fisica experimental, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

FÍSICA EXPERIMENTAL I

LABORATÓRIO DE FÍSICA I

Mario Takeya

José A. M. Moreira

2007_

INTRODUÇÃO

1. Objetivos do Laboratório de Física Básica I

O Laboratório de Física Básica I tem como objetivos específicos ensinar procedimentos e técnicas experimentais de medidas e de análise de dados assim como, desenvolver a capacidade do aluno em analisar criticamente um experimento avaliando a qualidade e a confiabilidade dos dados. Assim, mais do que uma ajuda visual para a compreensão das leis da Física, o Laboratório se constitui uma fonte de conhecimentos com seus objetivos específicos que não são encontrados nas aulas de teoria. O objetivo mais geral do laboratório é contribuir para melhor entender as leis da Física.

2. Organização do Laboratório

As atividades experimentais dar-se-ão numa única sala denominada Laboratório de Física Experimental I. A primeira aula será sempre de Introdução seguida de sete ou oito experiências dependendo do semestre. As turmas serão distribuídas de forma a não ultrapassar vinte alunos. Cada turma ocupará uma das bancadas e pode ter no máximo quatro alunos. A presença do aluno é importante numa atividade experimental e os alunos não devem chegar atrasados, havendo uma tolerância de no máximo 15 minutos. Devido às limitações físicas, não haverá aulas durante a semana em que houver um feriado a fim de evitar defasagem entre as turmas. Entretanto, durante tais períodos, a critério do professor, fica a possibilidade de aulas complementares ou reposições para as turmas não afetadas pelo feriado.

3. Caderno de Laboratório.

O Caderno de Laboratório será utilizado pelo aluno para fazer anotações de medidas, possíveis deduções, esboço de gráficos, resultado de cálculos, análises de resultados, responder às perguntas da apostila, síntese da experiência, conclusões, etc. Não se trata de um caderno de relatórios e sim um caderno para anotar os detalhes de um trabalho em andamento. Um aspecto que distingue bem um do outro é que o caderno de anotações usualmente contém inúmeras rasuras pois nenhuma anotação feita deve ser apagada pois as rasuras podem ser úteis posteriormente. Devido à sua importância, será exigido que cada aluno tenha um Caderno de Laboratório exclusivo para o Laboratório de Física 1 com o nome do aluno escrito na capa. Eventualmente, o professor poderá solicitar ao aluno o Caderno para efeito de avaliação bem como permitir a sua consulta durante as provas. Recomendamos como Caderno de Laboratório um caderno simples de 50 folhas, grampeado, no tamanho A4. No mínimo, para cada experimento o Caderno de Laboratório deve sempre conter:

1. Título do experimento, data de realização e colaboradores;
2. Objetivos do experimento;
3. Roteiro dos procedimentos experimentais;
4. Esquema do aparato utilizado;
5. Descrição dos principais instrumentos;
6. Dados;
7. Cálculos;
8. Gráficos;
9. Resultados e conclusões. 4. Organização e Análise dos dados. O computador

Procuramos atualizar as atividades do Laboratório de Física Básica I no sentido de, sempre que possível, acompanhar as tendências que surgem num laboratório de pesquisa. Assim, em várias atividades, os dados são coletados através do uso de interfaces digitais. Se por um lado tal procedimento torna a aquisição de dados bem mais rápida, por outro torna o procedimento mais obscuro, uma “caixa preta”, já que o processamento digital envolve o uso de circuitos eletrônicos.

Dentro deste espírito de atualização, sempre que possível, utilizaremos programas de computadores para organizar, calcular ou analisar os dados. Entendemos que hoje um bom profissional não pode prescindir desta ferramenta. Assim os alunos são convidados a terem à mão um disquete para nele copiarem as informações relevantes de uma atividade. No Laboratório de Física Básica a ferramenta computacional mais conveniente para a organização e análise de dados é a chamada planilha eletrônica.

Os dados obtidos devem ser preferencialmente organizados em forma de tabelas e visualizados em forma de gráficos. Tanto um como outro serão feitos na planilha eletrônica e elas devem conter todas as informações necessárias tais como título ou legenda, nome e símbolo das grandezas, unidades, parâmetros mantidos constantes, etc. Atualmente, é possível construir ràpidamente gráficos utilizando os utilitários da planilha. Entretanto, a

Utilizando-se o mesmo critério, pode-se expressar o comprimento da barra como L=14,38cm. Nesta medida, todos os algarismos são significativos; o algarismo 8 foi avaliado, porém sendo ele o primeiro algarismo duvidoso, ele também é significativo. Portanto, nesta leitura o número de A.S. é de 4 e pode-se notar que em relação à medida anterior, ganhou-se um algarismo.

Damos a seguir algumas regras práticas envolvendo a manipulação de medidas.

a) Zeros à esquerda do número, isto é, zeros que posicionam a vírgula, não são significativos. Elas servem para indicar uma mudança de unidades. O comprimento L=14,38cm pode ser escrito: L=0,1438m ou L=0,0001438km Todas as leituras anteriores possuem o mesmo número de A.S b) Notação científica. Como foi visto no item anterior, uma mudança de unidade na medida não deve alterar o número de A.S. Para seguir esta norma é muitas vezes conveniente empregarmos a notação científica, a qual consiste em utilizar preferencialmente um ou dois algarismo significativo antes da vírgula e uma potência de dez condizente, seguida pela unidade. Assim, para expressarmos em notação científica a medida dado no exemplo acima, escreveríamos: L=14,38cm = 1,438x10 -1^ m = 1,438x10 -4^ km=1,438x10 2 mm Uma das vantagens da notação científica é que ela nos permite identificar rapidamente o número de A.S.

5.3. Erros

Qualquer medida instrumental possui um erro. No laboratório temos que conviver com erros nas medidas. Quando obtemos o resultado de uma medida, é necessário saber com que confiança o número obtido representa uma determinada grandeza física. Portanto, neste ambiente, uma das primeiras atitudes deve ser uma análise da precisão das medidas. As palavras erro, incerteza e desvio serão tomadas como sinônimos. Não se pretende adotar neste curso o cálculo rigoroso dos erros conforme os manuais da Estatística, mas apenas uma versão simplificada da mesma. Tal procedimento se justifica pelo fato de que até agora não existem recomendações que sejam universalmente aceitas com respeito à maneira de apresentar os resultados das investigações experimentais.

Num processo de medição, inúmeros fatores contribuem para o erro (∆m) na medida (m) sendo impossível analisar ou indicar todas as fontes de erro que atuam sobre o mesmo. As fontes de erro fazem com que toda medida realizada, por mais cuidadosa que seja, esteja afetada por um erro experimental. Assim, o erro ou desvio na medida é a soma de todos os erros, ou seja:

∆m = Erro sistemático+Erro estatístico + Erro de escala + Erro grosseiro + ..etc..

Em geral um dos tipos de erro predomina sobre os demais e nestes casos é usual assumir como erro (∆m) na medida o erro predominante.

Os erros experimentais podem ser classificados em dois grandes grupos: erros sistemáticos e erros aleatórios. Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, podem ser eliminados ou compensados. Erros sistemáticos fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão. Um exemplo pode ser uma balança, dessas de farmácia, mal calibrada e marcando sempre 0,5 kg a mais, mesmo sem nenhuma carga. Neste caso, dizemos que os números fornecidos por ela estarão sistemàticamente indicando 0,5 kg a mais do que o valor verdadeiro. Em geral identificar as fontes de erros sistemáticos não é tão óbvia como no exemplo acima e uma das principais tarefas do autor das medidas é identificar e eliminar o maior número possível de fontes de erro sistemático.

Os erros aleatórios ou estatísticos são flutuações, para cima ou para baixo, que decorrem de perturbações estatísticas imprevisíveis, e que fazem com que aproximadamente a metade das medidas realizadas de uma mesma grandeza esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para menos. Os erros aleatórios não seguem

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 2

=

n

i

xi

n

x

1

2 1

−

n

x i

σ n

qualquer regra definida e assim, diferentemente dos erros sistemáticos, não se pode evitá-los embora se possa avaliá-los e mesmo minimizá-los através de um tratamento estatístico desenvolvido a partir dos trabalhos de Gauss.

a) O valor mais provável de uma grandeza é a média aritmética das várias medidas de uma grandeza (xi).

Representando a média por x , tem-se:

b) Ao se realizar várias medições da mesma grandeza nas mesmas condições, a incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam distribuídos em torno da média. Quando eles se afastam muito da média, a medida é pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão. Quando o conjunto de medidas feitas está mais concentrado em torno da média diz-se que a precisão da medida é alta, e os valores medidos têm uma distribuição de baixa dispersão. Quantitativamente a dispersão do conjunto de medidas realizadas pode ser

caracterizada pelo desvio padrão ( σ n-1 ) do conjunto de medidas, definido como:

c) Conjuntos de medidas com desvio padrão baixo são mais precisas do que quando o desvio padrão é alto. Adicionalmente, pode-se demonstrar que o desvio padrão caracteriza o intervalo dentro do qual há 68% de probabilidade de ocorrência de um valor medido. Dito de outra forma, isto significa que se for feito um conjunto

muito grande de medições, 68% delas estarão dentro do intervalo x+ σ n-1 e x- σ n-1 .

Além do desvio padrão , usualmente se define o desvio padrão da média ( σ n .). Entretanto neste curso não faremos

uso deste último conceito. A utilização dos conceitos de média e do desvio padrão, no sentido gaussiano, requer uma análise estatística cuidadosa das medidas. O número (n) de medidas necessárias para se obter valores confiáveis da média e desvio padrão da média depende da complexidade do experimento. Por exemplo, se o objetivo do experimento é simplesmente medir o comprimento (L) de uma barra metálica usando uma escala milimetrada, umas poucas medidas serão suficientes para tais estimativas. Entretanto, em experimentos complicados como uma pesquisa eleitoral para se medir a preferência por um determinado candidato são necessárias várias centenas ou mesmo milhares de dados. Portanto, o número de dados depende de cada experimento. Como neste curso o tempo para se realizar um experimento é bastante limitado, torna-se inviável fazer uma análise estatística mais rigorosa dos erros e o número de medições de cada grandeza será em torno de dez. Assim, no Laboratório de Física Básica usaremos a equação 1 não no sentido de média gaussiana, mas para indicar uma medida confiável e a equação 2 para estimarmos o erro naquela medida.

Avaliação do erro quando a medida foi feita apenas uma vez. Muitas vezes nos deparamos com o problema de avaliarmos o erro (∆m) em uma grandeza que foi medida apenas uma vez. É evidente que com apenas uma única medida não é possível calcularmos nem a média nem o erro estatístico (desvio padrão) embora saibamos que ela existe. Nestes casos o nosso procedimento será o de exagerarmos no erro de escala do instrumento utilizado e dizer que o erro (∆m) é devido apenas ao erro de escala. Normalmente, o erro de escala de um instrumento analógico equivale a 0,1 ou 0,2 da menor divisão do mesmo, mas no caso da medição única consideraremos esse erro para mais e igual à metade da menor divisão de escala do instrumento. Por exemplo, ao medirmos um comprimento L com uma régua milimetrada avaliamos o erro como sendo igual a ± 0,5 mm o qual corresponde à metade da menor divisão da referida régua, que no caso é o milímetro. Assim no caso de uma única medição avaliamos o erro na medida através do erro de escala (∆m) e escrevemos o resultado da maneira usual: M=m±∆m

Observação: É importante observar que tanto o erro de escala como o desvio padrão devem ser fornecidos com apenas um A.S.

5.4. Desvio relativo percentual.

Sabemos que as relações entre grandezas de mesma espécie podem ser representadas em termos relativos ou percentuais. Assim dadas as grandezas A e B podemos escrever em termos percentuais várias relações entre elas

Equação 1

Equação 2

A variação de y, em função de cada uma das variações infinitesimais de cada um dos xi, é dada pela diferencial exata de y:

n n

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dy ⎟⎟

2

1 1 Onde os termos entre parêntesis representam as derivadas parciais de f em relação a cada uma das varáveis xi de que depende. É possível fazer uma analogia entre as variações infinitesimais ( dx ) e os desvios ( Δx ) das variáveis, uma vez que ambos representam variações. Assim, podemos escrever:

n n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

y ⎟⎟Δ

2

1 1 Como se pretende determinar o máximo erro na medida, deve-se considerar a situação na qual os erros, atuando no mesmo sentido, somam-se. Isto só é possível tomando-se o módulo das derivadas parciais na equação anterior. Assim:

n n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

y Δ

2

1 1 A formulação acima foi baseada em João J. Piacentini e outros, outras formulações podem ser obtidas em Brito Cruz (ver bibliografia).

6. Operações com algarismos significativos (A.S.)

A necessidade de se fazer operações com A.S. decorre do fato de que é necessário medir várias grandezas físicas iguais ou diferentes, com aparelhos de classes de precisão diferentes, e reuni-las de forma a obter o valor da grandeza procurada. Ao efetuarmos cálculos e apresentar os resultados de medições, é importante dar atenção aos A.S., porque tanto é errado incluir demasiados algarismos como excessivamente poucos. Um exemplo típico vem do uso que fazemos das calculadoras de bolso. Suponha que queiramos dividir por 3 o comprimento L=2,0 cm medida com uma régua milimetrada. Colocados numa calculadora ela nos fornecerá algo como 0,6666666666. Obviamente, escrever este número com dez A.S. como sendo o resultado da divisão está incorreto, pois ela não reflete a precisão da medida original. As calculadoras não sabem o que são A.S., cabendo ao aluno interpretar e escrever o resultado corretamente em termos de A.S. No caso do exemplo, o resultado deve ser expresso como L=0,67. Como regra geral podemos dizer que o resultado de uma operação com A.S. é determinado pelas condições da pior das medidas. Damos a seguir algumas regras mais específicas, que são baseadas, num caso, no número de A.S. e, no outro, no desvio relativo.

a) Adição e subtração: Após efetuar a operação escreva arredondando o resultado de forma que o último A.S. ocupe a mesma casa decimal da parcela mais pobre em decimais (isto é, mais à esquerda possível) e despreze os algarismos à direita desta casa decimal. Exemplo:

b) Multiplicação e Divisão: O resultado deve possuir, em geral, o mesmo número de A.S. da medida mais pobre em significativos.

Às vezes, é necessário um pouco de bom senso na aplicação dessa regra, como no exemplo seguinte: 9,8 x 1,03 = 10, porque, embora 9,8 tenha só dois A.S., ele está bem próximo de ser um número de 3 A.S. e o produto deve ser escrito com 3 A.S.

Adição:

438,38??? 21,8???? 0,287?? 3, 463,6???

Subtração:

8, 6,72?? 1,52??

Multiplicação:

3,14159 x 1,32 = 4,

Divisão:

62,72 ÷ 23,1 = 2,

6.1. Critérios de Arredondamento O aluno deve ter notado que nos exemplos do item anterior os resultados foram arredondados no primeiro algarismo duvidoso Os critérios para isso são:

• Se o algarismo seguinte ao primeiro algarismo duvidoso for um número igual ou superior a 5, aumenta-se de uma unidade o primeiro algarismo duvidoso e desprezam-se os demais.
• Se o algarismo seguinte ao primeiro algarismo duvidoso for um número inferior a 5, o primeiro algarismo duvidoso não se altera e desprezam-se os demais.

cilíndricos de igual tamanho. Para verificar de quanto este tempo depende da quantidade de água verteu-se este líquido para (h) alturas diferentes em cada um dos recipientes.

5. ANÁLISE DOS RESULTADOS 5.1. Análise da Tabela. 5.1.1 Algarismos significativos Registraram-se na Tabela 1 os valores dos tempos necessários para esvaziar cada recipiente. Devido à dificuldade de se medir precisamente intervalos de tempo usando um relógio, há um número menor de algarismos significativos nas medidas de pequenos intervalos de tempos do que nas de longos intervalos de tempos. Responda:

a) O que são algarismos significativos? b) Examine os dados referentes ao diâmetro d. Quantos são os algarismos significativos de cada medida? c) Ainda com referencia ao diâmetro d, sugira o tipo de instrumento utilizado na medição (uma característica importante associada aos algarismos significativos é que elas nos permitem identificar o tipo de instrumento utilizado na medição). No caso do diâmetro d, qual a menor divisão da escala utilizada (metros, centímetros, milímetros, etc.)? d) Que tipo de instrumento foi utilizado na medição dos tempos de esvaziamento? (relógio de parede, relógio de pulso, cronômetro eletrônico com milésimos de segundo de precisão, etc.).

5.1.2 Erros Conforme afirmamos na Introdução, qualquer medida instrumental possui um erro. O uso de instrumentos de medida é um dos fatores que distingue as atividades das aulas teóricas das atividades experimentais. No laboratório temos que conviver com erros nas medidas. O procedimento que usaremos para avaliarmos de maneira mais precisa o erro ou desvio padrão numa medida x é repetirmos várias vezes a mesma medida e calcularmos o erro ou desvio padrão através da expressão dada no Apêndice. Muitas vezes apenas avaliaremos tal erro usando o bom senso.

É importante calcularmos ou pelo menos avaliarmos o erro de uma medida porque o número de algarismos significativos da medida é determinado pelo erro contido numa medida. Como exemplo, suponha que um aluno de alguma forma encontrou o seguinte resultado para a medida L=23,564829m e que o erro ou desvio padrão dessa medida seja de 0,03. Isto significa que o erro está na casa dos centésimos de metros (ou nos centímetros) e que a maneira como a grandeza L está expressa não está correta. No caso ela deve ser escrita como L=(23,56±0,03)m, portanto com 4 significativos. Esta é a maneira correta de se expressar qualquer medida, ou seja, a medida acompanhada do seu erro ou desvio padrão. Note que o último algarismo de 23,56 embora duvidoso é um algarismo significativo.

a) Erro estimado do instrumento de medida ou estimativa do desvio padrão de uma medida. Conforme foi dito acima, o procedimento para tal será repetirmos várias vezes a mesma medida e daí calcularmos o erro ou desvio padrão. No caso da Tabela 1, não há nenhum indício de que as medidas foram feitas várias vezes. Estamos supondo que as medidas foram feitas apenas uma única vez e assim não há como calcularmos o desvio padrão. Nestes casos, podemos inferir o erro na medida superestimando o erro de escala tomando-o como igual à metade da menor divisão do instrumento utilizado. Assim, no caso de uma medida realizada com uma escala milimetrada comum, o erro estimado será de ± 0,5mm. Isto é apenas uma estimativa com o erro avaliado para mais.

b) Para o caso da Tabela 1, qual é o erro estimado ou desvio padrão estimado nas leituras do diâmetros d? Qual a menor divisão do instrumento utilizado?

c) Erro relativo. Você deve notar que o erro referido no item anterior é um erro absoluto e é o mesmo para quaisquer medidas do diâmetro d. Portanto, ela não diz qual das medidas apresenta maior precisão relativa. Ela se refere apenas ao aparelho de medição e não ao objeto medido. Ao erro do aparelho em relação ao objeto medido denominamos erro relativo o qual pode ser expresso em porcentagem:

Valorda medida

Errodoinstrumento ε = ou^ % 100 Valordamedida

Errodoinstrumento ε =

Verifique que cada medida de diâmetro d tem um mesmo erro absoluto (dado pelo instrumento) mas um erro relativo diferente para cada medida (que depende do valor da medida).

d) Faça agora a análise dos dados da altura h na Tabela 1. Qual das alturas tem o maior erro relativo e qual a que tem o menor?

e) Examine as leituras de tempo da Tabela 1. Qual o erro estimado do instrumento utilizado? Qual a menor divisão do instrumento utilizado?

Obs.: Uma observação de caráter geral acerca de operações com algarismos significativos é a de que você não pode aumentar a precisão das grandezas resultantes através de operações matemáticas.

5.2. Gráficos Todos os dados necessários constam da Tabela 1; uma representação gráfica dos mesmos, possibilitar-nos-á inferir conclusões, e facilitará o estabelecimento de uma relação matemática entre estes dados. Os gráficos serão feitos no computador utilizando-se as ferramentas de uma planilha eletrônica.

5.2.1 Organizando os dados na sua planilha

a) Ligue o seu computador.

b) Vá ao menu Iniciar do Windows e abra a planilha:

Menu Iniciar → Programa → Excel

c) Copie e organize os dados da Tabela 1 de maneira conveniente. Há várias maneiras de organizar os dados, damos abaixo apenas uma sugestão:

ANÁLISE DE UMA EXPERIÊNCIA

h(cm)-----> 30,0 10,0 4,0 1, d(cm) ↓ t(s) 1,5 74,0 44,5 26,7 14, 2,0 41,2 23,7 15,0 7, 3,0 18,4 10,5 6,8 3, 5,0 6,8 3,9 2,2 1,

5.2.2 Gráfico do tempo (t) versus diâmetro (d). Faça inicialmente um gráfico representativo da variação do tempo em função do diâmetro do orifício, para a altura h=30 cm. É uma convenção marcar no eixo horizontal os valores da variável independente (neste caso o diâmetro d) e os da variável dependente (no caso, o tempo t) no eixo vertical. Dizemos simplesmente, t versus d.

a) Para construir o gráfico de interesse na sua planilha siga:

Inserir → Gráfico → Dispersão (escolha o 1º subtipo: apenas pontos)

→ Avançar

Neste ponto, deve surgir uma janela como a ilustrada na Figura 1. Continue a ação:

→ Seqüência (ou Série) →

→ Adicionar → :

Nome: escreva no espaço correspondente um nome para a série ou seqüência (por ex. h=30). Como você vai mais tarde sobrepor outras curvas neste mesmo gráfico, o nome vai servir para distinguir uma curva da outra.

Gráfico do tempo (t) versus diâmetro (d)

d(cm)

t (s)

h=

h=

h=

h=

Gráfico do tempo (t) versus diâmetro (d)

d(cm)

t (s)

h=

h=

h=

h=

Gráfico do tempo (t) versus diâmetro (d)

d(cm)

t (s)

h=

h=

h=

h=

b) Embora você possa usar as curvas da Figura 2 para interpolar entre suas medidas e, grosseiramente extrapolar além delas, você ainda não estabeleceu uma expressão algébrica para relacionar t e d. Seu gráfico mostra que t diminuiu rapidamente com d; tal fato sugere uma relação inversa entre t e d e nada mais. A curva pode ser pedaço de uma elipse, de uma parábola, de uma hipérbole, etc. Ou, tal

relação inversa pode ser do tipo 1/d, 1/ d ; 1/d 2 , 1/d 3 , etc. Descobrir qual das relações gera uma

relação linear é chamado de linearização que é essencialmente um processo de tentativas e cuja solução não é necessariamente única. A relação inversa procurada é aquela que se torna linear com t. O Excel pode nos ajudar a encontrar o expoente adequado. Para tanto, coloque a seta do seu mouse sobre uma das linhas de tendência e aperte duas vezes o botão esquerdo do mouse e siga:

Formatar linha de tendência → Opções → Exibir equação no gráfico

→ Exibir valor de R-quadrado no gráfico.

Repita o procedimento para todas as curvas.

c) No final do processo descrito acima você deve ter obtido quatro equações do tipo t = C 1 d^ α.

Entretanto, observando os números que aparecem nestas equações notamos que elas estão escritas com um número excessivo de algarismos e que nem todos são significativos. Os coeficientes óbitos na sua planilha são resultados de cálculos e o Excel apresenta os números sem considerar quais são os A.S. Por exemplo, o Excel fornece o valor de C1 (p/ h=30) com cinco significativos, o que está errado. Cabe a nós determinarmos com quantos algarismos devemos escrever os mesmos. Primeiro você deve perceber que o y da equação deve ser entendido como a variável tempo de esvaziamento (t). Em seguida você deve notar na Tabela 1 que nenhuma medida de tempo (t) tem mais do que três A. S.

Portanto é razoável supor que as constantes C 1 que aparecem em cada equação não podem ter mais do

que três A.S. Quanto ao expoente de x ela não deve ter mais do que dois significativos. Levando em conta estas considerações escreva na sua planilha na forma de tabela, próximo do gráfico, as referidas equações com os arredondamentos necessários.

Figura 2. Gráfico t versus d. As curvas sugerem uma relação inversa entre t e d , isto é, sugerem que t diminuiu com d mas não fornecem uma relação matemática entre elas.

h 30.0 10.0 4.0 1. α

d) Analisemos em especial o expoente α. Escreva, com apenas dois algarismos significativos, os

expoentes da equação t = C 1 d^ α, para cada curva da figura 2.

e) A esta altura é conveniente “salvar“ o seu trabalho feito na planilha. Para salvar os seus dados, escolha o diretório:

• C:\Turmas\
• Escolha o subdiretório correspondente a sua turma (por exemplo, 3M456).
• Dê um nome que traga alguma informação sobre o conteúdo do seu arquivo, por exemplo, Ativ2_g.

5.2.3 Linearização. Gráfico de t versus 1/d^2 e o conceito de reta média.

a) Acrescente em sua planilha uma coluna para os valores de 1/d^2. b) As Figuras 3a e 3b abaixo ilustram como o aluno pode obter rapidamente a coluna desejada na

sua planilha. Na célula A3 escreve-se a “formula” para 1/d^2 onde B3 é o endereço onde se localiza o diâmetro d=1,5. Escrito a fórmula, tecle Enter. Copie a formula para as demais células da coluna A.

c) Para construir o gráfico t versus 1/d^2 na sua planilha siga:

Inserir → Gráfico → Dispersão (escolha o 1º subtipo: apenas pontos)

→ Avançar

d) Complete o seu gráfico seguindo os procedimentos dados no parágrafo 4.2.2.para todas as alturas h e observando que a variável independente deve ser sempre a coluna 1/d^2. Ao acrescentar a linha de tendência, faça-a de acordo com o item abaixo.

e) Linha de tendência:

→ Adicionar linha de tendência → Linear → OK

f) Escreva o título do gráfico e os nomes das variáveis em cada um dos eixos. A figura 4 ilustra apenas o aspecto do gráfico para a altura h=30 cm.

g) Equação da reta. Uma vez adicionadas as linhas de tendência, você deve notar visualmente que as retas se aproximam bastante dos dados experimentais. A sua planilha possui uma ferramenta que lhe permite obter ràpidamente as equações das retas obtidas. Para tanto, coloque a seta do seu mouse sobre uma das linhas de tendência e aperte duas vezes o botão esquerdo do mouse e siga:

→ Formatar linha de tendência → Opções → Exibir equação no gráfico

→ Exibir valor de R-quadrado no gráfico.

h) Este procedimento deve resultar no aparecimento de uma equação. Arraste com o mouse a equação para próximo da reta que a gerou. A equação da reta, assim obtida, mostra a relação

A B

2 1/d 2 d(cm) ↓ 3 =1/(B3*B3) 1. 4 2. 5 3. 6 5. Figura 3a. Para inserir uma fórmula matemática numa célula é necessário teclar o sinal “=”.

A B

2 1/d 2 d(cm) ↓ 3 0.44 1. 4 0.25 2. 5 0.11 3. 6 0.04 5. Figura 3b. Note que o número de algarismos significativos é igual nas duas colunas.

Isto pode ser visto no item anterior 5.2.3, acerca da linearização, que serviu para nos mostrar que a sugestão dada anteriormente pelo programa Excel no item 5.2.2, acerca da melhor função que levariam a uma linearização é correta. Note em particular que a função potência sugerida no gráfico t versus d da Figura 2 é a mesma que aparece no gráfico de t versus 1/d2 da Figura 4. Isto significa que para efeitos “práticos”, mas não para efeito de conhecimento, o que foi feito no item 5.2.3 foi “desnecessário”. Portanto, uma vez compreendido este ponto, passaremos a determinar diretamente a função que melhor se ajusta aos dados experimentais simplesmente evocando o comando ”adicionar linha de tendência”, conforme foi feito no item 5.2.2. Observação: A “reta média” obtida pela adição da “linha de tendência” é uma idealização enquanto os pontos ou dados representam a realidade. Traçar a “reta média” entre os pontos significa inferir um modelo matemático que melhor se aproxima dos seus dados experimentais. Assim, não tem sentido unir os pontos experimentais através de várias retas, pois isto significaria não um modelo, mas vários modelos matemáticos.

5.2.4 O significado da “linha de tendência do Excel” e do coeficiente de correlação (R^2 )

Agora que você entendeu a idéia de linearização, fica a pergunta de como descobrir qual das várias relações matemáticas gera uma relação linear entre as grandezas envolvidas. Você deve ter notado que no item 5.2.2a) foi lhe sugerido “ Adicionar linha de tendência” do tipo “ Potência ”, isto é, você foi induzido, por razões didáticas, a escolher uma determinada família de funções em detrimento de outras. Em princípio, a razão para esta escolha está no valor de R^2 a qual pode ser definida como sendo uma medida do grau de ajuste (índice de correlação) entre a equação determinada pelo programa e os seus pontos experimentais. Quanto mais próximo R^2 estiver de 1, melhor o ajuste. Podem ocorrer casos em que duas ou mais funções apresentam valores de R^2 praticamente iguais. Nestes casos o aluno deve confrontar cada uma das funções obtidas com o fenômeno físico em questão e descartar aquelas que levam a possíveis incompatibilidades teóricas. Vamos dar um exemplo deste processo.

Gráfico de t versus 1/d

t = 164/d

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.00 0.20 0.40 0.

1/d

tempo (s)

h=

h=

h=

Figura 4. Gráfico de t versus 1/d^2. O resultado sugere fortemente que o tempo de esvaziamento é diretamente proporcional a 1/d 2. Neste exemplo é mostrado apenas o resultado para h= 30 cm. Complete o gráfico para todas as outras alturas.

a) Faça novamente um gráfico (tipo dispersão) do tempo versus diâmetro seguindo os passos do item 5.2.2. Para simplificarmos o procedimento coloque nele apenas os dados referentes à altura h=30 cm. Vamos chamá-lo de gráfico A.

b) Em seguida, em outra página de sua planilha, faça quatro cópias do gráfico A usando o método copiar – colar , colocando-as lado a lado. Chamemos as cópias de gráficos B, C, D e E

c) Vá ao gráfico A e acione com o mouse um dos pontos experimentais para inserir uma linha de tendência.

→ Adicionar linha de tendência → “Linear”

→ Opções → Exibir equação no gráfico →

→ Exibir valor de R-quadrado no gráfico.

d) Vá agora ao gráfico B e novamente acione com o mouse um dos pontos experimentais para inserir uma linha de tendência.

Adicionar linha de tendência → “Polinomial”

→ Opções → Exibir equação no gráfico →

→ Exibir valor de R-quadrado no gráfico.

e) Repita o procedimento acima para os gráficos C e D para os quais você deve inserir as linhas de tendência dos tipos “Logaritmo” e “Exponencial” respectivamente.

f) Ao final do processo, você vai comparar os valores de R2 para cada Tipo de função. O Tipo que melhor se ajusta aos nossos dados é aquele que apresentar o R2 mais próximo de 1. Qual foi o tipo de função que gerou R2 mais próximo de 1?

g) Que conclusões você tira dos procedimentos acima?

h) Vamos examinar agora o efeito de uma medida mal feita sobre R2. Para isto vá à Tabela 1 e altere o valor de t para a altura de 30,0cm e diâmetro de 3,0cm. Inicialmente altere o valor de 18,4s para 10,0s e verifique os efeitos no gráfico, na equação e no valor de R2. Em seguida, mude de 10,0s para 8,0s. Qual foi o efeito destas alterações no valor de R2?

i) Este exemplo mostra como a precisão dos dados pode mudar as características da função procurada. Retorne o seu dado original de tempo para 18,4.

Os exemplos acima ilustram o procedimento seguido para a escolha da função tipo “Potência” nesta Atividade. Entretanto, alertamos que, embora sendo um procedimento poderoso, a solução fornecida não é necessariamente única e às vezes é também necessário levar em conta certas considerações físicas não presentes nas medidas efetuadas.

Você ainda deve ter notado que não discutimos como são calculados os coeficientes das equações bem como não lhe foi mostrado como se calcula o coeficiente R2. Os alunos interessados em se aprofundar neste assunto devem consultar a bibliografia suplementar em particular o livro “Modelos de Regressão Linear” do professor Paulo Roberto Medeiros de Azevedo editado pela Editora da UFRN. Explicações sucintas podem ser obtidas em “Introdução ao Laboratório de Física, J. Piacentini e colaboradores, Ed. UFSC” ou então no Guia para Física Experimental na página da web:www.dfte.ufrn.br/fis315/

5.3. Análise da “constante” C 1 (h) e determinação da expressão geral.

5.3.1 Análise da “constante” C 1 (h).

a) Você deve ter notado que a “constante” C 1 muda conforme o valor da altura h e que esta mudança aparenta seguir algum padrão. Para deixarmos isto mais claro, copie os valores da constante C 1 para a Tabela 3 abaixo e em seguida copie a mesma tabela para a sua planilha.

h(cm)-----> 30,0 10,0 4,0 1, d(cm) ↓ t(s) 1, 2, 3, 5,

e) Voltando ao que foi afirmado na Introdução, estas generalizações devem explicar não só o que foi observado mas também para fazer previsões quanto ao que ainda não foi observado. Assim, se a expressão encontrada é realmente geral ela deve ainda prever situações não incluídas na Tabela 1. Faça algumas previsões do tempo de esvaziamento t para os pares de h e de d sugeridos na Tabela

h (em cm) d (em cm) t (em cm) 6,0 1, 50,0 6, 60,0 4, Tabela 5. Previsões (análise de tendência) para alguns valores de h e de d

f) A expressão obtida é válida para qualquer tamanho de lata? Para qualquer tipo de líquido? Afinal qual é a limitação da Função geral encontrada?

g) Em sua opinião, que grandezas físicas determinam o valor da constante C 2?

h) Antes de desligar o computador não se esqueça de salvar o seu trabalho.

Tabela 4. Valores do tempo de esvaziamento t calculados pela fórmula geral.

ATIVIDADE 02

1. TÍTULO: DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE LOCAL.

2. OBJETIVO: Determinar a aceleração gravitacional experimentalmente, calcular o desvio padrão de uma medida. 3. INTRODUÇÃO Para um bom desempenho nesta atividade, você deverá conhecer toda a fundamentação teórica sobre os fenômenos físicos que serão aqui estudados. Para isso, é essencial que sejam consultados no livro texto os capítulos sobre Cinemática da partícula. Você fará determinações da aceleração gravitacional, a partir da equação horária de um corpo em queda livre, aplicada a três alturas diferentes. Para cada altura serão realizadas 10 medidas e o melhor valor de g será considerado como sendo a média aritmética dessas 10 medidas. É usual exprimirmos a

média acompanhada de seu erro ou desvio padrão na forma g ± σ g onde g representa a média aritmética e σ g

representa o erro.

4. MATERIAL UTILIZADO (1) Régua; (2) Fios diversos; (3) Sensor Phywe (Basic Unit/Phywe—Cobra3); (4) Sensor de chegada da esfera (receptáculo); (5) Esfera de aço; (6) Liberador da esfera de aço; (7) Gatilho da queda livre; (8) Tripé e suporte; (9) Computador 5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Esta experiência é feita utilizando o aparato experimental da figura acima. Prenda a esfera metálica mantendo pressionado o gatilho da esfera (item (6) da figura acima) e, utilizando o suporte, ajuste a distância na qual você deseja medir o tempo de queda livre da esfera. Este tempo de queda será o registro de nossa experiência.

a) Para obter os dados do tempo de queda da esfera, você deve acionar o programa “measure” no diretório Phywe seguindo as instruções abaixo.

Menu Iniciar---ÆProgramas---ÆPhywe---ÆMeasure

b) Após invocar o programa Measure, você deverá ter na tela o seguinte menu:

c) Com o mouse acessar o menu:

File Æ New Measuring

(ou simplesmente acione a figura com o botao vermelho no menu conforme mostrado acima).