Baixe Análise de Funções: Determinação de Raízes e Intersecções e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!
1. Esboçando, no intervalo , os gráficos das funções e ,
podemos concluir que a equação
tem, neste intervalo, duas soluções.
Resposta: (B) 5.
2
2 .1. ;
Se , então , porque.
(A função seno é periódica de período .)
e.
Logo, f é uma função periódica de período.
2..
2.3. As abcissas de A e B são os zeros de f em.
Máximo de f :
Se , toma todos os valores do intervalo.
O máximo de é igual a 3. Logo, a altura, , do triângulo é igual a 3.
[ 0, 2π[^ tan^ x^ cos^ x
tan x =cos x
( ) 1 2sin^
x
f x
æ ö
= - ç ÷
è ø
f
D =!
f
x Î D 4 f
x + pÎ D f
D =!
4 1 2sin 1 2sin
x x
f x
æ + p ö æ 4 pö
è ø è ø
1 2sin 2
æ x ö
= - + p = ç ÷
è ø
2 p
1 2sin ( )
x
f x
æ ö
ç ÷
è ø
" Î , + 4 pÎ f f
x D x D f ( x + 4 p) = f ( x )
4 p
2 1 2sin 1 2sin
x x
f x f x
æ ö æ ö
= Û - = - Û ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2sin 2sin ( ) sin sin( )
x x
x x
æ ö æ ö
Û - = - Û = Û ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 π π 2 π ,
k
x x
Û = x + k Ú = - x + k Î!Û
Û x = 2 x + 4 k π Ú x = 2π - 2 x + 4 π k , k Î!Û
Û - x = 4 k π Ú 3 x = 2π + 4 π k , k Î!Û
,
2 π 4 π
4 π
k
k
Û x = k Ú x = + Î!
] 0, 4π[
f ( x ) = 0 Ù x Î ] 0, 4π[Û
1 2sin ] 0, 2π[
æ ö
Û - Ù Î Û ç ÷
è ø
x x
] [
sin 0, 2π
æ ö
Û = Ù Î Û ç ÷
è ø
x x
π π
π
x x
Û = Ú = - Û
2 π 10π π 5π
Û x = Ú x = Û x = Ú x =
5 π π 4π
AB = - =
x Î! sin
æ^ x ö
ç ÷
è ø
[ - 1,1]
1 sin 1 2 2sin 2
æ^ x^ ö æ x ö
è ø è ø
1 2 1 2sin 1 2 1 ( ) 3
x
f x
æ ö
Û - £ + £ + Û - £ £ ç ÷
è ø
f h [ ABC ]
y = tan x
π
2
O 3 π
2
2 π
y = cos x
x
y
π
x
y
O
f
A B
C
4 π
4.
O declive da reta s é igual a a. Logo, é um vetor diretor da reta s.
é um vetor diretor da reta r.
r e s são perpendiculares
Como , vem.
Resposta: (D)
5.
Como , vem
Resposta: (B)
6. e
Resposta: (C)
10. ,
10.1.
10.2..
10.3. A abcissa do ponto é a solução da equação
Introduziram-se na calculadora as funções e
e determinou-se a abcissa do ponto de interseção dos
respetivos gráficos, obtendo-se o resultado que se apresenta ao lado.
Assim,.
[ ]
4 π
4 π 3 2 π
ABC
AB h
A
s : ax - y + 1 = 0 Û y = ax + 1
s a
r a a
Û r × s = 0 Û
Û ( a ,1 - a ) × ( 1, a ) = 0 Û a + ( 1 - a a ) = 0 Û
2 2
Û a + a - a = 0 Û 2 a - a = 0 Û a 2 - a = 0
a ¹ 0 a = 2
π
tan declive de tan 2 , 0
a= r Û a= < a< r : y = 2 x + 2
2 2 2
2 2 2
1 tan 1 2 3 cos
cos cos cos 3
a a
a a a
+ = Û + = Û = Û =
cos a > 0
cos
a = = =
f ( x ) = sin x
π 2π
f
D
é ù
= ê ú
ë û
π 2π 1
sin 1
£ x £ Û £ x £
f
D
é ù
¢ (^) =
ê ú
ë û
( )
sin
1 cos
x
f x
x
=
x Î] 0 , π[
5 π 1 1
sin
5 π 2 (^6 2 )
6 5 π (^3 2 3) 2 2 3 1 cos 1
6 2 2
f
æ ö
= = = = = ç ÷
è ø - -
2 2
2 3 2 3 2 3
2 3
2 3 2 3 4 3 2 3
= = = = +
π π
sin sin
π π 2 2 cos cos
2 2 π^ π 1 sin 1 sin
1 cos 1 cos
2 2
f f
a a
a a
a a
a a
a a
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
æ ö æ ö (^) è ø è ø
è ø è ø æ^ ö^ æ^ ö +^ -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
( )( )
2 2 2
2 2
cos cos cos
1
1 sin 1 sin 1 sin cos
a a a
a a a a
= = = =
A f (^) ( x + (^1) ) = f (^) ( x )+ 1
( )
( )
( )
1
sin 1
1
1 cos 1
x
y f x
x
= + =
( ) 2
sin
1 1
1 cos
x
y f x
x
= + = +
x » 0,
1
2
1
π
6
2 π
3
x
y
Cálculo auxiliar
5 π π π 1
sin sin π sin
6 6 6 2
5 π π π 3
cos cos π cos
6 6 6 2
æ ö æ ö
= - = = ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö æ ö = - = - = - ç ÷ ç ÷
è ø è ø
O 0,9894 x
2
y
1
y
y
Resposta: (B)
20. ,
Como para todo o vem e, portanto,
O período fundamental de é.
Resposta: (D)
21. , com e
Como , e se então.
Logo,.
Resposta: (A)
22.
Como , vem
O período fundamental de é.
Resposta: (B)
23..
(A)
(B) Se então e a função cosseno é decrescente neste intervalo. Logo, é decrescente em
(C) O período fundamental de é.
(D) Por exemplo, e
cos 210º cos 180º 30º cos30º
sin 210º sin 180º 30º sin 30º
cos q < sin q <tanq
f ( x ) = 2 k + a cos( ax ) [ 2 , 8]
f
D ¢ = -
- £ 1 cos (^) ( ax )£ 1 x Î! (^) [ 2 , 2 ] f
D ¢ = k - a k + a
k a k a k a (^) k
k a a a a
a
ì
ì -^ =^ -^ ì =^ -^ ì =^ -^ = ï
Û Û Û
í í í í
- = - + = = î î î (^) ï = î
f ( x ) = 3 +5cos 5( x )
f
p
sin a = a
a Î -] 1,1 [
π
, π
ù é
Î ú ê
û ë
a
sin
tan π tan
cos
a
a a
a
sin a= a
2 2 2 2
a + cos a= 1 Û cos a= 1 - a
π
, π
a
ù é
Î
ú ê
û ë
cos a < 0 a Î -] 1,1 [
2
0 £ 1 - a £ 1
2
cos a = - 1 - a
2 2
sin
tan π tan
cos 1 1
a a
a a
a
a a
a
f ( x ) = k cos( t x )
[ 2, 2]
f
D ¢ = - k = 2
f 4 p
t t
t
p p
= p Û = Û =
p
f ( x ) =cos 3( x )
[ 1 , 1]
f
D ¢ = -
π
x
é ù
Î ê ú
ë û
3 x Î [ 0 ,p]
f
π
é ù
ê ú
ë û
f 0
2 π
P =
8 π
π ,
p (^) ù é
- Î - -
ú ê
û ë
cos 3 cos
f
æ p^ ö æ p^ ö æ pö
è ø è ø è ø
2 p
p 3 p
x O
-p
y
2
f
Resposta: (B)
24.
.
Como ,. Logo.
Resposta: (C)
28. Seja.
(A função seno é crescente no 1.º quadrante)
Portanto
Resposta: (B)
29.
A equação é possível se.
Resposta: (A)
30.
é máxima para tal que.
cos cos 2 cos 0
æ p^ ö æ 2 p^ ö æ 2 pö
= = p + = = - < ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
π
sin π tan cos
f x x x x
æ ö
= + + + - Û ç ÷
è ø
Û f ( x ) = - sin x + tan x + sin x Û f ( x )=tan x
π 2 π 2
sin π 2π sin π 2π
æ ö æ ö
- = Ù < < Û - - = Ù < < Û ç ÷ ç ÷
è ø è ø
q q q q
cos π 2π
Û - q= Ù < q< Û
2 3 π
cos π
Û q= - Ù < q<
2
2
1 tan
cos
q
q
2 2 2 2
2
1 tan 1 tan tan 1 tan
+ q= Û + q= Û q= - Û q=
æ ö
ç ÷
è ø
3 π
π θ
< < tan q > 0
tan
q = =
f ( x ) = sin x x , Î!
sin sin sin 2
f
æ p ö æ p ö æ p p ö æ pö
= = - = p - = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
sin sin
æ p^ ö p
= - = - ç ÷
è ø
sin 0 sin sin
p p
< < Û
0 sin sin 0
p p
Û < < Û - < - <
f
æ pö
è ø
6 3cos 3cos 6 cos cos
k k
x k x k x x
- = Û - = - Û = Û =
k
k k k
- £ £ Û - £ - £ Û - £ Ù - ³ - Û
Û - k £ 3 - 6 Ù - k ³ - 3 - 6 Û k ³ 3 Ú k £ 9 Û k Î [ 3, 9]
π
7 cos
f x x
æ ö
= - + ç ÷
è ø
f x Î!
π
cos 1
x
æ ö
è ø
π π π 2π
cos 1 2 , 2 , 2 ,
x x k k x k k x k k
æ ö
- = - Û + = p + p Î Û = p - + p Î Û = + p Î ç ÷
è ø
45.1.
Como , temos.
Logo,.
45.2.
Como , temos.
45.3.
47.
47.1. ;
Se , então , porque.
(A função seno é periódica de período )
Assim, , e.
Logo, é uma função periódica de período.
47.2. Se , toma qualquer valor real, pelo que também toma qualquer valor real e, como consequência,
toma todos os valores do intervalo.
( ) ( )
3 π 2 3π 2
3 2 cos 3 2 cos
2 2 2
x x
f x f x
æ - ö æ ö
= + Û = + - Û ç ÷ ç ÷
è ø è ø
( ) ( ) ( )
3 π
3 2 cos 3 2sin
2
f x x f x x
æ ö
Û = + - Û = - ç ÷
è ø
x Î! - 1 £ sin x £ 1
- 1 £ sin x £ 1 Û - 2 £ -2sin x £ 2 Û
Û 3 - 2 £ 3 - 2sin x £ 3 + 2 Û 1 £ f ( x )£ 5
[ 1, 5]
f
D ¢^ =
2
tan
4
q =
2
2
1
1 tan
cos
q
q
2
2 2 2
2 1 2 1 1 1
1 1 1
4 cos q 16 cos q 8 cos q
æ ö
è ø
2
2
9 1 8
cos
8 cos 9
q
q
Û = Û =
2 2
cos q + sin q= 1
2 2 2
8 8 1
sin 1 sin 1 sin
9 9 9
3 π
π ,
2
q
ù é
Î ú ê
û ë
1 1
sin
9 3
q = - = -
( ) ( )
1 2 11
3 2sin 3 2 3
3 3 3
f q q
æ ö
= - = - ´ - = + = ç ÷
è ø
f ( x ) = 2 Ù x Î[ 0 , π[Û
Û 3 - 2sin ( x ) = 2 Ù x Î[ 0 , π[Û
Û -2sin ( x ) = - Ù 1 x Î[ 0 , π[Û
( ) [ [
1
sin 0 , π
2
Û x = Ù x Î Û
π π
π
6 6
Û x = Ú x = - Û
π 5π
6 6
x = Ú x =
π 5π
,
6 6
S
ì ü
= í ý
î þ
( ) 2 4sin^
x
f x
æ ö
= - ç ÷
è ø
f
D =!
f
x Î D ( + 6 p Î)
f
x D f
D =!
6 2 4sin 2 4sin
x x
f x
æ +^ p^ ö æ pö
è ø è ø
2 4sin 2
æ^ x ö
= - + p = ç ÷
è ø
2 p
2 4sin ( )
x
f x
æ ö
= - = ç ÷
è ø
f
" Î x D 6 f
x + pÎ D f ( x + 6 p ) = f ( x )
f 6 p
f
x Î D x
x
sin
æ^ x ö
ç ÷
è ø
[ - 1, 1]
47.3.
Para obtemos , que é o menor valor positivo de para o qual.
47.4. ;
Se , então é solução, no intervalo , da equação.
Para resolver esta equação usando a calculadora gráfica, determinamos a abcissa do ponto de interseção dos gráficos das
funções e , no intervalo.
Obtemos o resultado seguinte:
Logo,.
48.
53.
1 sin 1 4 4sin 4 4 4sin 4
æ^ x^ ö æ x^ ö æ x ö
- £ £ Û - £ £ Û - £ - £ Û ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
2 4 2 4sin 2 4 2 ( ) 6
x
f x
æ ö
Û - £ - £ + Û - £ £ ç ÷
è ø
[ 2 , 6]
f
D ¢^ = -
g ( 2 ) = 0 Û 2cos ( 2 p + a )= 0 Û
Û 2cos a = 0 Û
Û cos a = 0 Û
π
π ,
Û a = + k k Î!
k = 0
π
a = a g ( 2 ) = 0
( ) 2 4sin^
x
f x
æ ö
= - ç ÷
è ø
g ( x ) = 2cos( p x )
PQ = 1
0
x ] 0 ,1 [ f ( x ) - g ( x ) = 1
1
2 4sin 2cos
x
Y f x g x x
æ ö
= - = - - p ç ÷
è ø
2
Y = 1 ] 0 ,1[
0
x »0, 43
3sin 2 ( ) 2,1 0 ,
ù p^ pé
ú ê
û ë
x x
3sin 2 ( ) 2,1 ,
ù p^ pé
Û = - Ù Î - - Û
ú ê
û ë
x x
sin 2 2 2 , 2
ù p^ pé
Û = - Ù Î - ´ - ´ Û
ú ê
û ë
x x
sin 2 ( ) 0, 7 2 ,
ù pé
Û = - Ù Î -p - Û
ú ê
û ë
x x arcsin 0, 7( )»0, 775 397
sin 2 ( ) 0, 7 2 ,
ù pé
Û = - Ù Î -p - Û
ú ê
û ë
x x
Þ 2 x » -p + 0, 775 397Þ
Þ 2 x » -2, 3662 Þ
Þ x » - 1,
( )
2 2
4sin x = 1 - 4cos x Û 4 1 - cos x + 4cos x - 1 = 0 Û
2
Û 4 - 4cos x + 4cos x - 1 = 0 Û
2
Û - 4cos x + 4cos x + 3 = 0 Û
2
Û 4cos x - 4cos x - 3 = 0 Û
2 Û 4 y - 4 y - 3 = 0 Û
0,
0,775 397
-p
2
p
-p + 0,775 397
x 0, 43 1
y
1
1
Y
2
Y
O
y = cos x
