Física geral, Notas de estudo de Matemática

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 FÍSICA GERAL

UNIMES VIRTUAL

H236c HARDAGH, Cláudia Coelho Curso de Pedagogia: Comunicação, Educação e Tecnologias (por) Prof.ª Cláudia Coelho Hardagh. Semestre 1. Santos: UNIMES VIRTUAL. UNIMES. 2006. 130p.

1. Pedagogia 2. Tecnologias 3. Comunicação.

CDD 370

Universidade Metropolitana de Santos Campus II – UNIMES VIRTUAL Av. Conselheiro Nébias, 536 - Bairro Encruzilhada, Santos - São Paulo Tel: (13) 3228-3400 Fax: (13) 3228- www.unimesvirtual.com.br

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UNIMES – Universidade Metropolitana de Santos - Campus I e III Rua da Constituição, 374 e Rua Conselheiro Saraiva, 31 Bairro Vila Nova, Santos - São Paulo - Tel.: (13) 3226- E-mail: [email protected] Site: www.unimes.br

Prof.ª Renata Garcia de Siqueira Viegas da Cruz

Reitora da UNIMES

Prof. Rubens Flávio de Siqueira Viegas Júnior Pró-Reitor Administrativo

Prof.ª Rosinha Garcia de Siqueira Viegas Pró-Reitora Comunitária

Prof.ª Vera Aparecida Taboada de Carvalho Raphaelli Pró-Reitora Acadêmica

Prof.ª Carmem Lúcia Taboada de Carvalho Secretária Geral

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Aula Inaugural

Esta disciplina tem um papel importante, pois a Física é uma ciência irmã da Matemática ao utilizar os seus resultados. Estas duas ciências são tão próximas que um dos maiores físicos de todos os tempos, Isaac Newton, também é considerado um grande Matemático. Ele é o pai das leis da di- nâmica (leis de Newton) assim como do Cálculo Diferencial e Integral.

Com o passar do tempo estas duas ciências acabaram se afastando. Mas é interessante notar que alguns matemáticos ainda hoje fazem grandes desenvolvimentos na Física, assim como o contrário também ocorre.

Portanto, aqui você verá alguns exemplos que lhe permitirão dar exemplos concretos de aplicação da Matemática. Vale ressaltar que existem várias outras possíveis aplicações para a Matemática, como: na Biologia, na Eco- nomia, na Química etc.

O ensino de Física pode ser bastante árduo. Quando o professor começa a ensinar os princípios físicos que regem o nosso universo, depara-se com um monstro : a Matemática. Infelizmente, é assim que os alunos vêem a Matemática. A ciência que serve de linguagem para descrever os fe- nômenos da natureza é tida como assustadora e acaba se tornando um empecilho.

Nesta disciplina veremos muitas coisas relacionadas ao nosso cotidiano, como velocidade, energia, calor, luz, som e eletricidade.

Espero que este texto sirva de motivação para que você mostre aos seus alunos que a Matemática e a Física, em conjunto, podem trazer muitas respostas para as questões da química e do cotidiano.

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• Unidade I: Cinemática Índice
  • Aula: 01 - Movimento e Repouso
  • Aula: 02 - Velocidade e Aceleração Média
  • Aula: 03 - Equação do Movimento
  • Aula: 04 - Cálculo Diferencial
  • Aula: 05 - Conservação do Movimento
  • Resumo - Unidade I
• Unidade II: Dinâmica
  • Aula: 06 - Leis de Newton – Parte I
  • Aula: 07 - Leis de Newton – Parte II
  • Aula: 08 - Leis de Newton – Aplicação
  • Aula: 09 - A Força Peso
  • Aula: 10 - Forças Atuando Sobre um Corpo
  • Aula: 11 - Forças Sobre um Plano Inclinado
  • Resumo - Unidade II
• Unidade III: Energia e Gravitação
  • Aula: 12 - Geocentrismo e Heliocentrismo
  • Aula: 13 - Gravitação
  • Aula: 14 - Energia
  • Aula: 15 - Energia Cinética
  • Resumo - Unidade III
• Unidade IV: Termologia......................................................................................
  • Aula: 16 - Calor e sua Propagação
  • Aula: 17 - A Evaporação
  • Aula: 18 - Dilatação Térmica
  • Aula: 19 - Dilatação Volumétrica
  • Resumo - Unidade IV
• Unidade V: Ondas, Sons e Luz
  • Aula: 20 - Ondas.......................................................................................................
  • Aula: 21 - O Som
  • Aula: 22 - A Luz
  • Aula: 23 - As Cores
  • Resumo - Unidade V
• Unidade VI: Eletromagnetismo UNIMES VIRTUAL
  • Aula: 24 - Matéria e Carga Elétrica...........................................................................
  • Aula: 25 - Força Elétrica
  • Aula: 26 - Aparelhos Elétricos e Suas Características
  • Aula: 27 - Outras Características dos Aparelhos Elétricos........................................
  • Aula: 28 - Conta de Luz
  • Aula: 29 - Chuveiros e Outros Resistores
  • Aula: 30 - Produção de Energia Térmica...................................................................
  • Aula: 31 - Magnetismo
  • Aula: 32 - Eletro + Magnetismo
  • Resumo - Unidade VI

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Unidade I

Cinemática

Objetivos

Estudar os fundamentos da Mecânica, que são assunto da Cinemática. Estudare-

mos os movimentos sem nos preocuparmos com as forças. Trataremos da dif-

erença entre movimento e repouso. Veremos também como equacionar o movi-

mento.

Plano de Estudo

Esta unidade conta com as seguintes aulas:

Aula: 01 - Movimento e Repouso

Aula: 02 - Velocidade e Aceleração Média

Aula: 03 - Equação do Movimento

Aula: 0 - Cálculo Diferencial

Aula: 0 - Conservação do Movimento

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O movimento sempre depende de um referencial. O Zezinho, que ainda está esperando o ônibus, está em repouso em relação ao solo. Mas em relação ao sol? A Terra está em movimento, e, além da Terra, o sol também está em movimento. A nossa galáxia está em movimento. Portanto, não existe um referencial absoluto.

Vemos assim que o movimento sempre depende de um referencial. Da mesma forma, veremos que a velocidade também depende de um refe- rencial.

Vários pesquisadores, como o próprio Isaac Newton , fize- ram muitas deduções de Leis Físicas considerando a exis- tência de um espaço absoluto, ou seja, de um referencial absoluto. Entretanto, este ponto de vista acabou sendo abandonado, prin- cipalmente, com a evolução da Física e um conhecimento um pouco mais aprofundado do nosso Universo.

Unidades de medida

Quando estamos andando de carro, costumamos medir a velocidade em quilômetros por hora , mas quando vemos algum esporte (corrida de 100 m, natação, ...) muitas vezes é comum utilizarmos metros por segundo.

Em outros países, muitas vezes são utilizadas outras unidades de medida. Nos Estados Unidos, por exemplo, a distância costuma ser medida em mi- lhas, pés ou polegadas. Nós costumamos usar o metro como unidade de medida de distância. Além do metro, usamos as suas variantes que são: quilômetro (1000 m), centímetro (0,01 m) e milímetro (0,001 m).

Em Física é comum usarmos as unidades do Sistema Internacional (SI). Neste sistema a distância é medida em metros e o tempo em segundos. Ou seja, estamos em vantagem em relação aos norte-americanos, pois eles são obrigados a usar o nosso sistema de unidades.

Na próxima aula começaremos a estudar velocidade e ace- leração, mas vale a pena começar a fazer alguns comentá- rios desde já.

Tanto o conceito de velocidade quanto o de aceleração são muito conhe- cidos por todos nós. Quando andamos em algum veículo, ou mesmo a pé, costumamos medir a nossa velocidade. Estes conceitos são tão comuns a todos nós que é difícil determinar quando é que eles surgiram.

Entretanto, uma boa medição da velocidade e da aceleração são mais re- centes. Galileu Galilei (1564 – 1642) foi o primeiro a medir a aceleração

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de um corpo caindo. Mas já se sabia que a velocidade de um corpo caindo aumentava. Além disso, já se sabia tratar matematicamente os problemas que envolvessem velocidade e aceleração.

Questões

1) Um ônibus está andando a velocidade de 0 km/h. Seus passagei- ros estão:

Certamente em movimento. Certamente em repouso. Em repouso ou em movimento, dependendo do referencial. Nenhuma das anteriores.

2) Quando você escreve no caderno, a caneta que você usa está em repouso em relação:

Ao caderno. Ao chão. Ao seu corpo. À sua mão.

a) b) c) d)

a) b) c) d)

1  FÍSICA GERAL

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Em metros por segundo, temos:

Para obter o resultado em quilômetros por hora, pegamos a velocidade

em metros por segundo e multiplicamos por

, depois é só notar que

1.000 metros é o mesmo que 1 quilômetro e que 3.600 segundos equiva- lem a 1 hora. Assim:

Variação espacial e temporal

A velocidade é a medida de deslocamento num certo intervalo de tempo. Para expressar variação, em Física, é comum utilizarmos a letra grega ∆ (le- tra delta maiúscula). A posição espacial pode ser expressa pelas letras x, ou y, que indica a variação que ocorre respectivamente no eixo das abscissas ou das ordenadas. Entretanto, quando não queremos indicar um eixo para a variação, podemos usar a letra s (de space em inglês – espaço).

Assim, a variação espacial (quando não queremos indicar um eixo) cos- tuma ser indicada por ∆s. Já a variação no tempo costuma ser indicada como ∆t.

Logo a velocidade, que é o deslocamento espacial dividido pela variação no tempo, fica assim:

O índice 0 indica inicial. Quando escrevemos S-S 0 , estamos escrevendo: posição final menos a inicial. O mesmo vale para o tempo.

Aceleração

Quando analisamos as características de um carro, é comum querermos saber em quanto tempo o carro (partindo do repouso) consegue atingir a

100 10 / 10

m v m s s

= =

10 10 3600 36000 36 36 / 1 1 3600 3600 1

m m m km v km h s s s h

= = × = = =

∆^ − = = ∆ −

s s s v t t t

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velocidade de 100 km/h. Atualmente, vários carros conseguem ir de 0 a 100 km/h em menos de 10 segundos.

Em Física existe uma grandeza para representar esta característica de um carro: a aceleração. Todo corpo que se movimenta sofre, em algum mo- mento, a aceleração (ou desaceleração).

A aceleração é medida de variação da velocidade num certo intervalo de tempo. Ela é escrita como:

Queremos saber a aceleração de um carro que consegue partir do repouso e atingir a velocidade de 100 km/h em 10 segundos. Há um pequeno proble- ma, pois temos duas unidades de tempo diferentes: hora e segundos. Para resolvê-lo precisamos escolher em qual unidade vamos escrever este valor. Queremos escrever nas duas unidades, ou seja, em km/h^2 e em m/s^2.

Sabemos que uma hora tem 3.600 segundos, portanto um segundo é o

mesmo que 1

horas. Veja que um segundo é apenas uma pequena

fração de uma hora. Assim, a sua aceleração será:

Se quisermos escrever a aceleração utilizando as unidades do Sistema Internacional, fazemos assim:

Esta é a aceleração do veículo. Apesar de podermos escrever em qualquer unidade, faz mais sentido falarmos em metros por segundos. Isto porque a aceleração dura apenas alguns segundos. Muito menos do que uma hora.

∆

∆

v a t

( )

(100 0) / 2 36.000 / 10 3600

− = =

km h a km h h

2

m

km h s m

a m s

s s s

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Aula: 03

Temática: Equação do Movimento

Veremos uma aplicação da equação de 1º grau. Agora, quando um aluno perguntar para que serve a equação do primeiro grau e a do segundo grau, você poderá responder: “Para andar de carro”.

Movimento Uniforme (Aceleração = 0)

Vimos na última aula a velocidade média e a aceleração média. A veloci-

dade média é:

s v t

∆

∆

. Se considerarmos que o movimento começa em

t 0 = 0, então a equação ficaria: v s s^ s^0 t t

∆^ − = = ∆

. Fazendo uma pe

quena manipulação, podemos escrevê-la como:

Pronto, chegamos finalmente à equação de primeiro grau. Vamos usá-la para descrever o movimento de qualquer corpo em movimento. Mas é importante entender o que a equação diz. Ela é bastante simples. Primeira- mente, vemos que para t = 0 a posição do móvel será s = s 0. Ou seja, s é simplesmente a posição inicial deste móvel.

A posição do móvel num instante t qualquer será igual à posição inicial mais o deslocamento deste móvel. O deslocamento é igual à velocidade vezes o intervalo de tempo decorrido no percurso.

Vamos ver agora um exemplo em que vamos escrever uma equação de movimento de um atleta.

Um atleta está realizando um treinamento numa pista de atletismo com 2.000 metros de comprimento. Esta pista tem várias marcas no chão que servem de indicação de quanto o atleta já correu. Estas marcas estão a cada 100 metros. O atleta começa a correr a partir do ponto onde está marcado 200 m, com uma velocidade

s = s 0 + vt

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média é de 9 m/s. Escreva a equação do movimento e diga qual será a sua posição depois de 2 minutos de corrida.

Solução: A equação do movimento é: s = s 0 + vt. Substituindo a

posição inicial nesta equação (200 m) e a velocidade (9 m/s), temos a equação do movimento, ou seja:

(as unidades estão no Sistema Internacional)

Como dois minutos são o mesmo que 120 segundos:

Portanto, no instante t = 120 s:

Gráfico

Vamos analisar um gráfico da velocidade em função do tempo de um mó- vel. Por meio deste gráfico será possível descobrir o seu deslocamento. Sabemos que o deslocamento é simplesmente o produto da velocidade pelo intervalo de tempo em que o móvel permaneceu se deslocando.

Olhando para o gráfico abaixo vemos que o deslocamento é simplesmente a área do gráfico.

Esta informação será útil para deduzir a equação do movimento de um objeto em movimento uniformemente variado , ou seja, quando a acele- ração for diferente de zero.

s = 200 + 9 t

s = 200 + 9 × 120

s = 1280 m