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Difração da luz por fendas
Hugo L. Fragnito e Antonio C. Costa Unicamp-IFGW, Março de 2010
1. INTRODUÇÃO
Difração é o nome genérico dado aos fenômenos associados a desvios da propagação da luz em relação ao previsto pela óptica geométrica (ou seja, de raios retilíneos) e que põem de manifesto a natureza ondulatória da luz. Fenômenos de difração são observados para todos os tipos de ondas. Raramente observamos a difração da luz no cotidiano. Entretanto, a difração das ondas sonoras é difícil de ser evitada; o som contorna obstáculos de tamanhos relativamente grandes, tais como pessoas, árvores e mobílias de uma sala. Esta diferença entre a difração do som e da luz é devida à diferença entre os respectivos comprimentos de onda. O comprimento de onda do som é da ordem de 1 m, enquanto que o da luz visível é da ordem de 500 nm. Ondas eletromagnéticas utilizadas na transmissão de sinais de rádio, televisão e telefonia móvel, por exemplo, com comprimentos de onda que variam entre algumas dezenas de centímetros até alguns quilômetros, contornam facilmente obstáculos como árvores e carros e até prédios, dependendo do caso.
A difração por uma fenda fina pode ser observada com uma montagem experimental simples e explicada matematicamente com um modelo também simples e que permite extrair conclusões gerais acerca da difração. Além disso, quando a luz se difrata por um conjunto de aberturas periódicas, se observam interessantes fenômenos de interferência entre as ondas originadas em cada abertura.
A figura de difração depende das condições de iluminação e de onde se observa a figura. Se o obstáculo é iluminado com ondas planas e a região onde observamos a difração está longe do obstáculo dizemos que temos difração de Fraunhofer. Em todos os outros casos dizemos que temos difração de Fresnel. Neste experimento investigaremos a difração de Fraunhofer produzida ao passar um feixe laser por fendas muito finas.
1.1. Difração de fenda simples
b
y
Δ y
θ
z
Luz
r
Fig. 1. Difração da luz por uma fenda de largura b vista em um anteparo a uma distância z. A largura do máximo central é Δ y.
Na fig.1, um feixe de luz monocromática de comprimento de onda λ passa por uma fenda
de largura b e atinge um anteparo a uma distância z. O feixe incidente tem frentes de onda
planos, paralelos à fenda, e a distância z é suficientemente grande como para considerar
planos também os frentes de onda no anteparo (condição de difração de Fraunhofer).^1 As ondas originárias em cada ponto da abertura interferem entre si e produzem o padrão de
difração ilustrado nesta figura. Observamos um máximo central com intensidade I 0 e pontos
onde a intensidade luminosa se nula. A intensidade de luz em uma posição y = r sin θ sob o
anteparo é dada por
2 0
sin
I I
onde
1
β = 2 kb sinθ , (2a)
k = 2 π/λ e r = y^2 + z^2. Se y << z podemos usar as aproximações sin θ ≈ θ ≈ y / z e escrever
by
z
. (2b)
Em y = 0 (correspondendo a θ = 0 e, portanto, β = 0) observamos um máximo central de
intensidade I 0. Já nos pontos onde β = n π ( n = ±1, ±2, ±3…) a intensidade luminosa é nula.
Estes pontos de mínimos correspondem a valores de y tais que
y n = n λ z / b. (mínimos de difração)
A largura do máximo central, Δ y = y 1 – y -1, é então
Δ y = 2 λ z / b. (3)
Esta relação nos permite determinar b se λ é conhecido (e vice-versa). No experimento
vamos utilizar um laser de λ conhecido e medir z com uma trena e Δ y com uma régua, de modo
que poderemos determinar b tipicamente com erro menor que 1%. Também dispomos de um
microscópio metrológico para medir b diretamente e verificar se o modelo está correto (ou para
determinar o λ de um laser desconhecido). Temos então duas formas alternativas de medir b :
com o microscópio ou por difração. A pergunta natural aqui é qual método é mais preciso? A
precisão do micrômetro do microscópio é de 1 μm e, se b ~ 200 μm, com este instrumento
podemos medir b com erro de 0,5 %. Por outro lado, mesmo usando uma régua milimetrada,
podemos medir o espaçamento entre os mínimos de ordem n , ou seja n Δ y , e dividir por n. O
erro também é dividido por n e, para n é grande, podemos determinar Δ y com erro menor que
0,5%. Utilizando difração, em princípio, podemos determinar b com melhor precisão do que
com o microscópio se λ e z forem conhecidos ou medidos com precisão de 0,1 % ou melhor.
Um experimento adicional interessante é medir o diâmetro de um fio de cabelo utilizando a eq. (3). É possível mostrar que padrão de difração produzido por um dado obstáculo é
(^1) A condição para que a difração possa ser considerada de Fraunhofer é que z >> b (^2) /2λ. Por exemplo, se b = 200 μm
e λ = 500 nm, deve ser z >> 40 cm. Isto está bem discutido no livro de G. Fowles (referência 1 na lista bibliográfica).
modulado espacialmente pelo padrão de difração da fenda. Matematicamente, a distribuição de intensidade é o produto entre a função de interferência e a de difração (eq. 1):
2 2 0
sin
I I cos
⎝ β ⎠^ ⎟^
onde usamos o fato que (1 + cos 2 γ)/2 = cos^2 γ. Os máximos de interferência correspondem à
condição γ = n π ( n = 0, ±1, ±2,...) ou y = nz λ/ h , de modo que a separação entre máximos (ou
mínimos) de interferência consecutivos (ou seja, o período das franjas), é
Λ = λz /h. (6)
Medindo z e Λ (e conhecendo λ) podemos usar a eq. (6) para determinar h.
1.3. Difração por N fendas
A figura 3 mostra o padrão produzido por N fendas iguais de largura b e separação h.
Novamente, o padrão é o produto entre a função de difração (eq. 1) e a função de interferência
das N fendas, f N (γ) = (sin N γ/ N sinγ) 2 :
2 2 0
sin
sin
sin( )
N
N
I I. (7)
Note que a eq. 7 é válida também para os casos de uma ( N = 1 ) ou duas ( N = 2 ) fendas.
b
y
θ
z
Luz
h
r
δ y
b
y
θ
z
Luz
h
r
δ y
Fig. 3. Difração por uma rede de N fendas (neste exemplo h = 3 b e N = 10). Os máximos de interferência, com largura δ y , ficam cada vez mais finos à medida que aumenta N.
Para entender melhor o padrão de difração é útil analisar o padrão de interferência mostrado na figura 4. Nessa figura representamos a função
2
sin( )
sin
N
N
f
N
Esta função apresenta máximos absolutos, chamados de máximos primários , quando
γ = n π ( n = 0, ±1, ±2,...) (máximos primários)
e que correspondem às posições
yn = nz λ/ h = n Λ. (9)
Os máximos primários são também chamados de picos de ordem n. Utilizando a regra de
L’Hospital, podemos ver que, nesses máximos primários, f N ( n π) = 1. A separação entre dois
máximos primários consecutivos é dada pela eq. 6 e, como já comentado, nos permite medir h.
γ
2 ⎛ sinβ⎞ ⎜ (^) β ⎟ ⎝ ⎠ 2 sin sin
N N
⎛ γ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ γ⎠
Máximos secundários
Máximos primários
Intensidade,
I
/ I
0
δγ
∼δγ
Λ
Fig. 4. A função de interferência (linha azul), a de difração (verde tracejada) e o padrão resultante (vermelha tracejada) como função de γ. Neste exemplo, h = 3 b , de modo que o máximo principal com γ = ±3π coincide com o primeiro zero de difração (β = ±π). A largura dos máximos principais é δγ ∼ π/ N. Note que entre dois máximos principais consecutivos há N – 2 = 3 máximos secundários, então N = 5.
Entre os máximos primários consecutivos temos vários máximos secundários , onde sin N γ é
perto de ±1. O numerador na expressão (8) se anula se |N γ | é múltiplo de π e temos, em
princípio, um zero da função f N ( γ). Porém, se e o denominador também se anula (isto é, se γ é
d) Simule no computador o padrão previsto (eq. 6) para N = 3, 4, 5, 10. Que acontece com a
largura dos máximos de interferência quando aumenta N? Quantos mínimos e máximos
secundários de interferência têm dentro do máximo central de difração (−π < β < π)?
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Os experimentos serão realizados com um laser de He-Ne [λ = (632,82 ± 0,05) nm no ar]
ou um laser de λ conhecido^3 , e com outro laser de λ desconhecido (no laboratório temos
lasers que emitem no vermelho, azul e verde). As aberturas (fendas e aberturas de outras formas) foram impressas por foto-litografia sobre um vidro metalizado.
Alinhamento
Para que as medidas sejam feitas com precisão, o vidro com as fendas deve ser colocado perpendicular ao feixe do laser. Isso pode ser facilmente feito enviando o feixe refletido no vidro novamente para a saída do laser.
Alinhe também o feixe laser paralelo ao trilho sobre o qual está montado o vidro com as aberturas.
Reprodução do padrão de difração/interferência
Com uma folha de papel fixada com fita adesiva em um anteparo (ou na parede do laboratório) é possível registrar com um lápis o perfil da difração. Apagando as luzes do laboratório fica mais fácil observar a separação entre os máximos e a variação na intensidade luminosa. Deslocando verticalmente o papel, podemos registrar vários padrões de
difração/interferência na mesma folha. Identifique cada padrão anotando a distancia z e o
código da abertura utilizada. (Também pode usar uma câmera fotográfica para registrar os padrões, mas não deve esquecer-se de colocar uma régua na mesma foto para usar como referência para medir as posições de máximos e mínimos. As fotos ficam mais bonitas no relatório, mas dão muito mais trabalho...)
Medidas com o microscópio metrológico
Para verificar o modelo de difração de Fraunhofer, vamos medir a abertura, número e separação entre fendas utilizando um microscópio metrológico (Fig. 5). Coloque a máscara de vidro com as aberturas sobre a porta-amostra giratória e ajuste o foco; destrave os parafusos micrométricos (as travas estão indicadas na Fig. 5 – mantenha-as apertadas para destravar) e desloque a máscara até achar a abertura desejada no seu campo visual. Gire a porta-amostra até alinhar as fendas paralelamente à linha vertical da cruz do microscópio. Utilize o parafuso micrométrico para deslocar a máscara e medir as dimensões da abertura.
(^3) No laboratório dispomos de um laser verde (λ = 532 nm) e lasers no vermelho e no azul (λ desconhecidos).
Ajuste Foco
Trava eixo Y
Trava eixo X
Porta-amostra
Parafusos micrométricos
Controle lâmpada
A
B
C
D
Fig. 5. Microscópio metrológico (esquerda), máscara com diferentes aberturas (direita acima) e detalhe do parafuso micrométrico (direita abaixo). Em cada volta completa o parafuso avança 1 mm e o tambor tem 100 divisões (10 μm cada). Além disso, tem um Vernier com 10 divisões (1 μm cada). Na figura, a leitura é de 11,433 mm.
Roteiro sugerido
0 – Anote os instrumentos utilizados.
1 – Montar o conjunto laser, fenda e anteparo. Alinhe o vidro com as aberturas e escolha a abertura correspondente a uma fenda simples (por exemplo, C1 na Fig. 5). Projete o padrão de difração/interferência sobre o anteparo. Posicione o vidro a uma distância de ~1 m do anteparo
(utilize a trena para medir z ). Cole uma folha de papel milimetrado no anteparo e desenhe a
lápis o padrão, indicando claramente as posições dos máximos e mínimos. Meça essas
posições (se não tiver papel milimetrado, utilize uma régua). Utilize a eq. 3 para determinar b e
seu desvio.
2 – Desloque o vidro horizontalmente até achar a próxima fenda (C2) com diferente largura. Desloque ~1 cm verticalmente a folha de papel no anteparo e desenhe o novo padrão de difração. Meça a largura do máximo central no papel e determine b e seu desvio. Repita essa
medida para todas as fendas simples. Monte uma tabela com os valores de b ± Δ b medidos e
uma coluna em branco para preencher com os valores que medirá com o microscópio (item 7).
3 – Desloque o vidro verticalmente até achar uma abertura com duas fendas (B1). Desenhe no
papel o padrão observado, meça o período de interferência Λ e determine h utilizando a eq. 6.
4 – Desloque horizontalmente o vidro até achar o próximo conjunto de duas fendas com
diferente separação (B2). Desenhe o padrão, meça o período Λ e determine h. Repita essas
medidas para todas as fendas duplas (Atenção: B4, B5, e B6 têm um valor de b nominalmente
diferente de B1, B2, B3). Monte uma tabela com os valores de h medidos (e seus desvios) e
deixando espaço para preencher com os valores a medir com o microscópio.
