Baixe Equações de superfícies esféricas e intersecções com planos e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Geometria (10.o^ ano)
Circunferˆencias, c´ırculos, superf´ıcies esf´ericas e esferas
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios - Propostas de resolu¸c˜ao
- Como a superf´ıcie esf´erica tem centro no ponto R e cont´em o ponto Q, o comprimento do raio ´e:
r = RQ =
(− 5 − (−2))^2 + (5 − 1)^2 + (− 3 − 1)^2 =
(−5 + 2)^2 + 4^2 + (−4)^2 =
(−3)^2 + 16 + 16 =
Como as coordenadas do centro s˜ao (− 5 , 5 , − 3), a equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica ´e:
(x − (−5))^2 + (y − 5)^2 + (z − (−3))^2 =
⇔ (x + 5)^2 + (y − 5)^2 + (z + 3)^2 = 41
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2021, 2.a^ Fase
- Como a superf´ıcie esf´erica de cont´em os oito v´ertices do cubo, o respetivo centro est´a a igual distˆancia de todos os v´ertices, em par- ticular dos v´ertices A e G, pelo que o centro ´e o ponto m´edio do segmento [AG], e as suas coordenadas podem ser obtidas a partir das coordenadas dos extremos do segmento de reta: ( 5 + 7 2
Como [AG] ´e um diˆametro da superf´ıcie esf´erica, e o raio ´e metade do diˆametro, temos que: x
O y
z
A
G
M
r =
AG
(5 − 7)^2 + (3 − 1)^2 + (6 − 4)^2
(−2)^2 + 2^2 + 2^2
E assim, a equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica ´e:
(x−6)^2 +(y−2)^2 +(z−5)^2 =
⇔ (x−6)^2 +(y−2)^2 +(z−5)^2 =
⇔ (x−6)^2 +(y−2)^2 +(z−5)^2 = 3
Exame – 2020, 2.a^ Fase
- Como o ponto T pertence ao eixo Oz tem abcissa e ordenada nulas e como pertence ao plano z = 3, as suas coordenadas s˜ao (0, 0 ,3) Assim, o ponto T ′^ sim´etrico do ponto T relativamente `a origem do re- ferencial tem de coordenadas (0, 0 , − 3) Assim temos que o centro da superf´ıcie esf´erica ´e o ponto m´edio do diˆametro [T T ′], ou seja, a origem do referencial (como se pretende ilus- trar na figura ao lado), e o raio ´e a distˆancia do ponto T ao centro, ou seja 3, pelo que a equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica ´e:
(x − 0)^2 + (y − 0)^2 + (z − 0)^2 = 3^2 ⇔ x^2 + y^2 + z^2 = 9
x
O y
z
V U
Q
S
T
P
R
T ′
Exame – 2017, 1.a^ Fase
- Como o ponto A tem cota 1, est´a `a distˆancia 1 do plano xOy, pelo que o raio da superf´ıcie esf´erica de centro no ponto A e que ´e tangente ao plano xOy tem raio 1.
Assim, a equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica ´e:
(x − (−1))^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 1^2 ⇔
⇔ (x + 1)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 1
x
O y
z
V
C
B
D
A
Exame – 2016, 1.a^ Fase
- O raio r, da superf´ıcie esf´erica da qual o segmento de reta [AB] ´e um diˆametro, ´e igual a metade da distˆancia entre os pontos A e B. Calculado a distˆancia e depois o raio, temos
AB =
(4 − 0)^2 + (0 − 0)^2 + (0 − 2)^2 =
4 × 5 =
22 × 5 = 2
r =
AB
O centro da superf´ıcie esf´erica ´e ponto m´edio do diˆametro, ou seja
M[AB] =
pelo que, uma equa¸c˜ao cartesiana da superf´ıcie esf´erica da qual o segmento de reta [AB] ´e um diˆametro, ´e (x − 2)^2 + (y − 0)^2 + (z − 1)^2 =
⇔ (x − 2)^2 + y^2 + (z − 1)^2 = 5
Exame – 2015, 1.a^ Fase
- Como a circunferˆencia tem centro no ponto (1,3) e raio 4, de entre as equa¸c˜oes apresentadas, a ´unica que define uma recta tangente `a circunferˆencia ´e x = −3, porque a distˆancia desta reta ao centro da circunferˆencia ´e igual ao raio, e as restantes intersetam a circunferˆencia ou a respetiva distˆancia ao centro ´e superior ao raio.
Resposta: Op¸c˜ao A x
y x = − (^3) x = 1
y = − 4
y = 1
C
O 1
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 29.01.
- Como o v´ertice P pertence aos eixos coordenados Ox, tem ordenada e cota nula, e como pertence `a superf´ıcies esf´erica, podemos determinar a sua abcissa, substituindo os valores da ordenada y = 0 e da cota z = 0 na equa¸c˜ao que define a superf´ıcie esf´erica:
x^2 + 0^2 + 0^2 − 2 x − 2(0) − 8(0) = 0 ⇔ x^2 − 2 x = 0 ⇔
⇔ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x − 2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 Assim, temos que as coordenadas do ponto P s˜ao (2, 0 ,0), porque a outra solu¸c˜ao corresponde `a abcissa do outro ponto da superf´ıcie esf´erica que pertence ao eixo Ox, ou seja, o v´ertice O da pirˆamide, pelo que a medida da aresta da base ´e 2.
Modificando a equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica, podemos identificar as coordenadas do centro, ou seja do ponto V , cuja cota ´e altura da pirˆamide:
y
x
O
z
R
P
Q
V
E F
B
H
A
D C
G
x^2 + y^2 + z^2 − 2 x − 2 y − 8 z = 0 ⇔ x^2 − 2 x + y^2 − 2 y + z^2 − 8 z = 0 ⇔
⇔ x^2 − 2 × 1 × x + 1^2 + y^2 − 2 × 1 × y + 1^2 + z^2 − 2 × 4 × z + 4^2 = 1^2 + 1^2 + 4^2 ⇔ ⇔ (x − 1)^2 + (y − 1)^2 + (z − 4)^2 = 1 + 1 + 16 ⇔ (x − 1)^2 + (y − 1)^2 + (z − 4)^2 = 18 Assim, o volume da pirˆamide ´e:
V[V OP QR] =
× A[OP QR] × zV =
× 22 × 4 =
4 × 4
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 29.01.
- Pela( observa¸c˜ao da condi¸c˜ao que defina a esfera x^2 + y^2 + (z − 2)^2 ≤ 4
, podemos verificar que tem cen- tro no ponto C(0, 0 ,2), ou seja sobre o eixo Oz.
Assim, de entre os planos definidos pelas condi¸c˜oes apre- sentadas, o ´unico que que divide a esfera em dois s´olidos com o mesmo volume, ou seja, o ´unico que cont´em o centro da esfera, ´e o plano x = 0.
Resposta: Op¸c˜ao A
x
y
z 2 O 1 2 3
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 28.01.
- Pela( observa¸c˜ao da equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica x^2 + y^2 + (z − 2)^2 = 4
, podemos verificar que:
- tem centro no ponto C(0, 0 ,2)
- o comprimento r do raio ´e r =
Assim podemos identificar que o centro da superf´ıcie esf´erica est´a a 2 unidades de distˆancia do plano xOy, e que esta distˆancia ´e igual ao raio, pelo que a superf´ıcie esf´erica ´e tangente ao plano xOy na origem do referencial, (como se pretende representar na figura ao lado), ou seja, a intersec¸c˜ao da superf´ıcie com o plano xOy ´e um ponto.
Resposta: Op¸c˜ao B (^) x
y
z
A
C
O
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 29.01.
- Como o cubo tem arestas paralelas aos eixos e de comprimento 2, pela observa¸c˜ao da figura podemos verificar que as coorde- nadas do ponto T s˜ao (2, 0 , − 2)
Como o ponto C ´e o ponto m´edio da aresta [QR] do cubo, as suas coordenadas s˜ao (1, 2 ,0)
Assim, o raio da superf´ıcie esf´erica ´e:
r = T C =
(2 − 1)^2 + (0 − 2)^2 + (− 2 − 0)^2 ) =
12 + (−2)^2 + (−2)^2 =
E assim, uma equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica que tem centro no ponto T e que cont´em o ponto C, ou seja de raio T C, ´e:
(x − 2)^2 + (y − 0)^2 + (z − (−2))^2 = 3^2 ⇔
⇔ (x − 2)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 9
y
x
O
z
T
C
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 28.01.
Exame – 2001, 2.a^ fase (c´od. 135)
- Como interse¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica com o plano de equa¸c˜ao z = 3 ´e uma circunferˆencia de per´ımetro 8π, podemos determinar a medida do raio (rc) desta cir- cunferˆencia:
P = 8π ⇔ 2 πrc = 8π ⇔ rc =
8 π 2 π
⇔ rc = 4
Desta forma, observando que o raio da circunferˆencia ´e perpendicular ao eixo Oz, que o centro da circun- ferˆencia ´e a origem do referencial, podemos verificar que existe um triˆangulo retˆangulo cujos catetos medem 3 e 4 unidades e cuja hipotenusa ´e o raio da circun- ferˆencia (como se pretende ilustrar na figura ao lado).
O
x
y
z
4
5
Assim, recorrendo ao teorema de Pit´agoras, podemos determinar a medida (r) do raio da superf´ıcie esf´erica: r^2 = 3^2 + 4^2 ⇔ r^2 = 9 + 16 ⇔ r^2 = 25 ⇒ r> 0 r =
Desta forma podemos concluir que a superf´ıcie esf´erica tem centro no ponto de coordenadas (0, 0 ,0) e raio 5, pelo que a equa¸c˜ao que a define ´e:
(x − 0)^2 + (y − 0)^2 + (z − 0)^2 = 5^2 ⇔ x^2 + y^2 + z^2 = 25
Resposta: Op¸c˜ao C Exame – 2001, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Analisando as alternativas apresentadas, verificamos que:
- podemos excluir as op¸c˜oes (C) e (D) porque as coordenadas dos centros das duas superf´ıcies esf´ericas s˜ao (0, 0 ,2) e (2, 0 ,0), respetiva- mente, e desta forma podemos verificar que nas duas alternativas, o centro pertence ao plano y = 0, pelo que a superf´ıcie esf´erica n˜ao ´e tangente a este plano;
- relativamente `a op¸c˜ao (B) as coordenadas do centro da superf´ıcie esf´erica ´e (2, 2 ,0) e o raio ´e 4 (4^2 = 16), e assim verificamos que o centro da superf´ıcie esf´erica n˜ao est´a a 4 unidades de distˆancia dos planos x = 4 e y = 0, pelo que n˜ao ´e tangente a nenhum destes planos.
O
x
y
z
Relativamente `a op¸c˜ao (A), as coordenadas do centro da superf´ıcie esf´erica ´e (2, 2 ,0) e o raio ´e 2 (2^2 = 4), e assim verificamos que o centro da superf´ıcie esf´erica est´a a 2 unidades de distˆancia dos planos x = 4 e y = 0, pelo que ´e tangente aos dois planos nos pontos de coordenadas (4, 2 ,0) e (2, 0 ,0), (como se pretende ilustrar na figura anterior).
Resposta: Op¸c˜ao A
Exame – 2001, 1.a^ fase - 1a^ chamada (c´od. 135)
- Analisando as alternativas apresentadas, verificamos que:
- podemos excluir as op¸c˜oes (B) e (D) porque as coordenadas do centro das duas superf´ıcies esf´ericas s˜ao (0, 0 ,4), e desta forma podemos verificar que nestas duas alternativas, o centro est´a a uma unidade de distˆancia do plano z = 5 e a 3 unidades de distˆancia do plano z = 1, pelo que a superf´ıcie esf´erica n˜ao ´e tangente aos dois planos;
- relativamente `a op¸c˜ao (A) as coordenadas do centro da superf´ıcie esf´erica s˜ao (0, 0 ,3) e o raio ´e 5 (5^2 = 25), e assim verificamos que como o centro da superf´ıcie esf´erica est´a a 2 unidades de distˆancia dos planos z = 1 e z = 5, interseta os planos identificados e ´e tangente aos planos z = −2 e z = 8. (^) x
y
z
O
Relativamente `a op¸c˜ao (C), as coordenadas do centro da superf´ıcie esf´erica s˜ao (0, 0 ,3) e o raio ´e 2 (2^2 = 4), e assim verificamos que como o centro da superf´ıcie esf´erica est´a a 2 unidades de distˆancia dos planos z = 1 e z = 5, pelo que ´e tangente aos planos identificados nos pontos de coordenadas (0, 0 ,1) e (0, 0 ,5), (como se pretende ilustrar na figura anterior).
Resposta: Op¸c˜ao C Exame – 2001, Prova Modelo (c´od. 135) Exame – 2000, 2.a^ Fase (c´od. 135)
- A partir da equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica, podemos observar que o centro ´e o ponto C de coordenadas (2, 2 ,2) e o raio ´e
2 ≈ 1 ,41, e desta forma, relativamente a cada uma das alternativas apresenta- das, podemos verificar que:
- a interse¸c˜ao com os planos de equa¸c˜ao x = −1, x = 0 e x = 4 ´e o conjunto vazio porque a diferen¸ca entre a abcissa do centro e as abcissas dos pontos de cada um dos planos ´e maior que o raio da circunferˆencia;
- relativamente ao plano de equa¸c˜ao x = 3, a distˆancia do centro da superf´ıcie esf´erica ao plano ´e |xC − 3 | = | 2 − 3 | = 1, ou seja, esta distˆancia ´e menor que o raio da superf´ıcie esf´erica, pelo que a interse¸c˜ao ´e uma circunferˆencia (como se pretende ilustrar na figura ao lado).
Resposta: Op¸c˜ao C
O
x
y
z
Exame – 2000, Prova 2 para Militares (c´od. 135) Exame – 2000, Prova de reserva (c´od. 135)
- Analisando as alternativas apresentadas, verificamos que as coordenadas do centro das quatro superf´ıcies esf´ericas s˜ao (2, 0 ,0), pelo que a distˆancia do centro ao plano yOz ´e 2, ou seja, a ´unica superf´ıcie esf´erica (de entes as alternativas apresentadas) ´e a que tem raio 2, ou seja:
(x − 2)^2 + y^2 + z^2 = 2^2 ⇔ (x − 2)^2 + y^2 + z^2 = 4
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2000, ´Epoca Especial (setembro) (c´od. 135) Exame – 1999, Prova de reserva (c´od. 135) (adaptado)
- Como o raio da esfera ´e 3 (3^2 = 9) e o centro ´e o ponto de coordenadas (0, 7 ,0), podemos analisar cada uma das afirma¸c˜oes e obter as conclus˜oes que se ilustram na figura seguinte:
- O ponto de coordenadas (0, 4 ,0) ´e o ponto da esfera mais pr´oximo do eixo Ox, pelo que a esfera n˜ao inter- seta este eixo
- O centro da esfera ´e um ponto do eixo Oy que per- tence `a esfera (assim como os pontos com ordenada compreendida entre 3 e 10, abcissa e ordenada nulas)
- Substituindo as coordenadas do ponto (7, 7 ,0) na condi¸c˜ao que define a espera, ´e poss´ıvel verificar que o ponto n˜ao pertence `a esfera:
72 +(7−7)^2 +0^2 ≤ 9 ⇔ 49+0+0 ≤ 9(Proposi¸c˜ao falsa)
- Substituindo as coordenadas do ponto (0, 0 ,7) na condi¸c˜ao que define a espera, ´e poss´ıvel verificar que o ponto n˜ao pertence `a esfera:
02 +(0−7)^2 +7^2 ≤ 9 ⇔ 0+49+49 ≤ 9 (Proposi¸c˜ao falsa)
x
O y
z
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 1999, ´Epoca Especial (c´od. 135)
- Como o centro da superf´ıcie esf´erica tem ´e o ponto A, a distˆancia do centro ao plano xOy ´e 2
Como se pretende que o raio da circunferˆencia seja 3, calculando o raio (r) da superf´ıcie esf´erica como a medida da hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo cujos catetos medem respetivamente 3 e 2:
r^2 = 3^2 + 2^2 ⇔ r^2 = 9 + 4 ⇒ r> 0
r =
Assim, a equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica de centro no ponto A e raio r, ´e:
x
y
O
z
A
B
C
(x − 0)^2 + (y − 5)^2 + (z − 2)^2 =
⇔ x^2 + (y − 5)^2 + (z − 2)^2 = 13
Exame – 1999, 2.a^ fase (c´od. 135)
- Como o volume do cubo ´e 27, a medida (a) da aresta ´e:
a = 3
E assim temos que as coordenadas do ponto U s˜ao: (3, 3 ,3)
Como o centro da superf´ıcie esf´erica ´e o sim´etrico do ponto U , em rela¸c˜ao ao plano xOy, tem abcissa e ordenada iguais `as do ponto U e cota sim´etrica, ou seja o centro da superf´ıcie esf´erica ´e o ponto C(3, 3 , − 3)
Como o ponto Q pertence ao plano xOy, e est´a sobre a reta U C tem cota nula e ´e o ponto m´edio do segmento do segmento de reta [U C], pelo que o raio da superf´ıcie esf´erica, ´e:
CQ = QU = 3
E assim, a equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica de centro no ponto C e raio CQ, ´e:
x
y
O
z
Q
S T
U
R
P
V
C
(x − 3)^2 + (y − 3)^2 + (z − (−3))^2 = 3^2 ⇔ (x − 3)^2 + (y − 3)^2 + (z + 3)^2 = 9
Exame – 1999, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Como o comprimento do raio da base ´e 3 e a altura do cone ´e 4, podemos determinar o raio da esfera atrav´es do teorema de Pit´agoras:
r^2 = 3^2 + 4^2 ⇔ r^2 = 9 + 16 ⇔ r^2 = 25 ⇒ r> 0 r = 5
Como a altura do cone ´e 4, o v´ertice V pertence ao semieixo positivo Oz e a base do cone est´a contida no plano xOy, ent˜ao as coordenadas do ponto V , ou seja, o centro da esfera s˜ao (0, 0 ,4)
Desta forma, uma condi¸c˜ao que define a esfera cujo centro ´e o ponto V e cuja intersec¸c˜ao com o plano xOy ´e a base do cone, ´e:
(x − 0)^2 + (y − 0)^2 + (z − 4)^2 = 5^2 ⇔ x^2 + y^2 + (z − 4)^2 = 25 x
O^ y
z
D B
A
C
V
Exame – 1999, 1.a^ fase - 1.a^ chamada (c´od. 135)
- Como a abcissa do ponto R ´e 2 e [OR] ´e uma aresta do cubo, temos que a medida das arestas do cubo ´e 2 Assim, como [ON ], [OP ] e [OS] s˜ao arestas do cubo, tˆem comprimento 2 e assim, temos que as coorde- nadas do ponto U s˜ao (2, 2 ,2), pelo que o raio (r) da superf´ıcie esf´erica que cont´em os oito v´ertices do cubo, ´e metade da distˆancia entre os v´ertices U e O), e pode ser calculado por:
r =
U O
(2 − 0)^2 + (2 − 0)^2 + (2 − 0)^2
4 × 3
4 ×
E assim, observando que o centro da superf´ıcie esf´erica que cont´em os oito v´ertices do cubo, ´e o ponto m´edio de dois v´ertice opostos (por exemplo U e O, temos que as coordenadas do centro s˜ao: ( 2 − 0 2
E assim, uma equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica que cont´em os oito v´ertices do cubo, ´e:
(x − 1)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 =
⇔ (x − 1)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 3
Exame – 1998, Prova Modelo (c´od. 135)
- Como a esfera ´e tangente ao plano xOy, ou seja ao plano de equa¸c˜ao z = 0, ent˜ao o raio ´e igual ao valor absoluto da cota do centro, ou seja, a esfera tem raio 4 (como se pretende ilustrar na figura ao lado).
Como as coordenadas do centro da esfera s˜ao (2, 3 ,4), ent˜ao a condi¸c˜ao que a define ´e: (x − 2)^2 + (y − 3)^2 + (z − 4)^2 ≤ 42 Resposta: Op¸c˜ao D x
y
z
O
C
Exame – 1997, Prova para militares (c´od. 135)
- Como o centro de ambas as superf´ıcies esf´ericas ´e comum (a origem do referencial) e o raio ´e diferente (respetivamente 2 e 3), as duas superf´ıcies esf´ericas n˜ao se intersetam (como se pretende ilustrar na figura ao lado), pelo que a interse¸c˜ao ´e o conjunto vazio.
Resposta: Op¸c˜ao D
x
O^ y
z
Exame – 1997, 2.a^ fase (c´od. 135)
