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DIMENSÕES • Matemática A • 12 .º ano • Material fotocopiável • © Santillana
FICHA DE TRABALHO 1 5 Números complexos.
Representação geométrica
NOME: _________________________________________ N.º: ______ TURMA: _________ DATA: __________
Considere a equação 𝒙
𝟑
Use a fórmula de Cardano para determinar uma solução da equação.
Fatorize o polinómio 𝑥
3
− 12 𝑥 − 16 e determine, caso existam, as restantes soluções da equação.
Considere a equação 𝒙
𝟑
Use a fórmula de Cardano para determinar uma solução da equação.
Fatorize o polinómio 𝑥
3
− 6 𝑥 − 9 e determine, caso existam, as restantes soluções da equação.
Considere a equação 𝒙
𝟑
Use a fórmula de Cardano para determinar uma solução da equação.
Fatorize o polinómio 𝑥
3
− 6 𝑥 + 4 e determine, caso existam, as restantes soluções da equação.
Considere a equação 𝒙
𝟑
Use a fórmula de Cardano para determinar uma solução da equação.
Fatorize o polinómio 𝒙
𝟑
− 𝟏𝟖𝒙 − 𝟖 e determine, caso existam, as restantes soluções da equação.
Considerando as operações « + » e « × » (adição e multiplicação de números complexos, respetivamente),
calcule:
( 3 , 1 ) + ( 2 , − 1 ) e) (− 1 , 0 ) × ( 0 , − 1 )
( 3 , 1 ) × ( 2 , − 1 ) f) (− 1 , 1 ) × ( 2 , − 2 )
( 1 , 2 ) + (− 1 , 3 ) g) (− √
2 ,− 3 ) × ((
1
2
3
2
( 1 , 2 ) × (− 1 , 3 )
Identifique Re ( z ) e Im ( z ) nos seguintes complexos:
𝑧 = 3 + 2 𝑖 e) 𝑧 = 𝑖 + 2
𝑧 = 1 − 𝑖 f) 𝑧 = √ 2 𝑖 − ln 2
𝑧 = 4 g) 𝑧 = 2 𝑖
1
4
𝑖
2
h) 𝑧 = 0
Determine os valores de 𝒙 e de 𝒚 para os quais os números complexos seguintes são iguais:
1
= 𝑥 − 2 𝑖 e 𝑧
2
𝑦
2
1
= √ 2 𝑥 + 𝑖 e 𝑧 2
√
2
2
1
√ 3
3
𝑥 − 2 𝑖 e 𝑧
2
√ 2
4
1
= −√ 3 𝑥 + √ 2 𝑦𝑖 e 𝑧
2
1
2
𝑖 e 𝑧 2
𝜋
2
𝜋
4
1
1
4
6 𝑦𝑖 e 𝑧
2
DIMENSÕES • Matemática A • 12 .º ano • Material fotocopiável • © Santillana
Calcule:
h) (
1
2
+ 𝑖) × (
3
2
i)
×
×
j) 𝑖
×
( 7 + 𝑖) × ( 1 − 3 𝑖) k) 𝑖( 1 + 𝑖) + 2 𝑖( 2 + 𝑖)
(√ 2 − 𝑖) × (√ 2 + 𝑖) l) −𝑖
×
( 2 − √ 3 𝑖) × ( 1 + √ 3 𝑖) m) 𝑖(√ 6 − √ 6 𝑖) − (√ 2 + √ 2 𝑖) × (√ 3 − √ 2 𝑖)
3
2
1
2
𝑖) ×
Determine o valor de 𝒂 para o qual:
( 1 − 𝑎𝑖) + ( 3 + 4 𝑖) é um número real.
( 3 𝑎 − 2 𝑖) + ( 1 + 3 𝑖) é um número imaginário puro.
( 2 − 𝑎𝑖) + (𝑎 − 𝑖) é um número real.
2
𝑖) é um número real.
(ln 𝑎 − 2 𝑖) + (− 1 + 3 𝑖) é um número imaginário puro.
(− log 𝑎 + 2 𝑖) + ( 2 + 3 𝑖) é um número imaginário puro.
Seja A o afixo do complexo 𝒛 = 𝟐 − 𝟑𝒊. Indique as coordenadas do afixo B do complexo:
0
, em que 𝑧
0
= − 1 − 3 𝑖. d) 𝑧 − 𝑧
0
, em que 𝑧
0
0
, em que 𝑧
0
= − 2 + 4 𝑖. e) 𝑧
0
− 𝑧 , em que 𝑧
0
0
, em que 𝑧
0
= 3 − 2 𝑖. f) 𝑧
0
− 𝑧 , em que 𝑧
0
Seja A o afixo do complexo 𝒛 = 𝟏 − 𝒊. Indique o complexo 𝒛 𝟎
, de modo que o afixo B do complexo:
0
tenha as coordenadas (2, 3). e) 𝑧 − 𝑧
0
tenha as coordenadas (1, 4).
0
tenha as coordenadas (– 1 , – 2 ). f) 𝑧 0
− 𝑧 tenha as coordenadas (–2, 0 ).
0
tenha as coordenadas ( 0 , 2 ). g) 𝑧
0
− 𝑧 tenha as coordenadas ( 3 , – 1 ).
0
tenha as coordenadas (–3, 1). h) 𝑧 − 𝑧
0
tenha as coordenadas (–1, – 1).
Considere, no plano complexo, um triângulo [ ABC ]. Sabe-se que:
A é o afixo do complexo 𝒛 𝟏
B é o afixo do complexo 𝒛 𝟐
= 𝟐 + 𝟒 i ;
C é o afixo do complexo 𝒛 𝟑
= −𝟐 + 𝟐 i.
Determine o perímetro do triângulo [ ABC ].
Apresente o resultado arredondado às décimas.
Determine a área do triângulo [ ABC ].
Considere um ponto D , que é a imagem do afixo de C pela translação de
vetor 𝑢⃗ ( 0 , 𝑎). Sabe-se que a área do triângulo [ ABD ] é superior em uma
unidade à área do triângulo [ ABC ].
Determine 𝑎.
