Baixe Apostila sobre Quantidade de Movimento, Torque e Momento Angular e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity!
Essa apostila intitulada “QUANTIDADE DE MOVIMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR” foi montada considerando, principalmente, as informações
contidas nos livros: [1] Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A, 8ª edição, 20 09 , [2] Halliday,
Resnick e Krane., Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A., 5ª edição, 20 10 e [3] Gaspar, A., Compreendendo a Física, Volume 1 , Editora Ática,
2ª edição, São Paulo, 2013. A motivação para produzir a montagem do próprio texto, ocorre devido ao benefício da flexibilização encontrada para modificar,
acrescentar ou retirar informações e, portanto, tornar o texto melhor adaptado para o desenvolvimento da didática aplicada em aulas sobre esse assunto. Esse
Universidade Federal de Rondonópolis (UFR)
Reinaldo Takara Zoppei
QUANTIDADE DE MOVIMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR
SUMÁRIO
QUANTIDADE DE MOVIMENTO ............................................................................................................................................................. 1
- Introdução......................................................................................................................................................................................... 1
- Impulso e Variação do Momento Linear ............................................................................................................................................ 2
- Conservação do Momento Linear ..................................................................................................................................................... 3
TORQUE.................................................................................................................................................................................................. 4
- Introdução......................................................................................................................................................................................... 4
- A Maçaneta de Uma Porta ................................................................................................................................................................ 5
- A Definição de Torque ...................................................................................................................................................................... 5
MOMENTO ANGULAR ............................................................................................................................................................................ 6
- Introdução......................................................................................................................................................................................... 6
- Momento Angular de Uma Partícula ................................................................................................................................................. 7
- Momento Angular de Uma Partícula em Movimento Circular ............................................................................................................ 8
- Momento Angular de Um Sistema de Partículas ............................................................................................................................... 8
PROBLEMAS PROPOSTOS.................................................................................................................................................................... 9
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ............................................................................................................................................................. 10
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
1. Introdução
Em testes de impacto é verificada a importância do air bag na redução dos danos que uma colisão
pode causar no corpo de uma pessoa, sobretudo no rosto e na cabeça. Essa redução se deve principalmente
ao intervalo de tempo em que ocorre a deformação sofrida pelo air bag no momento da colisão [1].
Segundo a Física, a redução dos danos que uma colisão pode causar está intimamente relacionada
com a compreensão de dois pares de grandezas. O primeiro é o par força-tempo e o segundo é o par massa-
velocidade , ambos constituem os núcleos das definições das grandezas impulso e quantidade de
movimento (a “quantidade de movimento” também pode ser denominada como momento linear ) ,
respectivamente. Essas grandezas guardam entre si uma relação simples, mas de implicações extraordinárias
para a compreensão da natureza [1, 3].
Essa apostila intitulada “QUANTIDADE DE MOVIMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR” foi montada considerando, principalmente, as informações
contidas nos livros: [1] Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A, 8ª edição, 20 09 , [2] Halliday,
Resnick e Krane., Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A., 5ª edição, 20 10 e [3] Gaspar, A., Compreendendo a Física, Volume 1 , Editora Ática,
2ª edição, São Paulo, 2013. A motivação para produzir a montagem do próprio texto, ocorre devido ao benefício da flexibilização encontrada para modificar,
acrescentar ou retirar informações e, portanto, tornar o texto melhor adaptado para o desenvolvimento da didática aplicada em aulas sobre esse assunto. Esse
Universidade Federal de Rondonópolis (UFR)
Reinaldo Takara Zoppei
Em uma colisão, para a mesma variação de velocidade, quanto maior o tempo de interação, menor a
força média exercida entre os corpos que colidem; assim, a deformação do air bag , por resultar no aumento
do tempo de interação da colisão, reduz drasticamente a força média exercida pelo painel do carro no rosto
do motorista e os danos provocados sobre ele [1]. O estudo dessas novas grandezas — impulso e momento
linear (ou quantidade de movimento) — é o assunto que será discutido a seguir.
2. Impulso e Variação do Momento Linear
Com base na nossa experiência diária, sabemos que empurrar um corpo não é apenas exercer força
sobre ele, mas exercer força durante um determinado intervalo de tempo. Quanto maior o intervalo de tempo
em que determinada força é exercida sobre um corpo, maior será o efeito que ela produzirá em relação à
velocidade desse corpo [3].
Para entender o significado físico das
relações entre força, intervalo de tempo e o
efeito por elas produzido num corpo de
determinada massa e velocidade considere a
figura ao lado. Essa figura esquematiza um blo-
co de massa 𝑚 sofrendo a ação de uma resultante de forças 𝐹
𝑅
, constante, atuando durante um certo intervalo
de tempo 𝛥𝑡. A força resultante 𝐹
𝑅
nesse intervalo de tempo 𝛥𝑡 faz a velocidade do bloco variar de 𝑣⃗
0
a 𝑣⃗ ou
seja, o bloco adquire uma aceleração 𝑎⃗. Para essa situação podemos utilizar a segunda lei de Newton que é
dada pela equação [3]:
𝑅
utilizando a definição de aceleração 𝑎⃗ = 𝛥𝑣⃗ /𝛥𝑡, com 𝛥𝑣⃗ = 𝑣⃗ − 𝑣⃗ 0
, obtemos:
𝑅
𝑣
⃗⃗ −𝑣
⃗⃗
0
𝛥𝑡
reorganizando:
𝑅
0
do ponto de vista da Física, podemos concluir dessa expressão que a força resultante multiplicada pelo
intervalo de tempo (𝐹
𝑅
∙ 𝛥𝑡) representa uma grandeza capaz de variar outro tipo de grandeza: o produto 𝑚 ∙ 𝑣⃗.
Em outras palavras, essa expressão nos permite definir duas novas grandezas físicas:
∙ 𝛥𝑡 é, por definição, o impulso de uma força 𝐹
sobre o corpo, que
denominamos 𝐼
𝐹
, então [3]:
𝐹
A unidade de impulso é o produto da unidade de força pela unidade de tempo,
portanto, no SI é o 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛
, ou simplesmente 𝑁 ∙ 𝑠.
- O produto 𝑚 ∙ 𝑣⃗ é, por definição, o momento linear ou quantidade de movimento do
corpo, que denominamos 𝑝⃗ , então [3]:
Essa apostila intitulada “QUANTIDADE DE MOVIMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR” foi montada considerando, principalmente, as informações
contidas nos livros: [1] Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A, 8ª edição, 20 09 , [2] Halliday,
Resnick e Krane., Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A., 5ª edição, 20 10 e [3] Gaspar, A., Compreendendo a Física, Volume 1 , Editora Ática,
2ª edição, São Paulo, 2013. A motivação para produzir a montagem do próprio texto, ocorre devido ao benefício da flexibilização encontrada para modificar,
acrescentar ou retirar informações e, portanto, tornar o texto melhor adaptado para o desenvolvimento da didática aplicada em aulas sobre esse assunto. Esse
Universidade Federal de Rondonópolis (UFR)
Reinaldo Takara Zoppei
Depois da colisão, os blocos possuem uma quantidade de momento linear dada por [3]:
𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠
𝐴
𝐴
′
𝐵
𝐵
′
Durante a colisão, nos casos em que a resultante das forças externas exercidas no sistema formado
pelos blocos A e B for nula (𝐹
𝑅
= 0 ), dizemos que o sistema de corpos é isolado. Assim, através do teorema
do impulso podemos escrever [3]:
𝐹𝑅
ou
𝑅
𝑧𝑒𝑟𝑜
𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
logo
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠
Ou seja, num sistema isolado a quantidade de momen-
to linear total desse sistema permanece constante.
OBSERVAÇÃO [3]: A rigor não existem sistemas isolados , mesmo nas regiões mais remotas do espaço.
Todo corpo ou sistema de corpos, por exemplo, na superfície da Terra, está sujeito, no mínimo, à ação
gravitacional terrestre e, portanto, às forças externas. No entanto, muitas vezes as forças externas se
equilibram ou têm efeitos desprezíveis, por isso a existência de sistemas isolados, na prática, é bastante
frequente.
TAREFA: Resolver os PROBLEMAS PROPOSTOS 3 e 4 que se encontram no final dessa apostila. Juntá-los
com os demais Problemas Propostos e entregá-los (via e-mail) ao professor até o dia 05/02/2 1.
TORQUE
1. Introdução
Na “dinâmica rotacional”, a grandeza
que leva em consideração tanto a
intensidade, a direção e o sentido da força
quanto a localização do ponto na qual ela é
aplicada é chamada TORQUE [1]. A palavra
torque vem de uma raiz latina que significa
“ torcer ”. Então, pode-se pensar em um
torque como o ato de torcer, da mesma
maneira que se pensa em uma força como o
ato de empurrar ou puxar [1]. Assim como a
força, o torque é uma grandeza vetorial.
Essa apostila intitulada “QUANTIDADE DE MOVIMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR” foi montada considerando, principalmente, as informações
contidas nos livros: [1] Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A, 8ª edição, 20 09 , [2] Halliday,
Resnick e Krane., Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A., 5ª edição, 20 10 e [3] Gaspar, A., Compreendendo a Física, Volume 1 , Editora Ática,
2ª edição, São Paulo, 2013. A motivação para produzir a montagem do próprio texto, ocorre devido ao benefício da flexibilização encontrada para modificar,
acrescentar ou retirar informações e, portanto, tornar o texto melhor adaptado para o desenvolvimento da didática aplicada em aulas sobre esse assunto. Esse
Universidade Federal de Rondonópolis (UFR)
Reinaldo Takara Zoppei
2. A Maçaneta de Uma Porta
Uma das experiências mais comuns com movimento de rotação é a abertura de uma porta com
dobradiças ( hinges = dobradiças ).
A maioria das pessoas experimentou acidentalmente ou propositadamente a abertura de uma porta,
aplicando uma força perto das dobradiças como a força 𝐹
2
na figura e descobriu que ela era um procedimento
ineficiente. Obter a rotação é muito mais fácil quando a força é aplicada longe das dobradiças como a força
3
na figura ( counter clockwise rotation = rotação em sentido anti-horário ), daí a colocação de maçanetas
opostas às dobradiças [1].
No entanto, considere outro experimento. Suponha que você abra uma porta para que ela fique
entreaberta. Posicione-se na borda da porta oposta às dobradiças e empurre diretamente ao longo da porta
em direção às dobradiças com a força 𝐹
1
na figura. A porta não irá rotacionar, isso indica que a direção da
força também é importante para a rotação produzida [1].
Com esses experimentos em mente, reconhecemos que devemos definir uma nova grandeza física
que descreva a interação de uma força com a produção de rotação de um corpo em torno de um eixo
específico (em nossos exemplos, o eixo de rotação foi definido pela linha das dobradiças da porta). Essa
grandeza física deve considerar o ponto onde a força está sendo aplicada em relação ao eixo de rotação,
assim como a direção da força aplicada. Essa nova grandeza física é chamada de TORQUE e é um vetor
cuja direção está relacionada ao sentido de rotação [1]. O torque é definido na próxima seção.
3. A Definição de Torque
No item anterior vimos como a “direção” e o “ponto de aplicação”
de uma força são importantes para definir a nova grandeza física “torque”.
O torque é a grandeza física que descreve como uma força é capaz de
girar um corpo em torno de um eixo fixo, com todas as partículas desse
corpo sendo forçadas a se mover em trajetórias circulares com centro
nesse eixo.
Essa apostila intitulada “QUANTIDADE DE MOVIMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR” foi montada considerando, principalmente, as informações
contidas nos livros: [1] Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A, 8ª edição, 20 09 , [2] Halliday,
Resnick e Krane., Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A., 5ª edição, 20 10 e [3] Gaspar, A., Compreendendo a Física, Volume 1 , Editora Ática,
2ª edição, São Paulo, 2013. A motivação para produzir a montagem do próprio texto, ocorre devido ao benefício da flexibilização encontrada para modificar,
acrescentar ou retirar informações e, portanto, tornar o texto melhor adaptado para o desenvolvimento da didática aplicada em aulas sobre esse assunto. Esse
Universidade Federal de Rondonópolis (UFR)
Reinaldo Takara Zoppei
2. Momento Angular de Uma Partícula
A figura mostra uma partícula de massa 𝑚, se movimentando no plano 𝑥𝑦, com um momento linear
(= 𝑚𝑣⃗ ) [1]. A posição da partícula em relação à origem 𝑂 é dada pelo vetor posição 𝑟⃗. O momento angular
que age sobre a partícula em relação ao ponto fixo 𝑂 é uma grandeza vetorial definida pelo produto vetorial
entre os vetores 𝑟⃗ e 𝑃
, tal que [1]:
= 𝑟⃗ × 𝑃
ou ℓ
𝑟⃗ × 𝑣⃗
com: 𝑖⃗ × 𝑗⃗ = 𝑘
, 𝑗⃗ × 𝑘
× 𝑖⃗ = 𝑗⃗ e 𝑖⃗ × 𝑖⃗ = 𝑗⃗ × 𝑗⃗ =
× 𝑘
= 0. O vetor ℓ
também pode ser obtido
através do cálculo do determinante a seguir:
= 𝑟⃗ × 𝑃
𝑥
𝑦
𝑧
𝑥
𝑦
𝑧
As características (módulo, direção e sentido)
do vetor momento angular ℓ
podem ser melhor visualizadas quando é efetuada a superposição das origens
dos vetores 𝑟⃗ e 𝑃
sem mudar suas orientações, conforme mostra a figura a seguir [1].
é determinado através da equação:
ℓ = 𝑟 𝑃 𝑠𝑒𝑛𝜙 onde 𝜙 é o menor ângulo entre 𝑟⃗ e 𝑃
. A unidade
de momento angular no SI é o quilograma multiplicado pelo metro
ao quadrado por segundo (𝑘𝑔 · 𝑚
2
/𝑠), que equivale ao joule
multiplicado pelo segundo ( 𝐽 · 𝑠).
é perpendicular ao plano definido pelos vetores 𝑟⃗ e
é determinado usando a regra da mão direita para
produtos vetoriais. A aplicação da regra da mão direita consiste em: (a) Imagine uma reta perpendicular
ao plano definido pelos vetores 𝑟⃗ e 𝑃
, passando pela origem comum. (b) Envolva essa linha com a mão
direita de modo que seus dedos empurrem o vetor 𝑟⃗ em direção ao vetor 𝑃
ao longo do menor ângulo
entre eles. (c) O polegar estendido aponta no sentido de ℓ
. Neste caso, ℓ
aponta no sentido positivo do
eixo 𝑧, que corresponde a uma rotação do vetor 𝑟⃗ no sentido anti-horário em torno do eixo 𝑧.
Importante [1]: O momento angular sempre é calculado em relação a um ponto (no presente caso, o ponto
𝑂). A mudança do ponto pode mudar tanto o módulo quanto a orientação do momento angular ℓ
. Observe que
a partícula não precisa estar girando em torno do ponto. Além disso, se a partícula não estivesse se
movimentando no plano 𝑥𝑦, ou seja, se o momento linear 𝑃
na partícula não estivesse no plano 𝑥𝑦, o momento
𝑚
𝑂
𝜙
𝑟⃗
𝑦
𝑥
𝑧
𝑃
⃗⃗
𝑂
𝑟⃗
𝑦
𝑥
𝑧
ℓ
⃗
= 𝑟⃗ × 𝑃
⃗⃗
𝑃
⃗⃗
𝜙
Essa apostila intitulada “QUANTIDADE DE MOVIMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR” foi montada considerando, principalmente, as informações
contidas nos livros: [1] Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A, 8ª edição, 20 09 , [2] Halliday,
Resnick e Krane., Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A., 5ª edição, 20 10 e [3] Gaspar, A., Compreendendo a Física, Volume 1 , Editora Ática,
2ª edição, São Paulo, 2013. A motivação para produzir a montagem do próprio texto, ocorre devido ao benefício da flexibilização encontrada para modificar,
acrescentar ou retirar informações e, portanto, tornar o texto melhor adaptado para o desenvolvimento da didática aplicada em aulas sobre esse assunto. Esse
Universidade Federal de Rondonópolis (UFR)
Reinaldo Takara Zoppei
angular ℓ
não seria paralelo ao eixo 𝑧. O vetor momento angular ℓ
sempre é perpendicular ao plano formado
pelos vetores 𝑟⃗ e 𝑃
3. Momento Angular de Uma Partícula em Movimento Circular
Definindo a origem do referencial como o centro da circunferência para o caso do movimento circular
de uma partícula, os vetores 𝑟⃗ e 𝑝⃗ são perpendiculares, então, o módulo do vetor momento angular ℓ
(= 𝑟⃗ × 𝑃
é [1]:
𝑜
como 𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑟, onde 𝜔 é a velocidade angular da partícula em movimento circular, então:
2
como o termo 𝑚 ∙ 𝑟
2
é constante, então, quanto maior a velocidade angular 𝜔 da partícula maior será o seu
momento angular ℓ. Como os vetores ℓ
e 𝜔⃗⃗⃗ têm a mesma direção e o mesmo sentido, então, a equação
anterior pode ser escrita na forma vetorial [1]:
2
4. Momento Angular de Um Sistema de Partículas
Para um sistema de partículas, definimos o momento angular total 𝐿
como a soma dos momentos
angulares ℓ
de cada uma das partículas. Para um sistema de 𝑛 partículas, temos [1]:
1
2
𝑛
TAREFA: Resolver os PROBLEMAS PROPOSTOS 7, 8 e 9 que se encontram no final dessa apostila. Juntá-
los com os demais Problemas Propostos e entregá-los (via e-mail) ao professor até o dia 05/02/2 1.
Essa apostila intitulada “QUANTIDADE DE MOVIMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR” foi montada considerando, principalmente, as informações
contidas nos livros: [1] Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A, 8ª edição, 20 09 , [2] Halliday,
Resnick e Krane., Física, volume 1, SP, Livros Técnicos e Científicos S.A., 5ª edição, 20 10 e [3] Gaspar, A., Compreendendo a Física, Volume 1 , Editora Ática,
2ª edição, São Paulo, 2013. A motivação para produzir a montagem do próprio texto, ocorre devido ao benefício da flexibilização encontrada para modificar,
acrescentar ou retirar informações e, portanto, tornar o texto melhor adaptado para o desenvolvimento da didática aplicada em aulas sobre esse assunto. Esse
Universidade Federal de Rondonópolis (UFR)
Reinaldo Takara Zoppei
- (Halliday et al., 2009 ) Uma partícula está localizada nas coordenadas ( 0 , 0 𝑚; 0 , 0 𝑚; 5 , 0 𝑚). Em termos de
vetores unitários, qual é o torque 𝒯
em relação à origem sobre a partícula quando submetida
separadamente a cada uma das três forças citadas a seguir: (a) 𝐹
𝑖⃗ , (b) 𝐹
𝑗⃗ e, (c)
. Respostas: (a) 𝒯
⃗⃗ = +( 15 , 0 𝑁𝑚)𝑗⃗; (b) 𝒯
⃗⃗ = −( 10 , 0 𝑁𝑚)𝑖⃗; (c) 𝒯
⃗⃗ = 𝑧𝑒𝑟𝑜.
- (Halliday et al., 2009 ) Uma partícula está localizada nas coordenadas ( 0 , 0 𝑚; 0 , 0 𝑚; 5 , 0 𝑚) e submetida à
força 𝐹
= −( 3 , 0 𝑁)𝑖⃗. Em termos de vetores unitários, qual é o torque 𝒯
em relação ao ponto
( 0 , 0 𝑚; 0 , 0 𝑚; 1 , 0 𝑚) sobre a partícula. Resposta: 𝒯
⃗⃗
= −( 12 , 0 𝑁𝑚)𝑗⃗.
- (Halliday et al., 2009 ) Um objeto de 2 , 0 𝑘𝑔, que se comporta como uma partícula, se move em um plano
com componentes de velocidade 𝑣
𝑥
= 30 𝑚/𝑠 e 𝑣
𝑦
= 60 𝑚/𝑠 ao passar por um ponto de coordenadas
( 3 , 0 ; − 4 , 0 ) 𝑚. Nesse instante, em termos dos vetores unitários, qual é o momento angular do objeto
em relação (a) à origem e (b) ao ponto (− 2 , 0 ; − 2 , 0 ) 𝑚? Respostas: (a) ( 600 𝑘𝑔 ∙ 𝑚
2
/𝑠) 𝑘
⃗⃗ ; (b) ( 720 𝑘𝑔 ∙ 𝑚
2
/𝑠) 𝑘
⃗⃗ .
- (Halliday et al., 2009 ) A figura mostra uma vista superior de duas partículas que se movem com velocidade
constante ao longo de trajetórias horizontais. A partícula 1, com um momento de módulo 𝑝
1
𝑚/𝑠, tem um vetor posição 𝑟⃗
1
e passará a 2 , 0 𝑚 do ponto 𝑂. A partícula 2, com um momento e módulo
2
= 2 , 0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠, tem um vetor posição 𝑟⃗
2
e passará a 4 , 0 𝑚 do ponto 𝑂. Determine em relação ao pon-
to 𝑂: (a) o módulo e a orientação do momento angular ℓ
1
da partícula 1? (b) o módulo e a orientação do momento
angular ℓ
2
da partícula 2? (c) o módulo e a orientação do
momento angular total 𝐿
do sistema formado pelas duas
partículas? Respostas: (a) 10 , 0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚
2
/𝑠, para fora do papel; (b)
8 , 0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚
2
/𝑠, para dentro do papel; (c) 2 , 0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚
2
/𝑠, para fora do papel.
- (Halliday et al., 2009 ) No instante mostrado na figura ao lado, duas partículas se movem em um plano 𝑥𝑦.
A partícula 𝑃
1
possui uma massa de 6 , 5 𝑘𝑔 e uma velocidade
1
= 2 , 2 𝑚/𝑠 e está a uma distância 𝑑
1
= 1 , 5 𝑚 do ponto 𝑂. A
partícula 𝑃
2
possui uma massa de 3 , 1 𝑘𝑔 e uma velocidade
2
= 3 , 6 𝑚/𝑠 e está a uma distância 𝑑
2
= 2 , 8 𝑚 do ponto 𝑂.
Quais são (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular
resultante das duas partículas em relação ao ponto 𝑂?
Respostas: (a) 9 , 8 𝑘𝑔 ∙ 𝑚
2
/𝑠; (b) +𝑧.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
[1] Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos da Física , volume 1 , Livros Técnicos e Científicos, 7ª ed, 200 9.
[2] Halliday, Resnick e Krane, Física , volume 1 , Livros Técnicos e Científicos S.A, 5ª edição, 2010.
[3] Gaspar, A., Compreendendo a Física , Volume 1 , Editora Ática, 2ª edição, São Paulo, 2013.
