intro matlab, Notas de estudo de Mecatrônica

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MATLAB para o Laborat´orio de Automac¸ ˜ao II

Ricardo Cury Ibrahim (vers˜ao preliminar)

 

1 Introduc¸ ˜ao M-

2 Conceitos Gerais M- 2.1 Operac¸ ˜oes matem´aticas simples............................  2.2 Armazenando dados em vari´aveis...........................   2.3 Formato dos n´umeros.................................. "! 2.4 Utilizando func¸ ˜oes matem´aticas elementares...................... "! 2.5 Listas.......................................... $# 2.5.1 Operac¸ ˜oes matem´aticas com listas....................... ^ % 2.6 Matrizes......................................... '&(& 2.6.1 Operac¸ ˜oes matem´aticas com matrizes..................... )& 2.7 Loops e tomadas de decis˜ao.............................. '& 2.7.1 Loops usando for................................ )&+ 2.7.2 Loops usando while.............................. )&+ 2.7.3 Tomadas de decis˜ao usando if-else....................... )&*! 2.8 Plotando gr´aficos.................................... '&+! 2.9 Importando/exportando dados de/para um arquivo................... ,)&+% 2.10 Utilizando polinˆomios.................................  - (-

3 MATLAB Aplicado a Controle e Processamento de Sinais M- 3.1 Processamento de sinais................................ $-. 3.2 Controle.........................................  - (# 3.2.1 M´etodo do lugar das ra´ızes........................... ^ /.

4 Criando Func¸ ˜oes e Arquivos Script M- 4.1 Func¸ ˜oes......................................... "/( 4.2 Arquivos script..................................... "/1&

,$-

    ^ ^  ^  ^    

Esta sec¸ ˜ao apresenta conceitos b´asicos do MATLAB para aplicac¸ ˜ao geral. A assimilac¸˜ao desses conceitos ´e fundamental para a boa utilizac¸˜ao do software, constituindo um ferramental b´asico de uso frequente. E interessante observar que MATLAB ´´ e uma abreviac¸ ˜ao da junc¸˜ao das palavras inglesas Matrix e Laboratory. Note, ent˜ao, que o MATLAB existe basicamente para manipular matrizes. Observac¸ ˜ao importante: o tipo de fonte exemplificado abaixo ser´a usado sempre que for necess´ario indicar um comando a ser usado no ambiente MATLAB. Entende-se por ambiente MATLAB a janela para se digitar comandos, que ´e aberta ao se iniciar o programa. Ao iniciar o programa MATLAB por meio de seu ´ıcone de atalho ou clicando a sequˆencia INICIAR  PROGRAMAS  MATLAB  MATLAB, abre-se uma janela para entrada de comandos. Todos os comandos para execuc¸˜ao de alguma atividade devem ser digitados em frente ao prompt .

  "!#"!  !$%&  ')(+*,% O primeiro comando a ser apresentado ´e tamb´em um dos mais importantes, pelo menos dentro daquela perspectiva de que o aluno deve ser o mais autosuficiente poss´ıvel. ´E o comando "!. Basta digitar - . / - 0  "! seguido do nome de algum comando que se deseja obter informac¸ ˜oes e apertar a tecla

. Experimente com

  "!#!+12% Uma forma mais conveniente de usar o  "! do MATLAB ´e abrindo uma janela pr´opria de 3 "!. Do menu, escolha Help e selecione Help Window. Na nova janela aberta pode-se encontrar diversos t´opicos de ajuda organizados por um determinado tema. Tente abrir a tabela de "! para operac¸ ˜oes elementares com matrizes ( "43$% ). Obviamente, uma outra forma de se obter ajuda nesse tema ´e dar o seguinte comando na janela de comandos:

  "!5 "43$% Por outro lado, se estiver dispon´ıvel a opc¸˜ao Help Desk(HTML) no menu Help , ser´a aberto um sistema bem mais complexo de ajuda no formato html no seu browser. Utilizando o comando  2! sem argumentos far´a com que sejam listados todos os t´opicos gerais de ajuda, incluindo o Simulink e o Toolbox. Outra forma bastante pr´atica de se aprimorar no MATLAB ´e executar alguns programas demos j´a inclu´ıdos no pacote. Use o comando  2!#6 74819 para obter uma listagem dos demos com func¸ ˜ao geral. Ou use o comando  "!:9*;46 24819 para uma listagem dos demos do Simulink. Experimente tamb´em  "!=<&1"> %?1  , e descubra quais os demos do Control Toolbox. Para rodar um demo basta digitar o seu nome ap´os o prompt, na janela de comando, e seguir as instruc¸ ˜oes pr´oprias

@BADC EFHGJI3KHLMONP GRQSTKVUGJS KVU3XW (^) M KYQZQXDS[F]^GRQ Operac¸ ˜oes matem´aticas simples podem ser realizadas diretamente na janela de comandos com o uso dos seguintes caracteres: soma (+), subtrac¸˜ao (-), multiplicac¸˜ao (*), divis˜ao (_ ou `), potˆencia (ˆ). Exemplo:

,"

    

 ^  $7> 9

E importante saber qual a ordem de precedˆ^ ´ encia dos operadores mencionados acima. Para tanto, teste vocˆe mesmo com v´arios exemplos para descobrir a ordem. Um dos testes para saber qual a precedˆencia entre  e  poderia ser calcular   . Note que o uso de parˆenteses pode alterar a precedˆencia de acordo com a necessidade. A listagem completa dos operadores pode ser obtida consultando o help de “operators and special characters”, ou dando o comando  2!51"! 9. A esta altura vocˆe j´a deve ter reparado que muitas vezes o help de algum t´opico ´e muito longo e a informac¸˜ao rola pela tela sem parar. Existe uma maneira de se apresentar a informac¸˜ao de forma que ao se preencher uma tela o help pare e espere por um novo sinal para apresentar a tela seguinte. Basta usar o comando 4 81? . Tente:

  4 817?  1 ">   "!:1"! 9 Para retornar ao modo default, de rolagem sem parar, ´e s´o usar o comando

  4 817?  1  E claro que sempre se pode usar o mouse para rolar^ ´ 

@BA @  I+STK GK (^) P ]K (^) P Q GJS YKYI+X KWOGJXDQ Armazenar dados em vari´aveis ´e uma maneira muito ´util de tratar com operac¸ ˜oes mais complexas. A associac¸ ˜ao de um determinado valor a uma vari´avel ´e bem simples:

 '$! "$#% $ & "'#%

que associa o valor -  #( a vari´` avel (. Podemos ter tamb´em:

  )* $!+ "$% ),

-"$ +% Se vocˆe esquecer e quiser relembrar o valor armazenado numa determinada vari´avel, basta digitar a vari´avel em seguida ao prompt:

 '$ $ & "'#% ,$

 Entre um n´umero complexo qualquer, como no exemplo abaixo, e experimente com as diversas func¸ ˜oes pertinentes ( $) 89 -, (/. , $7> #)3,D(5. , <&1">13,D(/. ,?  $  ,D(/. , ;4+$#6,D(/. )

 >8< !   * >8<    " 9 999  -"^9 999 Descubra se os argumentos das func¸ ˜oes trigonom´etricas como 9 *><,D(/. , <&19-,D(5. , %$7>7,D(/. devem ser em radiano ou em grau.

@BA  X^QUKYQ Uma lista ou um vetor ´e uma colec¸˜ao de dados de um mesmo tipo e unidimensional, ou seja, a cada elemento se pode associar um ´ındice ´unico. A lista ´e um dos elementos mais ´uteis no MATLAB. A maneira mais simples de se criar uma lista no MATLAB ´e escrevendo seus elementos um a um separados por v´ırgula ou por espac¸o dentro de colchetes.

     ^ :^ )()!<, . ! *     "^9 999 "'#^    "   9   " 9 999* ou ent˜ao,

      )(&!7, .! '    "^9 999 "'#^    "   9   " 9 999 Note que esta ´e uma lista (ou vetor) horizontal. Para criar uma lista vertical (coluna), basta separar seus elementos por ponto e v´ırgula.

      0 )()!<, .-0! -0    "^9 99 "'# (^)   -" (^)   9 &  " 9 999 Ou ent˜ao, use o sinal de ap´ostrofo para representar a transposta do vetor linha em seguida ao sinal de ponto:

      )(&!7, .! ' "    "^9 99 ,$#

 "'# (^)   -" (^)   9 &  " 9 999* E importante observar que se n˜^ ´ ao fosse usado o sinal de ponto antes do ap´ostrofo o resultado seria o conjugado da transposta, no caso de listas com n´umeros complexos. Verifique vocˆe mesmo+ Utilizaremos, em seguida, um exemplo muito comum nos livros sobre MATLAB. Imagine que se queira plotar uma determinada func¸˜ao, co-seno por exemplo. Escolhe-se um determinado intervalo de interesse. Diversos elementos compreendidos no intervalo constituem uma lista, no eixo horizontal do gr´afico a ser plotado. Ent˜ao, para cada elemento, calcula-se o valor correspondente da func¸ ˜ao desejada. Essa operac¸ ˜ao formar´a uma outra lista (com mesmo n´umero de elementos) de valores a serem plotados segundo o eixo vertical. 
Digamos que se queira plotar a func¸˜ao co-seno para valores compreendidos no intervalo de (^) _(- rad (aproximadamente  & .#.0 ) a 20 rad. Uma maneira de se criar uma lista com, por exemplo,

50 elementos ´e usando a func¸ ˜ao  *>89"!$<3, (  ( 6^ >. :

 Z(  *,>89,!$<)3, 7! * :^9 % 9 2.-  

Note o sinal de ponto e v´ırgula no final da linha de comando. Ele foi usado para evitar que os 50 elementos fossem mostrados na tela. Tente usar o mesmo comando sem o sinal de ponto e v´ırgula e veja o que acontece. Em seguida, veja como ´e pr´atico o uso de listas em MATLAB: para calcular o valor da func¸ ˜ao co-seno para cada elemento da lista basta usar o comando

 ^ = <&1 9 -,D(/.-

Desta maneira, foi criada uma nova lista  tamb´em com 50 elementos. A cada elemento de uma lista corresponde um ´ındice. O ´ındice do primeiro elemento sempre ´e & (e n˜ao zero). O primeiro elemento da lista  ( ^ _(- ) pode ser mostrado com o comando:

 Z(6, *. $7> 9   "$%+#^9 Analogamente, o quinto elemento da lista  e:´

 ^ = ,^ %. $7> 9 9 " 9 Tamb´em ´e poss´ıvel utilizar a notac¸ ˜ao de matrizes para se referir a uma lista. O quinto elemento de uma lista horizontal  seria 7,  % .; enquanto que o quinto elemento de uma lista vertical seria  ,%:^ *.. Uma outra maneira de se criar uma lista, em que se tem o primeiro e o ´ultimo elemento e o intervalo constante de variac¸˜ao entre elementos subsequentes, ser´a mostrada em seguida. Vamos criar uma lista - de n´umeros reais entre & e 0 com espac¸amento  0 * &. Isto ´e feito da seguinte forma:

, 

 + (^)  "^    $&?)> ># 
* 8"6  ) =^ )?31 "

$7> 9  1  )&4 > 89  %&?1)#) #  >  "^9 999  " 9 999 "'++^  "% 9 99  " 9 999 9 "   #  1  )&4 > 89 Z%&?1)#) + 9 "  9 "$ +%^9 9 9 "+++ 9 + (^)  "^   $&?)> ># 
* 8"6  ) = (^) )?31 "

$7> 9  1  )&4 > 89  %&?1)#) # 9 9 "++ 9 "+%^9 9 9 "  9 "   #  " 9 999  "$%^9 9  1  )&4 > 89 Z%&?1)#) + "$+++ (^)  " 9 999 " (^9) 999  >  + (^)  "^ )8 

$7> 9  1  )&4 > 89  %&?1)#) # 9 9 " 9 9 9 9 "99 9 "$^  9 9 9 " 99 9 "$ +%^9 9 9 "$^ 9  1  )&4 > 89 Z%&?1)#) + 9 "  99 9 " 99 9 " 9 9 9 9

Repare, entretanto, nas seguintes operac¸ ˜oes: + (^)  )      - ? ?17? )89>#, +  )  >>)?Z43$%?+2( 6 8*;437>89 )1">89 4 ) 9 "% $ #?   " + (^)  )  -"

$7> 9  "  % 9  Note a maneira de se executar um multiplicac¸˜ao ou uma divis˜ao entre listas. Deve-se usar o sinal de ponto ( ") antes do s´ımbolo da operac¸ ˜ao de multiplicac¸˜ao ou divis˜ao. Operac¸ ˜oes entre listas s´o podem ser executadas se as listas forem de mesma dimens˜ao (mesmo n´umero de elementos). Repare a diferenc¸a entre a divis˜ao direita (  ) e a divis˜ao esquerda ( ). Note tamb´em os resultados e os avisos de divis˜ao por zero. '&+

  @BA  KVUI+X  GRQ A maneira mais simples de se criar uma matriz em MATLAB ´e inserindo seus elementos um a um, como uma lista, mas separando cada linha da matriz por ponto e v´ırgula:

+ (^) 17?4+$%&)3$7> +    ! -0  %6^9 " #  9 "$^ 9)-0 99 9 9 9    -" (^9) 9  " (^9) 9 -" (^)   " (^9) 9 9 " # 9 "$ (^9)  99 " 9 9 9 9 " 9 9 9 9 " 9  Repare que o formato dos n´umeros (ver sec¸ ˜ao 2.3) foi modificado para bank. O que aconteceria se a mesma matriz fosse definida com o formato default do MATLAB ( short )? Um elemento de uma matriz bidimensional pode ser referenciado atrav´es de seus dois ´ındices: +   ,6^ .

$7> 9 9 " $ (^9) As listas (vetores) vistas anteriormente podem ser consideradas um caso particular de matriz unidimensional. Em geral, as matrizes bidimensionais em MATLAB podem ser consideradas como sendo formadas por linhas (ou colunas) de listas. Por exemplo, sejam dadas duas listas definidas abaixo:

+ (^) 17?4+$% + (^) +&9  *>89"!$<3, 9 92.

 +* 9 *    % 

 

+ (^) +*&9  *>89"!$<3, 9 "  92.

 +* 9  1  )&4 > 89  %&?1)#) # 9 " 999 9 "$^9 99 9 "$^9 99 9 "999 9 "% 9 99 9 "999 9 "'#^9 9  1  )&4 > 89 Z%&?1)#)  9 " 999 9 "$^9 99  " 9 99 Pode-se facilmente criar matrizes com estas listas: +  $%  +&9  0 +&  $)%   1  )&4 > 89  %&?1)#) # '&(&

 

$7> 9    %  #

  Extendendo ainda mais o conceito de criac¸ ˜ao de matrizes, uma matriz tamb´em pode ser formada de outra matriz,

+  $%   $%  0 +&9   $)%   1  )&4 > 89  %&?1)#) #  " 9 999 "^9 999 -"^9 999  " 9 999 %"^9 999  " 9 999 # " 9 99 9 " 999 9 "$^9 99 9 "$^9 99 9 "999 9 "% 9 99 9 "999 9 "'#^9 9  " 9 999 "^9 999 -"^9 999  " 9 999 %"^9 999  " 9 999 # " 9 99  1  )&4 > 89 Z%&?1)#)  " 9 999 " (^9) 999 9 " 9 99 9 " 999 9 "$^9 99  " 9 99 " 9 999 " (^9) 999 9 " 9 99 A dimens˜ao de uma matriz pode ser obtida com a func¸˜ao 9   :,  .. + (^9) *  :,  $%.

$7> 9  

ou seja, a matriz Mat2 tem dimens˜ao &+0  -. A matriz identidade pode ser criada com a func¸˜ao  =  +  6 7> %   = 3, .  6 7>%   9 9 '&+/

    9  999 

     (  ($" (^)   (^) %    $ 

As operac¸ ˜oes com matrizes s˜ao bem convenientes com o MATLAB. Uma lista de todas as operac¸ ˜oes pode ser obtida com o comando  2! 4 3$)%*) >. Veja alguns exemplos:

+ (^6) % , *.

$7> 9 

 9 " 9 +  9 " 9 9  )* 9 " 9   9 " 9 9 )* 9 " 9 9 %+^  9 " 9 99 3*

 % " (^9) 999  "$% (^9) 9  "$% (^9) 99 -" % 9  +  $%  ") $%    - ??17? )89>#, +  ")  $)%?+"( 6 +;43>89)1"> 9 4 )89"% $# ?  " +  $%  ") $% "

$7> 9  1  )&4 > 89  %&?1)#) #  " 9 999  " 9 999 "^9 999  " 9 999 +%"^9 999   " 9 999  "^9 99 9 " 9 99 9 " 9 99 9 " 9 9 9 9 " 99 9 "+%^9 9 9 "'^ 99 9 " 9   1  )&4 > 89 Z%&?1)#)    " 9 999  " 9 999 99 " 9 99 9 "   99 9 "99  " 9 99

@BA  P P FQ G#U (^) P STK]KYQ ]G ]G (^) M XDQ KN P O que veremos nesta sec¸ ˜ao pode ser bastante ´util em diversas situac¸ ˜oes. Loops podem ser usados para criar listas, executar diversas operac¸ ˜oes de forma repetitiva, etc. Tomadas de decis˜ao podem ser

'&*

  

> * )>* 0   *     0 7> + (^) 

 %" (^9) 999 %" (^9) 999 -"$#% (^9) 9 "$% (^9) 9


 (^)     

(^)  $   '   $ & 

E usado de forma an´^ ´ aloga a outras linguagens de programac¸ ˜ao. N˜ao h´a muito o que explicar j´a que deve ser do conhecimento de todos. Repare que deve terminar com o comando 7>6. Exemplo:

+ (^) 17?Z4 
  317?Z> 


•  4 + >  , 4  > .  0   9 *  4 7>  , 4  > . 0   9   , 4  > .  7> 7> 6 7> +  

 9  9 9 

Note que se houver apenas duas possibilidades a verificar deve-se usar if-else-end , enquanto que se houver trˆes ou mais possibilidades a verificar deve-se usar if-elseif-...-elseif-else-end.

@BA  \P UK (^) P I KW (^) M P Q O MATLAB ´e bastante vers´atil para criac¸ ˜ao de gr´aficos em diversos estilos (bidimensional, tridimensional, barras, polar, etc.). Vamos plotar a func¸ ˜ao co-seno com as listas  e  criadas na sec¸ ˜ao 2.5. Para gr´aficos simples bidimensionais deve-se usar a func¸ ˜ao !+ 1 2%.

'&+!

  

 !+ 1 2%7,D( =.  

Logo em seguida a esse comando, deve ser aberta uma nova janela gr´afica com o gr´afico da func¸ ˜ao desejada. Para se obter o gr´afico com grades para facilitar a leitura, use a func¸ ˜ao # ?+*"6 1 ">. Note que o MATLAB ajusta os eixos automaticamente.

−1 −5 0 5 10 15 20

−0.

−0.

−0.

−0.

0

1

Como salvar o gr´afico num formato que possa ser inserido por um editor de textos? Na janela do gr´afico, ´e s´o clicar no menu File  Export... e escolher o formato desejado. Ou, se preferir trabalhar na janela de comandos, use a func¸˜ao! ?8>% adequadamente. Dˆe um  "!! ?+> %. Para adicionar t´ıtulos aos eixos e ao gr´afico, siga o modelo abaixo:

 Z()$)3 4, - "(1'(.   = )$)3 4, - "(1 =.   %8,%3&3,
^ ?$ +&<&15<&19-,D(5..

Para plotar mais de uma curva ao mesmo tempo:

 !+ 1 2%7,D( = (  9 *><,D(/..

'& #

    

−1−5 0 5 10 15 20

−0.

−0.

−0.

−0.

0

1

Note como a curva com poucos pontos ficou bem distorcida. Isso ´e bastante importante em aquisic¸˜ao de sinais: o n´umero de dados amostrados deve ser suficiente para revelar a informac¸˜ao correta do sinal. Este t´opico dever´a ser visto em detalhe no decorrer das atividades do laborat´orio.

@BA S[F (^) P IUK (^) P G F (^) P IUK (^) P ]K (^) P Q ]G FKYI3K (^) " S KYI (^) " X' (^) P Entre as diversas atividades do curso, estaremos aquisitando dados experimentais atrav´es de uma placa de aquisic¸˜ao conectada ao computador e controlada por func¸ ˜oes programadas usando o software LABVIEW . Desta forma, ser´a gerado um arquivo em formato ASCII com a tabela dos dados num´ericos aquisitados. Ap´os esse processo, vocˆe dever´a realizar diversas an´alises com os dados utilizando o MATLAB. Existem diversas maneiras de se importar os dados de um arquivo usando o MATLAB. Analogamente, vocˆe pode querer salvar (exportar) um conjunto de dados obtidos no MATLAB para uso posterior. Existem v´arias maneiras de importar ou exportar dados no Matlab. J´a vimos anteriormente o uso das func¸ ˜oes 9 $  e  1 )$)6 para salvar e carregar todas as vari´aveis de uma sec¸ ˜ao de trabalho. Verifique agora  2! 9 $* e 3 "!  1 )$)6. Com uma pequena variac¸ ˜ao, ´e poss´ıvel selecionar as vari´aveis a salvar ou carregar. Para salvar somente os dados  e  em arquivos com formato bin´ario que s´o o Matlab entende:

+ (^) (  ,>89,!$<)3, 7!  :^9 992. + = 9,>7,D(/.- + (^9) $  6 $)6319 " 4 +$% ( = Para recuperar esses dados, basta usar o comando  1 &$)6 : + (^) <&) $&? + (^)  1 )$)6 6 $)6319* " 4 +$% ( = Para salvar ou recuperar dados em formato texto (ascii), o procedimento ´e um pouco mais complicado. Se vocˆe j´a verificou "! 9 )$  , ent˜ao entender´a o procedimento seguinte:

'&+%

     + (^9) $  6 $)6319 "% (&% ( =  $9 < * * %$) 89 Abra os arquivos ‘dados1.mat’ e ‘dados1.txt’ com um editor de textos qualquer e observe a diferenc¸a. A recuperac¸ ˜ao dos dados ´e feita da seguinte forma com a func¸ ˜ao  1 )$&6 : + (^) <&) $&? + (^)  1 )$)6 6 $)6319 "% (&%  $9 < * * + (^) &+ 1 )?  $)?+*7$)8)9'$)? ,

6 $&619 + (^) ( &6 $&619 ,  .- + = &6 $&619* ,:^ .- Repare que os dados s˜ao inicialmente guardados na vari´avel com o mesmo nome do arquivo mas sem a extens˜ao ( dados1 ). Existe uma outra maneira de se exportar/importar dados em que se pode ter um controle melhor do formato do n´umero a ser salvo/importado em/de um arquivo. Veja em seguida. A primeira operac¸ ˜ao a ser realizada ´e usar o comando 1"!> para criar um arquivo e/ou para disponibilizar um arquivo j´a criado para um dos seguintes modos: para escrever ou para ler ou para incluir dados. Aproveite e dˆe um  "! 12!7>. Por outro lado, a ´ultima operac¸ ˜ao com um arquivo dever´a ser seu fechamento com o comando  3<  1 9. O comando 1"!37> , se usado corretamente, dever´a retornar um n´umero inteiro maior ou igual a 3, n´umero esse que representar´a a identificac¸ ˜ao do arquivo aberto. Tomemos como tarefa armazenar os elementos de duas listas  e  de mesma ordem num arquivo a ser denominado, por exemplo, “dado1.d”. Obviamente, deveremos primeiro criar as listas e o arquivo:

+ (^) <&) $&? + (^) (  *,>89,!$<)3, 7!  :^9 992. + = 9,>7,D(/.- + (^) 1"!>7, 6 $&61  " 6 ^ .

$7> 9  O arquivo denominado “dado1.d” foi criado no diret´orio atual (verifique a criac¸ ˜ao do arquivo), e foi atribuido o valor 3 como identificac¸ ˜ao deste arquivo. Com isso, sempre que se desejar fazer referˆencia ao arquivo basta referenci´a-lo com o valor 3. Se for criado mais um arquivo antes do fechamento do ‘3’, ele receber´a a identificac¸ ˜ao ‘4’, e assim por diante. Em seguida, deveremos exportar os dados para o arquivo ‘3’. Existem diversos comandos para se executar essa tarefa, todos muito semelhantes aos comandos da linguagem C. Uma listagem completa das func¸ ˜oes de entrada/sa´ıda do MATLAB pode ser obtida com 3 "!T)1)>. Neste texto vou mencionar apenas a func¸ ˜ao )! ?+*> % , que penso ser a mais adequada para nossas necessidades. Vejamos como utiliz´a-la:

 -.