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Novo Espaço – Matemática A 11.º ano
Proposta de Teste [janeiro - 2018]
1
Nome: _______________________________________________________________
Ano / Turma: _________ N.º: _____ Data: ___ / ____ / ___
- Não é permitido o uso de corretor. Deves riscar aquilo que pretendes que não seja classificado.
- A prova inclui um formulário.
- As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
CADERNO 1
(É permitido o uso de calculadora gráfica)
1. Na figura está representado um triângulo equilátero [ ABC ], sendo M o ponto
médio de [ AB ].
Sabe-se que CA AM. = −72,
!!" !!!"
.
O perímetro do triângulo [ ABC ] é igual a:
(A) 51 (B) 39 (C) 289 (D) 25,
2. No espaço, em relação a um referencial ortonormado Oxyz , sabe-se que o plano α definido pela
equação x − 2 y + z − 3 = 0 é tangente a uma esfera de centro C ( −1, 0, 1 ).
Determina o volume da esfera. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
3. Na figura está representado, em referencial ortonormado Oxyz , o
triângulo [ ABC ].
Os vértices A , B e C são a interseção do plano α definido pela equação
4
2 4 0
5
x + y + z − = , respetivamente, com os eixos Ox , Oy e Oz.
3.1. Escreve uma equação do plano β que passa no ponto
( )
T −1, 0, 3 e é paralelo ao plano α
.
3.2. Determina a amplitude do ângulo formado pelos vetores CA
!!"
e CB
!!"
. Apresenta o resultado em graus
arredondado às décimas.
Novo Espaço – Matemática A 11.º ano
Proposta de Teste [janeiro - 2018]
3
CADERNO 2
(Não é permitido o uso de calculadora gráfica)
5. Em relação a um referencial ortonormado xOy considera a reta r definida pela equação vetorial
( x y , ) = ( −2,3 ) + k ( 1, − 4 ), k ∈ℝ.
Seja P o ponto da reta r de abcissa − 3.
Determina, na forma reduzida, a equação da reta s que é perpendicular à reta r no ponto P.
6. Na figura, em referencial ortonormado xOy , está representada uma reta r
que interseta o eixo Ox no ponto A e o eixo Oy no ponto B.
Sabe-se que:
ˆ
BAO = θ ( 0 < θ < 90
" "
)
3
sin
4
θ =
O declive da reta r é igual a:
(A)
3
4
(B)
7
3
− (C) −1,13 (D)
3 7
7
−
7. Na figura, em referencial ortonormado xOy , estão representadas uma
circunferência de centro C e que passa em A e uma reta t tangente à
circunferência no ponto A.
Sabe-se que:
- as coordenadas de A são ( 2, 3) ;
- a circunferência é definida pela equação
2 2
x + 2 x + y − 4 y = 5 ;
Determina uma equação, na forma reduzida, da reta t.
8. Em relação a um referencial Oxyz , considera os vetores
u 1, k k , + 1
e
v 2 ,0, k k
, com k ∈ ℝ.
Os valores de k para os quais o ângulo formado pelos vetores u
e v
é obtuso são:
(A) ] −3 , 0 [ (B) ] −∞ , 0[ (C) ] −∞ , 3[ (D)
1
0 ,
3
Novo Espaço – Matemática A 11.º ano
Proposta de Teste [janeiro - 2018]
9. No espaço, em relação a um referencial ortonormado Oxyz , considera: - o plano α definido pela equação − 2 x + y + 3 z − 2 = 0 ; - a reta r definida por
x y z , , = 1, −2, − 1 + k 3, −1,2 , k ∈ℝ ;
- os pontos A ( 0,2, − 3 )e B ( 1, −2,2 ).
9.1. Determina, na forma ax + by + cz + d = 0 , uma equação do plano mediador de [ AB ].
9.2. A reta r interseta o plano α num ponto T. Determina as coordenadas do ponto T.
9.3. O plano α é tangente à superfície esférica de diâmetro [ AB ], no ponto B? Justifica.
10. Considera a sucessão
n
u de termo geral
2 3
1
n
n
u
n
−
=
.
10.1. Justifica as seguintes afirmações:
a) “ 0 (zero) não é minorante do conjunto dos termos da sucessão.”
b) “ 2 é majorante do conjunto dos termos da sucessão”.
10.2. Mostra que a sucessão é monótona e limitada.
2
3.
3.1.
β x + y + z + d = d ∈ ℝ
O ponto T pertence ao plano β , então − 1 + 0 + 6 + d = 0 , ou seja, d = − 5.
β x + y + z − =
Resposta: O plano β é definido pela equação
x + y + z − =.
3.2.
Coordenadas do vértice A : ( x , 0, 0 )tal que x + 0 + 0 − 4 = 0 , ou seja, x = 4. Assim, A ( 4,0,0).
Coordenadas do vértice B : ( )
0, y ,0 tal que
+ y + − = , ou seja, y = 5. Assim,
( )
B 0,5,0.
Coordenadas do vértice C : ( 0,0, z )tal que 0 + 0 + 2 z − 4 = 0 , ou seja, z = 2. Assim, C ( 0,0, 2).
CA = A − C = ( 4, 0, − 2 )
( )
CB = B − C = 0,5, − 2
Seja θ a amplitude do ângulo formado pelos vetores CA
e CB
.
cos
CA CB
CA CB
arccos
. Recorrendo à calculadora, obtém-se: θ ≈ 80, 4
$
Resposta : A amplitude do ângulo formado pelos vetores CA
e CB
é 80, 4
$
.
4.
4.1. Sabe-se que
15
u = 65533.
Como
15 14
u = 3 + 2 u , tem-se:
14 14
65533 = 3 + 2 u ⇔ u =32 765
4
CADERNO 2
(Não é permitido o uso de calculadora gráfica)
5. Seja P o ponto da reta r de abcissa − 3.
Determina, na forma reduzida, a equação da reta s que é perpendicular à reta r no ponto P.
P ( −3, y )
( ) ( ) ( )
−3, y = −2,3 + k 1, − 4 , k ∈ℝ
Daqui resulta:
k k
y k y
O ponto P tem coordenadas ( )
.
Um vetor diretor da reta r é, por exemplo, ( )
r 1, − 4
.
Declive da reta r :
r
m
Declive da resta s :
s
r
m
m
Equação reduzida da reta s :
y = x + b b ∈ ℝ .
A reta s passa pelo ponto ( )
P −3,
. Então,
b
. Daqui resulta que
b = .
Equação reduzida da reta s :
y = x +
Resposta:
y = x +
Novo Espaço – Matemática A 11.º ano
Proposta de Resolução [janeiro - 2018]
6. O declive da reta r é igual a ( )
tan 180 − θ
!
, ou seja, − tan( θ).
( ) ( )
2 2
cos 1 sin 1
Como
!!
e ( )
2
cos
, tem-se
cos
.
O declive da reta r é dado por ( )
( )
( )
sin 3 4 3 7
tan
cos 4 7 7
θ
θ
θ
− = − = − × = −.
Resposta: Opção (D)
7. Equação da circunferência:
2 2
x + 2 x + y − 4 y = 5
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
x + 2 x + y − 4 y = 5 ⇔ x + 2 x + 1 + y − 4 y + 4 = 5 + 1 + 4 ⇔ x + 1 + y − 2 = 10
Centro da circunferência ( )
C −1, 2
.
A reta t é o conjunto de pontos P x y ( , )tais que: CA AP. = 0
. = 0 ⇔ ( 3 , 1 .) ( − 2 , − 3 )= 0 ⇔ 3 − 6 + − 3 = 0 ⇔ = − 3 + 9
CA AP x y x y y x
Resposta: A equação da reta t é y = − 3 x + 9.
8. O ângulo formado pelos vetores u
e v
é obtuso se e só se u v. < 0
.
( ) ( )
2 2
u v. < 0 ⇔ 1, k k , + 1. 2 , 0, k k < 0 ⇔ 2 k + k + k < 0 ⇔ k + 3 k < 0
Cálculo auxiliar:
( )
2
k + 3 k = 0 ⇔ k k + 3 = 0 ⇔ k = 0 ∨ k = − 3
Assim, ] [
2
k + 3 k < 0 ⇔ k ∈ −3,
.
Resposta: Opção (A) ] [
FICHA DE AVALIAÇÃO:
Teste N.º 3 de Matemática A_11.º Ano Expoente
11
| Daniela Raposo e Luzia Gomes
9 2 ; tg / e.
9 2sen/ tg/ 0 2
Determine, recorrendo a processos exclusivamente analíticos, as abcissas dos pontos de
interseção dos gráficos das funções - e ..
3. Na figura está representada, num referencial o.n. 1/2, a circunferência
de centro " que pode ser definida por:
&
&
Sabe-se que e! são dois pontos da circunferência e que a área da
região sombreada é
&<*
6
3.1. Qual é o valor do produto escalar "
(A) ;
3 (B) ;5 (C) 5
3 (D) 5
3.2. Considere também o ponto #, ponto de interseção da circunferência com o semieixo positivo
das abcissas.
Determine a equação reduzida da reta :, reta tangente à circunferência no ponto #.
4. Considere, num referencial o.n. 1/2;, um prisma triangular reto.
Sabe-se que uma das bases do prisma está contida no plano α de equação −/ +
<
&
)=
&
= 0 e
que a outra base está contida no plano β que contém o ponto de coordenadas (1, 2, 3).
4.1. Em qual das opções se encontra uma condição que define o plano β?
(A) 2/ − 52 − 2; + 14 = 0
(B) 5/ − 22 + 2; − 7 = 0
(C) −/ +
<
&
(D) 4/ − 102 − 4; + 14 = 0
4.2. Determine o valor exato da altura do prisma.
4.3. Considere os pontos !, " @ #, dos quais se sabe que:
- o ponto! pertence ao plano α e tem abcissa e ordenada igual a 1;
- o ponto " pertence ao plano α e ao eixo das ordenadas;
- o ponto # pertence ao plano de equação 2 = 1 e tem cota igual ao cubo da abcissa;
- os vetores !"
e 1#
são perpendiculares.
Determine a abcissa do ponto #, recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta:
- equacione o problema;
- reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora e
que lhe permite(m) resolver a equação, devidamente identificado(s);
- apresente a abcissa do ponto #, arredondada às milésimas. 5. Para um determinado valor real A, considere a sucessão
B
C
definida por:
D
B
D
= A
B
E+
1 − B
E
2
, ∀E ∈ ℕ
Resolução:
Teste N.º 3 de Matemática A_11.º Ano Expoente
11
| Daniela Raposo e Luzia Gomes
Calcule a soma dos 20 primeiros termos de +J
C
7. De dois vetores B 4 ⃗ e J⃗, sabe-se que:
• ‖B 4 ⃗ ‖ % 3
J⃗
) √
.)
.<
, onde α é o ângulo agudo formado pelos vetores B 4 ⃗ e J⃗.
Qual é o valor de ||B 4 ⃗ + J⃗||?
(A)
.
.<
(B) 6 (C) 15 (D) 36
- FIM -
COTAÇÕES
Item
Cotação (em pontos)
Teste N.º 3 de Matemática A_11.º Ano Expoente
11
| Daniela Raposo e Luzia Gomes
9 :;<=
9 :>? =
9 :>;=
9 :< =
9 ;×>;
.
< ×:
.
?<×;?
.
.×-
.
.#$ %×.
.
(.'.#$ %)×-
.
= 4 − 1 − 2tg β − 1 + tg β =
= 2 − tgβ c.q.d.
2.2. Pretende-se os valores de * ∈ ℝ tais que - () = .():
2 − tg* = 2sen* tg* + 2 ⇔ 2sen* tg* + tg* = 0
⇔ tg(2sen + 1) = 0
⇔ tg* = 0 ∨ 2sen* + 1 = 0
⇔ * = 1π, 1 ∈ ℤ ∨ sen* = −
.
⇔ * = 1π ∨ * = −
5
6
75
6
3.1. Opção (B)
Seja α o ângulo côncavo formado pelos vetores 88
e 8;
Como sabemos que a área da região sombreada é
./
<
, então:
:
=í?=@AB
.
CDE
F
G
5×H √
-/J
C
.
CDE
F
G
⇔ 5α =
20π
3
⇔ α =
4π
3
8M = 2 − MN = 2 − 2 tgβ
Cálculo auxiliar
tg β =
<
.
⇔ MN = 2tgβ
Assim:
= P8"
P × P 8;
P × cos
= √ 10 × √ 10 × cos 7
85
<
= 10 × 7 −
<
8
8
+ (Q + 1)
8
= 10 ∧ Q = 0 ⇔ (* − 2)
8
8
= 10 ∧ Q = 0
8
= 9 ∧ Q = 0
⇔ (* − 2 = 3 ∨ * − 2 = −3 ) ∧ Q = 0
∧ Q = 0
Os pontos de interseção da circunferência com o eixo das abcissas têm coordenadas (5, 0) e
Sendo que N tem abcissa positiva, então N(5, 0).
N
= 8 − N =
T
J
Como U é perpendicular a N8, vem que T
V
Logo, a equação reduzida da reta U é da forma Q = −3* + W, W ∈ ℝ. Como N(5, 0) ∈ U, vem que:
0 = −3 × 5 + W ⇔ W = 15
A equação reduzida da reta U é, então, Q = −3* + 15.
4.1. Opção (A)
Como β é o plano que contém a outra base do prisma, então β é paralelo a α e contém o ponto ".
Assim, um vetor normal a β pode ser o vetor de coordenadas 7 −1,
X
8
, 1; e uma equação que
Assim:
= P8"
P × P 8;
P × cos
2π − α
10 ×
10 × cos 7
85
<
= 10 × 7 −
<
8
8
Q + 1
8
= 10 ∧ Q = 0 ⇔
8
8
= 10 ∧ Q = 0
8
= 9 ∧ Q = 0
⇔ (* − 2 = 3 ∨ * − 2 = −3 ) ∧ Q = 0
∧ Q = 0
Os pontos de interseção da circunferência com o eixo das abcissas têm coordenadas (5, 0) e
Sendo que N tem abcissa positiva, então N(5, 0).
N
= 8 − N = (2, −1) − (5, 0) = (−3, −1)
T
J
Como U é perpendicular a N8, vem que T
V
Logo, a equação reduzida da reta U é da forma Q = −3* + W, W ∈ ℝ. Como N(5, 0) ∈ U, vem que:
0 = −3 × 5 + W ⇔ W = 15
A equação reduzida da reta U é, então, Q = −3* + 15.
4.1. Opção (A)
Como β é o plano que contém a outra base do prisma, então β é paralelo a α e contém o ponto ".
Assim, um vetor normal a β pode ser o vetor de coordenadas 7 −1,
X
8
, 1; e uma equação que
define o plano β é da forma −* +
X
8
Q + Y + Z = 0, Z ∈ ℝ. Como " ∈ β, vem que:
Teste N.º 3 de Matemática A_11.º Ano Expoente
11
| Daniela Raposo e Luzia Gomes
Z&;, ( 5 a&"1 " 1(
(
(
(
• ;&1, 1, Y(
! 1 & Y "
5 0 ⇔ Y 5 22
• 8&0, Q, 0(
Q & 0 "
5 0 ⇔ Q 5
8 ^0,
, 0_
• N&*, 1, *
<
Como ;
e bN
são perpendiculares, tem-se que:
. bN
`(
X
<
`(
X
<
Determinemos o zero da função - definida por - &( 5 " &
`(
X
<
, utilizando a calculadora
gráfica:
A abcissa do ponto N é aproximadamente 0,705.
6.3. m
"
= c
"
%fX
"f"
7
%
m
%
= c
%
%×%fX
%f"
<
Seja n
%.
a soma dos 20 primeiros termos de (m
e
n
%.
o p
fo CD
%
× 20 =
q
C
f('6)
%
× 20 =
7. Opção (B)
Sabe-se que
c 9 ⃗ + m⃗
%
c 9 ⃗ + m⃗
. (c 9 ⃗ + m⃗).
Logo:
c 9 ⃗ + m⃗
%
= c 9 ⃗. c 9 ⃗ + 2c 9 ⃗. m⃗+ m 9 99 ⃗. m⃗
‖c 9 ⃗ + m⃗‖
%
= ‖c 9 ⃗ ‖
%
- 2 × ‖c 9 ⃗ ‖ × ‖m⃗‖ × cosα + ‖m⃗‖
%
‖c 9 ⃗ + m⃗‖
%
%
%
⇔ ‖c 9 ⃗ + m⃗‖
%
= 9 + 30 ×
⇔ ‖c 9 ⃗ + m⃗‖
%
Assim, ‖c 9 ⃗ + m⃗‖ = 6.
t = m
%
− m
"
= 3 −
7
2
= −
1
2
m
%.
= m
1
Cálculos auxiliares
=
7
%
"
%
N =
= − 6
sen
%
α + cos
%
α = 1 ⇔ u
4 √
14
15
v
%
%
α = 1
Cálculo auxiliar
⇔ cos
%
α = 1 −
%%`
%%X
⇔ cos
%
α =
"
%%X
Como α é agudo, cosα =
"
"X
.
Carlos Andrade, Pedro Pimenta e Simone Azevedo
Matemática A 11.
o ano
© Raiz Editora, 2019. Todos os direitos reservados.
BANCO DE QUESTÕES – MATEMÁTICA A 11.
O
ANO
DOMÍNIO: Geometria Analítica (no espaço)
1. Considera, num referencial o.n. do espaço, os plano definidos pelas seguintes equações:
x y z 1 e x y z 1
A interseção dos dois planos é:
(A) o conjunto vazio. (B) um ponto. (C) uma reta. (D) um plano.
2. Considera, num referencial o.n. do espaço, o plano D definido por y 3 x 1 e a reta r
definida por x y z , , 1, 3,0 k 3, 1,0 , k .
Qual das afirmações é verdadeira?
(A) A reta r é paralela ao plano D
(B) A reta r está contida no plano D.
(C) A reta r é perpendicular ao plano D.
(D) A reta r é concorrente, mas não perpendicular ao plano D.
3. Considera o cubo > ABCDEFGH @, de aresta 1 , representado na
figura.
Fixa-se, na figura, um referencial ortonormado do espaço, com origem
no ponto A , com unidade de comprimento igual à aresta do cubo, tal
que B está contido no semieixo positivo das ordenadas, D está
contido no semieixo negativo das abcissas e F está contido no
semieixo positivo das cotas.
Determina, relativamente a esse referencial, a equação cartesiana do plano ADH na forma
ax by cz d .
4. Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n. do
espaço, o prisma reto
> @
ABCDEFGH , de bases quadradas paralelas
ao plano xOy. As coordenadas dos vértices A , B e G são,
respetivamente, 3, 0, 0 , 3, 6, 0 e 3, 6,.
4.1 Obtém uma equação vetorial do plano AFG.
4.2 Determina uma equação cartesiana do plano que contém o
ponto F e é perpendicular à reta DF.
4.3 Seja
D
o plano que contém reta BC e que passa no ponto de
coordenadas 0, 6, 20.
Determina as coordendas do ponto de interseção do plano D com o eixo Oz.
Proposta de teste de avaliação
Caderno 1
(é permitido o uso de calculadora)
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o
número do item e a letra que identificam a opção escolhida.
Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
1. Na figura está representada, num referencial o.n. Oxyz , a pirâmide quadrangular
regular
ABCDE.
O ponto F é o centro da base da pirâmide.
Sabe-se que:
o ponto E tem coordenadas 2 , 4 , 3 ;
para determinado a ℝ , o plano ABC
pode ser definido pela equação
x 2 y 2 z a 0 ;
a reta que passa no ponto E e é
perpendicular ao plano ABC interseta este
plano num ponto de abcissa 1 ;
o vetor EC
tem coordenadas
1.1. Mostre que o ponto F tem coordenadas 1 , 2,1.
1.2. Qual é o valor de a?
(A) 7 (B) 16 (C) 9 (D) 9
1.3. Determine o volume da pirâmide.
1.4. Qual das seguintes condições define uma superfície esférica tangente ao plano ABC
no ponto F?
(A)
2 2 2
x y z 6 (B)
2 2 2
x 1 y 2 z 1 9
(C)
2 2 2
x 3 y 3 z 2 27 (D)
2 2 2
x 2 y 4 z 3 9
1.5. Determine um valor aproximado à décima do grau da amplitude do ângulo DEB.
x
z
A
B
C
D
E
F
Proposta de teste de avaliação
Caderno 2
(não é permitido o uso de calculadora)
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de
respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida.
4. Na figura está representado, num plano munido de um referencial ortonormado, o quadrado
ABCD.
Sabe-se que:
o ponto A pertence ao eixo Ox e tem abcissa 4;
os pontos B , C e D têm coordenadas positivas;
a reta r
é definida pela equação
y x e
passa nos pontos D e C ;
o ponto P pertence ao segmento de reta
BC.
4.1. Defina a reta AD pela equação reduzida.
4.2. Mostre que
AD 1, 3
e determine as coordenadas do ponto C.
4.3. O valor do produto escalar AP AB
é:
(A) 10 (B) 10 (C) 2 10 (D) 20
5. De uma progressão geométrica
n
u , de termos positivos, sabe-se que:
3 2
n n
u u u
, qualquer que seja n ℕ
5.1. Mostre que
3 2
n
n
u
, qualquer que seja n ℕ.
5.2. Seja
n
S a soma dos n primeiros termos de
n
u.
O valor de lim
n
S é:
(A)
(B) 6 (C) 8 (D) 3
y
O
r
A
D
C
x
P
B
Proposta de teste de avaliação
A base
ABCD da pirâmide é um quadrado cuja
diagonal mede AC 2 FC 2 3 2 6 2
Seja AB x.
2
2 2 2 2
x x 6 2 2 x 36 2 x 36
A área da base da pirâmide é igual a 36.
Altura da pirâmide:
E 2 , 4 , 3, F 1,2,1
EF F E
2 2 2
h EF 1 2 2 1 4 4 9 3
pirâmide base
altura 36 3 36
V A
1.4. Dado que o ponto F pertence ao plano ABC e EF
é perpendicular a esse plano, a superfície
esférica de centro em
E 2 , 4 , 3 e raio r EF 3
é tangente a esse plano no ponto F.
Equação da superfície esférica:
2 2 2
x 2 y 4 z 3 9
Resposta: (D)
DEB AEC 2 F EC ;
EF 1 , 2 , 2
EC
2 2 2
EF 1 2 2 1 4 4 9 3
2 2 2
EC
EF EC
cos cos ,
EF EC
F EC EF EC
EF EC
ɵ
Se
cos
F EC então
F EC 54,736º
DEB 2 F EC 2 54,736º 109,5º
x
D C
A B
6 √
2
x
Proposta de teste de avaliação
Caderno 2
A 4,0 ;
r y x
4.1. A reta AD é perpendicular à reta r porque
ABCD é
um quadrado. Logo, 1
AD DC
m m .
AD AD
m m
A reta AD tem declive 3 e passa no ponto A 4,0
AD : y 3 x b
0 3 4 b b 12
AD : y 3 x 12
4.2. O ponto D é a interseção das retas r
e AD :
y x x x x x
y x
y x y x
x x x
y x y y
D 3, 3
AD D A 3 , 3 4 , 0 1, 3
DC
é perpendicular a AD
e DC AD
Então, se
AD 1, 3
vem
DC 3,
ou
DC 3, 1
C D DC
Se
DC 3,
C D DC 3 , 3 3,1 6 , 4
Se
DC 3, 1
C D DC 3 , 3 3, 1 0 , 2
Como C tem coordenadas positivas, temos
C 6 , 4.
4.3. Dado que o ponto B é a projeção ortogonal do ponto P na reta AB , vem, pela definição de
produto escalar,
2 2
AP AB AB AB AB AD AB AD
Como AD 1, 3
, vem
2 2
AD 1 3 10
2 2
AP AB AD 10 10
Resposta: (B)
y
O
r
A
D
C
x
P
B
Proposta de teste de avaliação – Matemática A, 11.
o
ano – Página 3
2.2. Determine a soma dos nove primeiros termos de
n
u.
3. Fixado um referencial ortonormado do plano considere os pontos A e B.
Sendo M o ponto médio de
[ ]
AB , o lugar geométrico dos pontos ( )
P x , y do plano tais que
AP MB ⋅ = 0
é:
(A) a circunferência de diâmetro
[ ]
AB ;
(B) a mediatriz do segmento de reta
[ ]
AB ;
(C) a reta tangente à circunferência de centro A e raio
[ ]
AM ;
(D) a reta perpendicular a AB no ponto A.
COTAÇÕES (Caderno 1)
Item
Cotação (em pontos)
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 2.1. 2.2. 3.
15 15 15 15 15 15 15 10 115
Proposta de teste de avaliação – Matemática A, 11.
o
ano – Página 4
Caderno 2
(não é permitido o uso de calculadora)
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de
respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida.
4. Fixado um referencial ortonormado xOy , considere a reta r de equação 2 y + 4 2 x = 1.
Se α é a inclinação da reta r , então cos α é igual a:
(A)
( B)
(C)
(D)
5. Na figura está representado o retângulo
[ ]
ABCD em que M é o ponto
médio do lado
[ ]
BC.
Sejam u = AC
!!!"
"
, v = AM
!!!!"
"
e w = AB
!!!"
"
Então, pode afirmar-se que:
(A) u w ⋅ = v w ⋅
" " " "
( B) u w ⋅ = 2 v ⋅ w
" " " "
(C)
1
2
u w ⋅ = v ⋅ w
" " " "
(D) u v ⋅ = v ⋅ w
" " " "
6. Num referencial ortonormado Oxyz e para determinado m ∈ ℝ , a reta r de equação
( ) ( ) ( )
x , y , z = m ,1, − 1 + k 1, m , − 1 , k ∈ ℝ é paralela ao plano α definido pela condição
2 x + 4 y − mz + 1 = 0.
O valor de m é:
(A)
− ( B)
(C) 2 (D) − 2
A B
M
C D
u
"
v
"
w
"
Proposta de teste de avaliação – Matemática A, 11.
o
ano – Página 6
Proposta de resolução
Caderno 1
1. ( )
A 2 , 4 , 0 e ( )
2 , 6 , 3
!!!"
BC
1.1. Como AD = BC
!!!" !!!"
, temos:
D = A + AD = A + BC =
!!!" !!!"
( ) ( ) ( )
= 2 , 4 , 0 + 2 , 6 , 3 = 4 , 10 , 3
Portanto, o ponto D tem coordenadas ( )
4 , 10 , 3.
1.2. AO = O − A = ( 0 , 0 , 0 ) − ( 2 , 4 , 0 ) = ( − 2 , −4 , 0)
!!!"
AD = BC = ( 2 , 6 , 3)
!!!" !!!"
( ) ( )
cos cos ,
AO AD
O AD AO AD
AO AD
⋅
= = =
×
!!!" !!!"
!!!" !!!"
ɵ
!!!" !!!"
( ) ( )
( ) ( )
2 , 4 , 0 2 , 6 , 3
2 , 4 , 0 2 , 6 , 3
− − ⋅
= =
− − ×
4 24 0
4 16 0 4 36 9
− − +
= =
28 28 4
20 49 20 7 20
− −
= = = −
× ×
Se
( )
4
cos
20
O AD = − , então
O AD ≈ 153º.
1.3. Centro: A ( 2 , 4 , 0)
Raio:
!!!"
AC
2 2 2
= +
!!!" !!!" !!!"
AC AB BC
( )
= = 2 , 6 , 3 = 4 + 36 + 9 = 7
!!!" !!!"
AB BC
2 2 2
2 2
= 7 + 7 ⇔ = 49 + 49 ⇔ = 98
!!!" !!!" !!!"
AC AC AC
Equação da superfície esférica:
( ) ( )
2 2 2
x − 2 + y − 4 + z = 98
1.4. O vetor ( )
2 , 6 , 3
!!!"
BC é perpendicular ao plano ABG. Logo, uma equação do plano ABG é da
forma 2 x + 6 y + 3 z + d = 0.
Como o ponto A tem coordenadas ( )
2 , 4 , 0 e pertence ao plano ABG , tem-se:
2 × 2 + 6 × 4 + 3 × 0 + d = 0 ⇔ 4 + 24 + d = 0 ⇔ d = − 28
Uma equação do plano ABG é 2 x + 6 y + 3 z − 28 = 0.
A
B
C
D
G
H E
z
y
x
O
