equação de diferenças, que é obtida pela sua Função de Transferência.
A Seção 2 apresenta um esquema de uma malha fechada com um controlador implementado em um computador digital e o método de obtenção da equação de diferenças correspondente à função de transferência do controlador em tempo discreto. A equação de diferenças é executada no computador de forma a implementar o controlador projetado. A Seção 3 apresenta diversas técnicas de discretização de controladores em tempo contínuo, de forma a permitir a sua implementação através de um computador digital.
2. Um Sistema de Controle Digital
A Figura 1(a) ilustra um sistema de controle digital. O sistema de controle é composto de um Amostrador ( Conversor Analógico-Digital - A/D ), um Controlador Digital (no caso implementado em um computador) e um Conversor Digital-Analógico (Reconstrutor de Ordem Zero – D/A ). Observa-se que apesar do controlador estar implementado em um computador e trabalhar em tempo discreto, este sistema de controle produz um sinal de controle u(t ) contínuo no tempo.
A Figura 1(b) ilustra o diagrama de blocos do sistema com as suas respectivas funções de transferência. Note que este sistema de controle possui simultaneamente sinais de tempo discreto e sinais de tempo contínuo. Os sinais E(z) , H(z) e M(z) são sinais discretos no tempo. A parte de tempo discreto se refere ao algoritmo executado pelo computador e a parte de tempo contínuo se refere ao sistema físico correspondente a planta a ser controlada.
Note que existem variantes para este sistema. Por exemplo, a referência pode ser gerada pelo computador, assim, a saída da planta deve ser amostrada antes de ser comparada com o sinal de referência digital (tempo discreto), de forma a gerar um sinal de erro digital.
Como visto na Experiência 4 existem duas formas de projetar um controlador que será implementado através de um computador. A primeira consiste em projetar o controlador em tempo contínuo, depois discretizá-lo, usando algum método de integração numérica de equações diferencias, para permitir a sua implementação em um computador. A segunda consiste em projetar o controlador diretamente em tempo discreto usando o modelo em tempo discreto do sistema a ser controlado.
r(t)
+ _
e(t) e(kTa ) u(kTa ) u(t)^ y(t) Segurador de Planta Ordem Zero D/A
Controlador Digital
Amostrador A/D
(a)
s
R ( s ) + 1 − e − sTa Ta _
E(s) E(z) M(z) U(s)^ Y(s) H(z) GP(s)
(b)
Figura 1: (a) Diagrama de blocos de um sistema de controle digital. (b) Diagrama de blocos equivalente evidenciando as funções de transferência.
Em qualquer uma das formas de abordagem, o projeto do controlador resulta em uma função de transferência, ou em s ou em z. Entretanto, a implementação digital de um controlador é realizada através de uma equação de diferenças, que é obtida pela função de transferência em z. Uma equação de diferenças tem em tempo discreto a mesma função de uma equação diferencial em tempo contínuo e ambas podem ser obtidas pela função de transferência correspondente em z ou em s. Ou seja, o equivalente de uma função de transferência em s é uma equação diferencial (domínio do tempo contínuo), e o equivalente de uma função de transferência em z é uma equação de diferenças.
2.1 Obtenção da equação de diferenças a partir da Transformada Z
Neste item é apresentado como obter a equação de diferenças correspondente à função de transferência do controlador em tempo discreto, H ( z ), que será implementada em computador. Note que no caso de projeto do controlador ter sido realizado em tempo contínuo, antes de se obter a equação de diferenças, é necessário obter a função de transferência em tempo discreto equivalente à função de transferência em tempo contínuo. Os métodos para fazer esta aproximação (discretização) estão apresentados na Seção 3.
Para se obter a equação de diferenças equivalente a uma função de transferência em z , procede-se da seguinte forma. Seja a seguinte função de transferência genérica de ordem n :
Y z U z
G z
b z b z b z b z a z a z a
m
m m
m n n
n
−
−
−
−
1
1 1 0 1
1 1 0
K
K
Uma forma de realizar esta discretização seria obter a equação diferencial correspondente à função de transferência do controlador H ( s ) utilizando algum método numérico de integração de equações diferenciais ordinárias. Contudo, na área de controle o processo preferido é obter a função de transferência em tempo discreto, H ( z ), a partir de H ( s ) e depois obter a equação de diferenças. Assim, o problema passa a ser o seguinte: dado um controlador em tempo contínuo descrito por sua função de transferência, H ( s ), deseja-se encontrar uma função de transferência em z , que aproxime H ( s ) em tempo discreto.
Existem inúmeros métodos que podem ser utilizados para discretizar um controlador, contudo alguns são mais simples e mais usuais. A seguir são apresentados alguns destes métodos mais usuais.
Método de diferenças a Frente (ou Método de Euler):
No método da diferença para frente, a primeira derivada no tempo de uma função é aproximada por uma diferença no tempo da seguinte forma:
a
a T
xt T xt dt
dx ( t ) ( + )− () ≈ (5)
Calculando a Transformada de Laplace do lado esquerdo e a Transformada Z do lado direito da equação (5) tem-se:
a T a
z X z T
X zz X z sX s
Para que os dois lados da equação (6) sejam equivalentes, ou pelo menos aproximadamente iguais, tem-se que:
T a
z s
Ou seja, para uma função H ( s ) a função em tempo discreto H ( z ) equivalente pode ser obtida pela simples substituição de s pela expressão de z dada pela equação (7), ou seja:
T a
H ( z )≈ H ( s ) s =( z − 1 ). (8)
Método de Diferenças a Trás:
Utilizando agora uma diferença a trás para a aproximar a primeira derivada de uma função no tempo, tem-se:
a
a T
xt xt T dt
dx ( t ) ()− ( − ) ≈. (9)
Calculando a Transformada de Laplace do lado esquerdo e a Transformada Z do lado direito da equação (9) tem-se:
a a zT a
z X z T
z X z T
X z z X z sX s
− −
. (10)
Desta forma, conclui-se que para este método tem-se a seguinte aproximação entre s e z :
zT a
z s
Ou seja, para uma função H(s) a função equivalente em tempo discreto H(z) pode ser obtida por:
zT a
H (^) D ( z )= H ( s ) s =( z − 1 ). (12)
Transformação Bilinear, ou Método de Aproximação de Tustin:
Uma outra aproximação corresponde ao método de integração trapezoidal que é denominado Transformação Bilinear ou Método de Aproximação de Tustin. Neste caso a aproximação é feita utilizando a seguinte equivalência:
z
z T
s a
Ou seja, para uma função H(s) a função em tempo discreto H(z) equivalente pode ser obtida por:
( 1 )
z
z sT D a
H z H s. (14)
Método do Casamento de Pólos e Zeros:
Uma maneira simples e eficiente para a obtenção do equivalente discreto é a utilização do mapeamento entre o plano s e o plano z através da Transformada Z. Se a transformada Z for aplicada a um sinal contínuo x ( t ), então os pólos da transformação discreta X(z) estarão relacionados com os pólos de X ( s ) de acordo com a seguinte relação:
s = esT^ a. (15)
O Método do Casamento de Pólos e Zeros como utiliza a própria definição de Transformada Z também mapeia o semi-plano esquerdo de s como um circulo unitário em z , preservando, desta forma, as condições de estabilidade.
Figura 2: Mapeamento da região estável do s para o plano z de acordo com o método de diferenças a frente, diferenças a trás e o método de Tustin.
3.2. Seleção do período de amostragem
A escolha apropriada do período de amostragem Ta é uma decisão importante em um sistema de controle digital. Se o período de amostragem for muito longo será impossível reconstruir o sinal contínuo. Se o período de amostragem for muito pequeno o computador ficará sobrecarregado. A escolha do período de amostragem depende bastante do propósito do sistema.
Em princípio quanto menor for o período de amostragem melhor será a aproximação digital, certo? Não necessariamente! Este paradoxo pode ser verificado pelo seguinte: se o período de amostragem for muito pequeno, os pólos do controlador se aproximam da unidade (1), que é também o limite da estabilidade. De acordo com a equação de mapeamento entre s e z, repetida abaixo,
z = esT^ a ,
se Ta for muito pequeno, tendendo a zero, os pólos do controlador em z tendem a 1, que são os pólos de um sistema marginalmente instável, tornando, assim, o sistema em malha fechada instável!!!! Contudo, não é necessário que Ta seja igual a zero para que problemas comecem a surgir, basta que Ta seja pequeno o suficiente para que os pólos em z não consigam ser distinguidos da unidade pelo computador. Lembre-se que o computador usa um número finito de bits para representar números e, assim, dependendo do número de bits , não consegue distinguir, por exemplo, 1 de 0,99999. Portanto, períodos de amostragem pequenos podem introduzir distorções significativas no comportamento dinâmico do sistema.
A escolha do período de amostragem adequado pode ser feita com base numa variável adimensional e que possui uma interpretação física. Para sistemas oscilatórios é natural a
normalização com base no período de oscilação, para sistemas não oscilatórios, o tempo de subida do sistema é o fator de normalização adequado.
Define-se o número de períodos de amostragem por tempo de subida:
a
r r (^) T
t N = , (18)
onde tr é o tempo de subida. No caso de sistemas de primeira ordem, o inverso da constante de tempo, T , pode ser considerada a freqüência de corte do sistema, então de acordo com o Teorema de Amostragem deve-se amostrar com uma freqüência pelo menos 2 vezes maior, ou seja, ter-se Ta duas vezes menor do que T. Para sistemas de primeira ordem, o tempo de subida é cerca de 2,3 vezes a sua constante de tempo, assim, Nr seria no mínimo igual a 1,15. No entanto, na prática deve-se utilizar uma freqüência de amostragem de cerca de 5 a 10 vezes maior do que a mínima freqüência prevista pelo Teorema de Amostragem, assim, deve- se escolher Nr entre 6 e 12.
Para um sistema de segunda ordem com grau de amortecimento ξ e freqüência natural
ω n , o tempo de subida é dado por:
t ω 1 e ϕ/tan^ ϕ
r n
onde ξ = tan ϕ. Para um grau de amortecimento em torno de ξ=0.7, isto resulta em:
ω n Ta ≈ 0. 2 − 0. 6 , (20)
onde ω n é dado em radianos por segundo.
4. Parte Prática
O objetivo da parte prática desta experiência é implementar os dois controladores da velocidade angular do motor CC projetados na Experiência 4.
4.1. PARTE 1: Implementação do controlador analógico (de tempo contínuo)
O objetivo desta parte é implementar o controlador tipo PID em tempo contínuo em um computador e observar o comportamento da velocidade angular do motor em malha fechada. Para atingir este objetivo os seguintes passos devem ser seguidos:
Item 1: Realize uma aproximação discreta do seu controlador PI analógico utilizando os quatro métodos apresentados no item 3.1. Obtenha as funções de transferência em z de maneira simbólica, ou seja, em função de K , Ti e Ta.
Item 2: Faça uma comparação entre os vários métodos de discretização tendo o controlador PI contínuo como referência. Para tal, utilize o MATLAB para construir
Obtenha gráficos dos Diagramas de Bode para um período de amostragem adequado. Analise os resultados obtidos. Com base nestes resultados escolha o controlador em tempo discreto cuja resposta em freqüência mais se aproxima do controlador em tempo contínuo. Este controlador você vai usar no restante desta Parte.
Item 3: Neste item você irá realizar a simulação do sistema de controle digital que você projetou. Para tal, você irá utilizar um modelo em SIMULINK do arquivo, c:\PMC526\Exp5\ControladorPI_Digital.mdl, apresentado na Figura 3. Este arquivo contém um modelo que realiza a simulação do sistema em malha com o controlador PI digital. Este modelo possui um bloco de quantização e um bloco retentor de ordem zero. O controlador PI é definido através de equações de diferenças e a planta é um modelo de tempo contínuo. Os parâmetros de simulação devem estar definidos no ambiente do MATLAB. Neste modelo estão definidos blocos que salvam as variáveis de simulação no ambiente do MATLAB. Ao final da simulação as variáveis r , u , y , e tout (vetor de tempo) serão vetores contendo os valores da simulação. Com estas variáveis você pode gerar e salvar gráficos das simulações através do comando plot.
Figura 9: Modelo em SIMULINK do sistema de controle de tempo discreto.
Os parâmetros necessários para a simulação são os seguintes:
- Kw (ganho da planta)
- T (constante de tempo da planta);
- K (constante proporcional); 4. Ti (constante de integração);
- Ta (período de amostragem); 6. nbits (número de bits utilizados para a quantização).
Simule o seu sistema de controle projetado (com os parâmetros da planta correspondendo as três posições de frei magnético). Compare os resultados, as especificações foram atendidas nas tr6es situações?
Item 4: Os sistemas de aquisição de dados possuem resolução elevada, em geral de 12 bits ou mais, desta forma, as não linearidades geradas pela quantização são desprezíveis.
Entretanto, para observar os efeitos do processo de quantização você irá realizar duas simulações do sistema de controle digital com os parâmetro projetados (com os parâmetros da planta correspondendo à posição sem freio magnético) mas com o número de bits, nbits , igual a 4 e 8. Analise os resultados obtidos. As especificações ainda são atendidas?
Item 5: Agora você deve realizar um experimento real de controle do Motor CC. Para isso você deve utilizar o VI c:\PMR\Exp5\Real-Time-Controller-EqDifV4.0.vi. A interface deste programa está ilustrado na Figura 4.
Figura 4: Interface do sistema de controle PI.
Esta interface possui seguintes os comandos:
- Device: escolha do dispositivo (mantenha o valor default);
- Input Channel: número do canal de entrada (mantenha o valor default);
- Ouput Channel: número do canal de saída (mantenha o valor default);
- Rate: freqüência de amostragem em Samples/s (colocar a que utilizou);
- a 1 : coeficiente a 1 (que multiplica u ( k −1)) da equação de diferenças do controlador;
- b 0 : coeficiente b 0 (que multiplica e(k)) da equação de diferenças do controlador;
- b 1 : coeficiente b 1 (que multiplica e ( k −1)) da equação de diferenças do controlador;
- Limite Superior: limite superior para saturação;
- Limite Inferior: limite inferior para saturação;
- Botão STOP: para a simulação quando pressionado.;
