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M´odulo 1 – Oscila¸c˜oes
Apresenta¸c˜ao do m´odulo
O m´odulo Oscila¸c˜oes, dedicado ao estudo de sistemas oscilantes, ´e de grande importˆancia, pois oscila¸c˜oes est˜ao presentes sempre, em qual- quer lugar e em qualquer escala, macro ou microsc´opica: o vento faz oscilar ´arvores ou cabos de linhas de transmiss˜ao a´ereas, as moscas provocam os- cila¸c˜oes incessantes do rabo de um boi pastando, ´atomos e mol´eculas vibram e oscilam permanentemente...
O caminho que nos levar´a do concreto ao abstrato ter´a como ponto de partida a observa¸c˜ao: teremos de olhar, ouvir, tocar, e, sempre que poss´ıvel, ser˜ao realizadas experiˆencias qualitativas e, melhor ainda, quan- titativas. Em paralelo, conceitos importantes e defini¸c˜oes ser˜ao introduzi- dos, o que permitir´a entender, caracterizar, medir e finalmente modelar esses sistemas e fenˆomenos.
Antes de mais nada, ´e interessante fazer um pequeno exerc´ıcio de semˆantica, consultando o dicion´ario do Aur´elio Buarque de Holanda Ferreira. Nele, vocˆe poder´a encontarar, entre outras, as seguintes defini¸c˜oes.
- Oscila¸c˜ao:
- Fenˆomeno em que uma grandeza ou um conjunto de grandezas de um sistema varia segundo uma fun¸c˜ao peri´odica do tempo.
- Varia¸c˜ao alternada; flutua¸c˜ao; mudan¸ca.
- Oscilar:
- Mover-se alternadamente em sentidos opostos.
- Movimentar-se em vai-e-vem.
- Mover-se, tornando a passar (ao menos aproximadamente) pelas mes- mas posi¸c˜oes.
- Oscila¸c˜ao for¸cada:
- A que um sistema oscilante efetua sob a a¸c˜ao de um agente externo que varia periodicamente.
- Oscila¸c˜ao livre:
- A que ´e efetuada por um sistema sem a interven¸c˜ao de agentes externos.
A eficiˆencia da sua aprendizagem depender´a da realiza¸c˜ao de experi- mentos, seja na sua casa, seja nos p´olos, da resolu¸c˜ao de exerc´ıcios e de leitu- ras complementares indicadas nas referˆencias bibliogr´aficas. V´ıdeos did´aticos de videotecas ou de programas educativos de televis˜ao ser˜ao de grande ajuda. Um caderno para anota¸c˜oes, coment´arios, resolu¸c˜ao de exerc´ıcios e d´uvidas que vocˆe levar´a ao conhecimento dos professores e/ou tutores, dever´a ser seu companheiro ao longo do curso.
Ao longo desta apostila vocˆe encontrar´a referˆencias a v´arios livros, su- gerindo que vocˆe v´a a algum deles e leia um cap´ıtulo, uma se¸c˜ao, fa¸ca a revis˜ao de uma parte da mat´eria, etc...
Para n˜ao escrever o nome completo de cada livro todas as vezes que o mesmo ´e sugerido, n´os criamos apelidos. Ao final da apostila, vocˆe encontrar´a a lista completa das referˆencias, com os apelidos em negrito.
Os livros, na verdade, constituem uma s´erie, com volumes que v˜ao do 1 ao 4, dependendo do curso. Durante o m´odulo, em geral, faremos referˆencia aos volumes 1 e 2, correspondendo aos cursos de F´ısica 1 e 2.
Esses livros podem ser encontrados na biblioteca do p´olo!
Oscila¸c˜oes: observa¸c˜oes, conceitos e defini¸c˜oes
sentidos opostos em torno da sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio, isto ´e, oscila ... at´e vocˆe decidir abrir os olhos e acabar com sua primeira experiˆencia virtual. Agora, vamos ver o que vocˆe aprendeu!
- A grandeza que oscila ´e a posi¸c˜ao y(t) do centro de gravidade da esfera, que ´e uma fun¸c˜ao do tempo t.
- Essa grandeza oscila em torno da sua posi¸c˜ao de repouso (ou equil´ıbrio) y(0) = 0.
- Nas extremidades superior e inferior da oscila¸c˜ao, a velocidade da esfera se anula. Portanto, o m´odulo dessa velocidade deve passar por um valor m´aximo em algum ponto entre essas extremidades.
- A repetitividade do movimento de vai-e-vem sugere o conceito de pe- riodicidade: o tempo T necess´ario para um ciclo completo ´e chamado per´ıodo da oscila¸c˜ao. A unidade geralmente usada ´e o segundo.
- O inverso (^) T^1 desse per´ıodo ´e chamado freq¨uˆencia, cuja unidade no Sistema Internacional de Medidas (SI) ´e o hertz (Hz), em homenagem a Heinrich Hertz (1857-1894), que foi o primeiro a observar experimen- talmente ondas eletromagn´eticas.
Exerc´ıcio 1.
Descreva seu experimento por meio de figuras e discuta-o com seu tutor.
Vamos fechar os olhos de novo e imaginar outros sistemas oscilantes.
EV2 - Oscila¸c˜oes do pˆendulo de um rel´ogio
Vocˆe j´a deve ter observado o movimento peri´odico do pˆendulo de um rel´ogio antigo. Imagine esse movimento, tentando acertar o valor do seu per´ıodo. Para isso, me¸ca o tempo necess´ario `a realiza¸c˜ao de, por exemplo, 30 oscila¸c˜oes imagin´arias: se vocˆe for esperto encontrar´a um resultado da ordem de 30 segundos e, portanto, um per´ıodo da ordem de 1 segundo !!!
- A novidade ´e que, agora, a grandeza que varia ´e o ˆangulo θ entre o bra¸co do pˆendulo e a vertical.
- A posi¸c˜ao de equil´ıbrio do bra¸co ´e a dire¸c˜ao vertical, o que corresponde ao valor θ = 0.
Oscila¸c˜oes: observa¸c˜oes, conceitos e defini¸c˜oes (^) M ODULO 1´ - AULA 1
- Vocˆe deve se lembrar do car´ater sim´etrico desse movimento: as duas posi¸c˜oes, onde a velocidade do bra¸co ´e nula, s˜ao sim´etricas em rela¸c˜ao `a vertical e correspondem a ˆangulos m´aximos ±θmax. O valor absoluto θmax ´e chamado amplitude da oscila¸c˜ao.
Exerc´ıcio 1.
Descreva seu experimento por meio de figuras e discuta-o com seu tutor.
EV3 - Proje¸c˜ao vertical das oscila¸c˜oes do pˆendulo de um rel´ogio
Imagine seu pˆendulo oscilando de novo, e agora projete verticalmente sua extremidade numa linha horizontal situada abaixo dele no plano da oscila¸c˜ao. O ponto que representa essa extremidade est´a oscilando. De- senhe essa experiˆencia, em duas ou trˆes dimens˜oes e responda `as seguintes perguntas:
- Qual ´e a grandeza que oscila?
- Qual ´e o seu ponto de equil´ıbrio?
- Qual ´e a amplitude da oscila¸c˜ao?
- Qual ´e o seu per´ıodo? E igual a um segundo? Por quˆ´ e?
- Qual ´e a sua freq¨uˆencia?
EV4 - Proje¸c˜ao horizontal das oscila¸c˜oes do pˆendulo de um rel´ogio
Projete agora, horizontalmente, a extremidade desse mesmo pˆendulo numa linha vertical situada, por exemplo, a sua direita no plano de oscila¸c˜ao. Desenhe de novo o que vocˆe imaginou e respondaas mesmas cinco perguntas da experiˆencia EV3 anterior.
EV5 - Oscila¸c˜ao da declina¸c˜ao do sol ao meio-dia
A uma dada hora do dia, por exemplo ao meio dia, vocˆe observa que a altura aparente do sol em rela¸c˜ao ao horizonte, chamada declina¸c˜ao, varia ao longo do ano entre dois valores Θmin e Θmax. Imagine esse movimento peri´odico e indique:
Oscila¸c˜oes: observa¸c˜oes, conceitos e defini¸c˜oes (^) M ODULO 1´ - AULA 1
- Sabendo que o ˆangulo entre a vertical e o ponteiro dos segundos ´e dado por α = 2πt/60, onde t ´e o tempo em segundos, escreva a equa¸c˜ao do movimento do ponto luminoso em fun¸c˜ao do tempo.
- Esboce um gr´afico dessa fun¸c˜ao.
Antes de passar do universo virtual onde (quase!) tudo ´e permitido, para o mundo real, onde modelos devem explicar e prever (por que n˜ao?) fatos experimentais, ´e importante compreender bem os conceitos b´asicos re- lacionados com os sitemas oscilantes que vocˆe acaba de estudar.
Mas uma experiˆencia virtual ´e pura imagina¸c˜ao e, para progredir, vocˆe vai precisar realizar experiˆencias de verdade.
Experiˆencias caseiras (EC)
EC1 - Oscila¸c˜oes de uma massa presa a uma mola
Procure na sua casa uma pequena mola, bem mole, ou um el´astico suficientemente comprido (aproximadamente de 50 cm), amarre algum ob- jeto pequeno, por´em pesado (um peda¸co de lat˜ao, ou melhor, um chumbo de pescador com ganchinho), a uma extremidade e pendure o conjunto em al- gum lugar (numa ma¸caneta por exemplo, para n˜ao furar nem a parede, nem o teto!).
Realize agora, de verdade, a primeira experiˆencia virtual EV1, tentando conseguir oscila¸c˜oes bem lentas para facilitar suas observa¸c˜oes e suas medidas.
- Determine o ponto de repouso e as posi¸c˜oes ymax e ymin das extremi- dades superior e inferior da oscila¸c˜ao.
- Essas posi¸c˜oes s˜ao sim´etricas em rela¸c˜ao ao ponto de repouso?
- Qual ´e, ent˜ao, a amplitude da oscila¸c˜ao?
- Me¸ca 10 vezes a dura¸c˜ao τi, i = 1, 2 , ..., 10 de 5 oscila¸c˜oes.
- Cada medida permite calcular o per´ıodo Ti do movimento:
Ti =^15 τi
Oscila¸c˜oes: observa¸c˜oes, conceitos e defini¸c˜oes
- Calcule, ent˜ao, o valor m´edio T do per´ıodo:
T = 101
∑^10
i=
Ti
- Determine a freq¨uˆencia m´edia
ν =^1 T
- Ap´os consulta `a apostila “T´opicos de tratamento de dados ex- perimentais”, mostre que as incertezas (desvios padr˜oes) σ sobre o conjunto de medidas Ti e σT sobre o valor m´edio T do per´ıodo, s˜ao, respectivamente,
σ =
5 στi^ e^ σT^ =^
√^1
σ
onde στi ≡ στ ´e o desvio padr˜ao experimental sobre a dura¸c˜ao de 5 oscila¸c˜oes.
- Mostre que a incerteza σν sobre o valor m´edio da freq¨uˆencia ν ´e
σν = σT T 2
- Descreva a experiˆencia e apresente seus resultados, tentando mostrar o que vocˆe aprendeu.
EC2 - Oscila¸c˜oes de um pˆendulo simples
Nem todo mundo tem um rel´ogio antigo em casa, al´em disso, o pˆendulo desse tipo de rel´ogio ´e um sistema mecˆanico bastante complicado (corpo r´ıgido), e seu movimento ser´a estudado mais tarde. Por isso, a sua segunda experiˆencia caseira ser´a dedicada ao estudo de um pˆendulo simples, cons- titu´ıdo por uma massa muito pequena, podendo ser considerada como um ponto material, presa a um fio inextens´ıvel, idealmente sem massa. Com um barbante ou um fio de n´ailon de 1 metro de comprimento e o pequeno objeto da experiˆencia EC1 anterior, estude as oscila¸c˜oes desse pˆendulo sim- ples. Para isso, afaste o pˆendulo da sua posi¸c˜ao de repouso de um ˆangulo θ 0 pequeno (menor que 20 graus) e deixe-o oscilar livremente.
Oscila¸c˜oes: observa¸c˜oes, conceitos e defini¸c˜oes
- Qual ´e a amplitude da oscila¸c˜ao?
- Qual ´e o seu per´ıodo?
- A figura seguinte mostra as duas posi¸c˜oes onde a velocidade da massa presa `a mola ´e nula.
- Qual ´e a amplitude da oscila¸c˜ao?
- Qual ´e o seu per´ıodo?
- Onde est´a a posi¸c˜ao de equil´ıbrio da massa?
Auto-avalia¸c˜ao
Com certeza vocˆe conseguiu responder a todas as perguntas! Caso contr´ario, volte ao in´ıcio desta aula e, armado de paciˆencia e de perseveran¸ca, percorra o mesmo caminho que o levar´a de novo at´e aqui. Lembre-se: tutores e professores est˜ao `a sua disposi¸c˜ao para ajud´a-lo. N˜ao se acanhe e... At´e a pr´oxima aula!
O Movimento Harmˆonico Simples (MHS) (^) M ODULO 1´ - AULA 2
Aula 2 – O Movimento Harmˆonico Simples
(MHS)
Meta da aula
- Introduzir o Movimento Harmˆonico Simples.
Objetivos
Ao final desta aula, vocˆe dever´a ser capaz de:
- Identificar o Movimento Harmˆonico Simples.
- Definir o MHS.
- Montar a equa¸c˜ao que o rege e encontrar a sua solu¸c˜ao.
- Entender novos conceitos como: for¸ca restauradora, frequˆencia angular e fase.
- Exemplificar a transforma¸c˜ao entre energias cin´etica e potencial.
Introdu¸c˜ao
At´e agora, os sistemas oscilantes foram considerados somente de um ponto de vista cinem´atico, sem nos preocuparmos com o aspecto dinˆamico do problema. Vamos, ent˜ao, preencher essa lacuna e descobrir por que um sistema f´ısico est´a oscilando. A resposta ´e bastante natural: h´a oscila¸c˜ao quando o sistema est´a submetido a uma for¸ca ou a um torque restaurador que provoca seu retorno `a posi¸c˜ao de repouso. As experiˆencias que vocˆe realizou durante a Aula 1 devem ter conduzido vocˆe a prever essa explica¸c˜ao!
Antes de prosseguir, devemos entender o sentido das palavras har- mˆonico e simples. Em geral, as vibra¸c˜oes de sistemas, como ´atomos e mol´eculas, s˜ao muito complicadas do ponto de vista f´ısico, portanto, mate- m´atico. Entretanto, esses movimentos podem ser descritos e analisados, admitindo que eles resultam da superposi¸c˜ao de oscila¸c˜oes harmˆonicas representadas por fun¸c˜oes seno ou cosseno. A for¸ca restauradora res- O f´ısico inglˆes Robert Hooke (1635-1703) propˆos a Lei de pons´avel pelas oscila¸c˜oes de uma part´ıcula ´e dada pela Lei de Hooke, Hooke em 1660.
F (x) = −kx (2.1)
O Movimento Harmˆonico Simples (MHS) (^) M ODULO 1´ - AULA 2
Equa¸c˜ao do MHS
Temos a for¸ca! Como vocˆe, com certeza, n˜ao esqueceu a segunda Lei de Newton, podemos agora montar a equa¸c˜ao do MHS,
−kx = M d
(^2) x dt^2 (2.4)
onde M ´e a massa da part´ıcula e d
(^2) x dt^2 sua acelera¸c˜ao. Essa equa¸c˜ao pode ser reescrita como: d^2 x dt^2 +^
k M x^ = 0^ (2.5)
Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do MHS
Observando a primeira forma da equa¸c˜ao do MHS (Equa¸c˜ao 2.4), vocˆe nota que a solu¸c˜ao x(t) ´e proporcional `a sua derivada segunda. Vocˆe tamb´em deve lembrar (e verificar, agora, a t´ıtulo de exerc´ıcio!) que as fun¸c˜oes seno e cosseno possuem essa propriedade. Portanto, podemos esperar que uma fun¸c˜ao do tipo x(t) = xm cos(ωt + ϕ) (2.6)
seja a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao do MHS, onde xm ´e a amplitude, ω ´e a freq¨uˆencia angular e ϕ a fase. A dimens˜ao da freq¨uˆencia angular ´e a de inverso de tempo, e a sua unidade ´e o rad/s.
Exerc´ıcio 2.
Derive duas vezes a fun¸c˜ao x(t) (Equa¸c˜ao 2.6) em rela¸c˜ao ao tempo t e, usando a equa¸c˜ao do MHS, mostre que
ω^2 = k M
Exerc´ıcio 2.
Se a fun¸c˜ao exponencial real ´e proporcional `a sua derivada segunda, por que ela n˜ao pode ser solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do MHS?
O Movimento Harmˆonico Simples (MHS)
Exerc´ıcio 2.
Mostre que x(t) = x(t +^2 ωπ ) (2.8)
o que prova que o per´ıodo do MHS ´e T =^2 π ω.
Vocˆe acaba de descobrir, ent˜ao, a rela¸c˜ao entre per´ıodo, massa e cons- tante de Hooke:
T = 2π
M
k
A dependˆencia temporal da posi¸c˜ao x(t), da velocidade v(t) = dx dt(t ) e
da acelera¸c˜ao a(t) = d
(^2) x(t) dt^2 est´a ilustrada na Figura 2.2, a seguir.^ Por simplicidade, a fase foi considerada nula nessa figura.
Figura 2.2: (a) Posi¸c˜ao, (b) velocidade e (c) acelera¸c˜ao como fun¸c˜ao do tempo para o MHS.
O Movimento Harmˆonico Simples (MHS)
tamb´em. No ponto de equil´ıbrio, onde x = 0, ´e a vez da energia poten- cial U se anular. Em qualquer outro ponto, o sistema possui tanto energia cin´etica quanto energia potencial e podemos dizer que, ao oscilar, h´a troca permanente interna de energia cin´etica e potencial. Vamos ver que essas energias tamb´em oscilam, embora com um per´ıodo diferente! De fato, se o deslocamento da massa ´e dado por
x(t) = xm cos(ωt + ϕ) (2.10)
ent˜ao a velocidade ´e
v(t) = dx dt(t )= −ωxm sen(ωt + ϕ) (2.11)
Exerc´ıcio 2.
Mostre que a acelera¸c˜ao ´e dada por
a(t) = −ω^2 xm cos(ωt + ϕ) (2.12)
Logo, temos para as energias cin´etica e potencial, respectivamente:
K(t) =^12 Mv^2 =^12 Mω^2 x^2 m sen^2 (ωt + ϕ) (2.13)
U(t) =^12 kx^2 =^12 kx^2 m cos^2 (ωt + ϕ) (2.14)
Agora, se vocˆe n˜ao se esqueceu do que j´a demonstrou num exerc´ıcio anterior,
que ω^2 = k M
, vocˆe deve provar, para se exercitar, que:
E =^12 kx^2 m (2.15)
Na Figura 2.3 aparece a dependˆencia temporal do deslocamento e das energias cin´etica, potencial e total do nosso oscilador harmˆonico simples. Fica evidente que o per´ıodo de oscila¸c˜ao Tenegria das energias cin´etica e potencial ´e a metade do per´ıodo T do MHS.
O Movimento Harmˆonico Simples (MHS) (^) M ODULO 1´ - AULA 2
Figura 2.3: (a) Posi¸c˜ao x(t), (b) energia cin´etica K(t), energia potencial U (t) e energia total E(t) como fun¸c˜ao do tempo.
Exerc´ıcio 2.
Lembrando um pouco de trigonometria,
cos(2x) = 1 − 2 sen^2 x (2.16)
mostre que vocˆe ´e capaz de confirmar matematicamente o que vocˆe observou na Figura 2.3, ou seja, Tenergia = T 2
Exerc´ıcio 2.
Mostre que v(t) = ±
k M (x
(^2) m − x (^2) ) (2.18)
O Movimento Harmˆonico Simples (MHS) (^) M ODULO 1´ - AULA 2
muito bem esticado e cujas extremidades est˜ao fixas. O raio OP indica a posi¸c˜ao de repouso do pˆendulo. Se vocˆe girar delicadamente o disco de um ˆangulo θm, at´e que o raio OP esteja na dire¸c˜ao OP’, o fio de a¸co, ao se torcer, vai exercer um torque restaurador τ proporcional ao deslocamento angular, de acordo com a lei de Hooke,
τ = −κθ (2.20)
onde κ ´e a constante de tor¸c˜ao que depende do fio.
Ao largar o disco, este vai come¸car a oscilar, isto sendo um fato expe- rimental. Agora vamos entender matematicamente esse fato, aplicando ao sistema a segunda lei de Newton,
τ = I d
(^2) θ dt^2 (2.21)
onde τ ´e o torque aplicado, I o momento de in´ercia do sistema, que, no nosso caso, ´e calculado relativamente ao eixo de simetria vertical representado pelo
fio de a¸co, e d
(^2) θ dt^2
a acelera¸c˜ao angular desse sistema. Combinando as lei de Hooke e de Newton, chega-se imediatemente `a equa¸c˜ao do movimento d^2 θ dt^2 +^
κ I θ^ = 0^ (2.22) cuja solu¸c˜ao pode ser escrita como
θ = θm cos(ωt + ϕ) (2.23)
A fase ϕ depende das condi¸c˜oes iniciais e a freq¨uˆencia angular ω ´e dada por:
ω =
κ I (2.24)
O per´ıodo T ´e, portanto:
T = 2π
I
κ (2.25)
Exerc´ıcio 2.
Relembrando o que vocˆe aprendeu sobre o o MHS e os exerc´ıcios anteriores, demonstre os dois ´ultimos resultados.
O Movimento Harmˆonico Simples (MHS)
O f´ısico inglˆes Henry Cavendish foi o primeiro a determinar experimen- talmente em 1798, o valor da constante gravitacional G, usando um arranjo experimental que era de fato um pˆendulo de tor¸c˜ao. Aparelhos de medidas el´etricas, como o galvanˆometro de quadro m´ovel, usam o princ´ıpio do pˆendulo de tor¸c˜ao. E para ficar mais perto do seu dia-a- dia, tente abrir um rel´ogio mecˆanico (sabendo que ´e uma tarefa dif´ıcil achar esse tipo de rel´ogio na era do digital!): vocˆe notar´a a presen¸ca de uma mola espiral que aplica um torque restaurador ao volante, fazendo o papel do nosso fio de a¸co.
Veja o Hallyday p´agina 29
Resumo
Nesta aula vocˆe foi apresentado ao movimento harmˆonico simples. Par- tindo da Lei de Hooke e da segunda lei de Newton, a equa¸c˜ao de movi- mento foi montada e ent˜ao uma solu¸c˜ao para esta equa¸c˜ao foi proposta. Vocˆe tamb´em estudou a transforma¸c˜ao de energia cin´etica em potencial (e vice-versa) neste tipo de movimento.
Exerc´ıcios complementares
Vocˆe acaba de percorrer a segunda etapa da sua primeira viagem do concreto ao abstrato, entendendo porque e sob quais condi¸c˜oes um sistema mecˆanico est´a oscilando. Pois bem, vamos ver, agora, se vocˆe sabe oscilar sem vacilar, respondendo `as perguntas que seguem.
- Qual ´e a unidade de freq¨uˆencia angular?
- A dinˆamica do MHS est´a ligada ao conceito de freq¨uˆencia ou ao de fase? Por quˆe?
- Sabendo calcular o momento de in´ercia de um pˆendulo de tor¸c˜ao e medindo seu per´ıodo de oscila¸c˜ao, vocˆe saberia determinar a constante de tor¸c˜ao? Explique!
- Supondo que a incerteza associada ao momento de in´ercia calculado seja nula, mostre que a incerteza σκ associada `a constante de tor¸c˜ao κ escreve-se:
σκ = 8π^2 I (^) T^1 3 σT
onde σT ´e a incerteza experimental sobre o per´ıodo T.
