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6FLEXÃO SIMPLES – ARMADURA TRANSVERSAL DE VIGA
6.1 Tensões principais
Sejam os elementos 1 e 2, prÛximos ao apoio de uma viga, dos quais se quer determinar as tensıes principais (Figura 6.1). Nesta Figura, o elemento 1 situa-se sobre a linha neutra (m·xima tens„o tangencial) e o elemento 2 est· situado prÛximo ‡ fibra mais tracionada (m·xima tens„o normal de traÁ„o).
Figura 6.1 - Tensıes normais e tangenciais em peÁas fletidas
Da ResistÍncia dos Materiais È sabido que as tensıes principais de traÁ„o σI formam, no elemento 1, um ‚ngulo de 45∞ com a horizontal (plano diagonal de ruptura), sendo no elemento 2 este ‚ngulo igual a 90∞ (plano vertical de ruptura), como mostrado na Figura 6.2.
Figura 6.2 ñ Tensıes principais nos elementos 1 e 2
Ensaios de laboratÛrio tÍm demonstrado uma boa aproximaÁ„o com a teoria, j· que em vigas de concreto armado o aspecto das fissuras, na regi„o prÛxima a apoio simples, È como indicado na Figura 6.3 (fissuras perpendiculares ‡s tensıes principais de traÁ„o, pois o concreto n„o resiste ‡s mesmas).
V
M
τxy σx
linha neutra
fibra mais tracionada
τxy
τxy
τxy
τxy
σx
σx
σI = τxy σII = τxy
σII (compress„o)
σI (traÁ„o)
plano diagonal de ruptura
45∫
σI (traÁ„o)
σI = σx
plano vertical de ruptura
Figura 6.3 ñ Fissura em viga de concreto armado
J· foi visto, quando se estudou a armadura longitudinal de vigas (CapÌtulo [5]), que prÛximo ao elemento 2, onde a fissura È provocada somente pelo momento fletor (τxy = 0), a armadura horizontal de traÁ„o È colocada perpendicularmente ‡ fissura, isto È na direÁ„o da tens„o principal σI do elemento 2 (Figura 6.4). No elemento 1, onde a fissura È provocada pela forÁa cortante (σx = 0), a armadura deveria ser tambÈm colocada perpendicularmente ‡ fissura, na direÁ„o da tens„o principal σI do elemento 1 (Figura 6.4).
Figura 6.4 ñ Armaduras nas direÁıes das tensıes principais de traÁ„o A idÈia de se colocar armadura sempre na direÁ„o da tens„o principal de traÁ„o (perpendicular ‡ fissura) vigorou por muitos anos como princÌpio b·sico do concreto armado. MudanÁas ocorreram e as teorias atuais, tanto para momento fletor como para forÁa cortante, baseiam-se no principio de se "costurar" as fissuras, respeitando sempre o equilÌbrio de forÁas e a compatibilidade das deformaÁıes. … por este motivo que as vigas de concreto armado, em sua grande maioria, s„o, atualmente, detalhada sÛ com armadura horizontal e vertical (Figura 6.5). As armaduras horizontais "costuram" as fissuras provocadas pelo momento fletor e as armaduras verticais "costuram" as fissuras provocadas pela forÁa cortante. Evidentemente esta È uma idÈia simplista, j· que as fissuras, na realidade, s„o provocadas por tensıes de traÁ„o provenientes da combinaÁ„o de momentos fletores e forÁas cortantes atuando conjuntamente.
Figura 6.5 ñ Armadura de momento fletor e forÁa cortante
V
M
fissura vertical (90∞) na regi„o do elemento 2
fissura inclinada (45∞) na regi„o do elemento 1
σI σI
σI
σI
σI σI
σI
σI
θ (^) V
M
armadura de momento fletor
armadura de forÁa cortante
V
M
armadura de momento fletor
armadura de forÁa cortante
porta estribo
Para evitar a ruptura (esmagamento) do concreto comprimido no banzo superior (ruptura de viga superarmada mostrada na Figura 6.7), duas providÍncias podem ser tomadas: − colocaÁ„o de armadura na regi„o comprimida; ou − aumento das dimensıes da seÁ„o transversal da viga. De modo an·logo ao das vigas super e subarmadas, onde o momento fletor È o causador do colapso, pode a forÁa cortante tambÈm ser respons·vel pela ruÌna de uma viga de concreto armado (Figura 6.8). Isto pode acontecer por: − ruptura (esmagamento) da diagonal de concreto comprimido; ou − ruptura (alongamento excessivo) da armadura tracionada dos montantes (estribos).
Figura 6.8 - Colapso de viga devido a forÁa cortante O esmagamento do concreto comprimido mostrado na Figura 6.8 sÛ pode ser evitado com o aumento das dimensıes da seÁ„o transversal da viga. A verificaÁ„o da necessidade de se aumentar ou n„o as dimensıes de uma viga de concreto armado È feita pelos itens 17.4.2.2 e 17.4.2.3 da ABNT NBR 6118, os quais fixam valores limites para a forÁa cortante atuante em seÁıes transversais de viga.
6.3 Valores limites para força cortante – diagonal de compressão
6.3.1 Equilíbrio da diagonal de compressão de treliça de Morsh
Seja a Figura 6.9 onde a forÁa cortante resistente de c·lculo V (^) Rd2 È respons·vel pelo equilÌbrio vertical das forÁas atuantes no trecho de viga.
Figura 6.9 ñ EquilÌbrio vertical da resultante atuante na diagonal de compress„o da treliÁa de Morsh Na Figura 6.9, θ representa a inclinaÁ„o da fissura em relaÁ„o ao eixo horizontal da viga e corresponde ‡ inclinaÁ„o das tensıes σcw; α corresponde ‡ inclinaÁ„o da armadura transversal (diagonal tracionada da treliÁa de Morsh) em relaÁ„o ao eixo horizontal da viga; ψ corresponde a um dos ‚ngulos do tri‚ngulo ret‚ngulo BCD (reto em B), equivalente a [(α + θ) - 90∞]; b (^) w largura da alma da viga; d altura ˙til da viga; z representa o braÁo de alavanca correspondente ‡ dist‚ncia entre a resultante horizontal de compress„o atuante no banzo superior da treliÁa de Morsh e a resultante
ruptura da armadura tracionada
ruptura do concreto comprimido
V
VRd
Rcw = σcw BC b (^) w
σcw
D
C
B
A
ψ α θ
α
z = 0,9 d b^ w^ d
atuante na armadura horizontal tracionada (banzo inferior da treliÁa), admitido como sendo igual 0,9 d; σcw tensıes normais atuantes na diagonal de compress„o da treliÁa de Morsh (tensıes perpendiculares ‡ reta BC); Rcw corresponde ‡ forÁa atuante na diagonal de compress„o da treliÁa de Morsh, resultante das tensıes σcw; e VRd2^1 corresponde ‡ forÁa cortante resistente de c·lculo, relativa ‡ ruÌna das diagonais comprimidas de concreto. Do tri‚ngulo ABD (Figura 6.9) tem-se:
α
sen
z BD
Do tri‚ngulo BCD (Figura 6.9) tem-se:
BC= BDcos ψ
ou ainda:
z sen
BC___ cos α
ψ
Tendo em vista que: ψ = ( α+θ) - 90 °
tem-se: ψ =α− ( 90 °−θ)
cosψ =cos[ α− ( 90 °−θ)]
cosψ =cosαcos ( 90 °−θ) +senαsen( 90 °−θ) cosψ =cosαsenθ+senαcos θ
α
α θ+ α θ
α
ψ sen
cos sen sen cos sen
cos
= α θ+ θ α
ψ cotg sen cos sen
cos
= θ ( α+ θ) α
ψ sen cotg cotg sen
cos
que levado para a express„o da reta BC, tem-se:
BC= zsenθ (cot gα+cotgθ)
Do equilÌbrio das forÁas verticais mostradas na Figura 6.9, tem-se: VRd2 = Rcwsen θ
ou ainda:
^ θ
V = σ BCbw sen
Rd2 cw
VRd 2 = {σ cw[ zsenθ (cot gα+cotgθ)]bw}sen θ
VRd 2 = σcwbwz (cot gα+cotgθ) sen^2 θ Tendo em vista que (Figura 6.9): z = 0 , 9 d
e tomando para σcw um valor em torno de 70% da m·xima tens„o de compress„o de c·lculo do concreto 0,85 f (^) cd, necess·rio pelas incertezas decorrentes da simplificaÁ„o da analogia de Morsh, tem-se: σcw =Κ ( 0 , 85 fcd)
0 , 7 1 , 4
(^1) NotaÁ„o da ABNT NBR 6118. O Ìndice 2 que aparece em VRd2 È usado para indicar vigas, sendo o Ìndice 1, que
aparecer· em VRd1 , usado para lajes.
Figura 6.10 ñ VerificaÁ„o de forÁa cortante
Exemplo 6.1: Verificar, para a seÁ„o transversal de viga abaixo indicada, qual a m·xima forÁa cortante solicitante de c·lculo (V (^) Sd) que a mesma pode suportar, definida pela diagonal de compress„o (V (^) Rd2). Fazer a verificaÁ„o para o Modelo I e para o Modelo II admitindo θ = 30∞ e α = 90∞. Considerar: − concreto: C25; − d = h ñ 4 cm; e − estado limite ˙ltimo, combinaÁıes normais (γc = 1,4).
SoluÁ„o: Na determinaÁ„o de V (^) Rd2, usar a EquaÁ„o 6.3 para o Modelo I e a EquaÁ„o 6. para o Modelo II. VSd È definida pela EquaÁ„o 6.5.
a. Dados ñ uniformizaÁ„o de unidades (kN e cm) 2 fck = 25 MPa= 2 , 5 kN/cm γc = 1 , 4
c
ck cd
f f γ
2 cd (^1) , 4 1 ,^79 kN/cm
f = =
f em MPa 250
f αv2 = 1 − ck = ck
αv2 = − =
b (^) w = 20 cm d = 40 − 4 = 36 cm
b. Modelo I VRd 2 = 0 , 27 αv 2 fcdbwd VRd 2 = 0 , 27 × 0 , 9 × 1 , 79 × 20 × 36 = 313 , 18 kN VSd ≤ VRd 2 = 313 kN◄
20 cm
40 cm
diagrama VSd
VSd,face ≤ VRd
c. Modelo II
90 ( 45 90 ) OK
30 ( 30 45 ) OK
α= ° °≤α≤ °
θ= ° °≤θ≤ °
VRd 2 = 0 , 54 αv 2 fcdbwdsen^2 θ ( cotgα+cotgθ) VRd 2 = 0 , 54 × 0 , 9 × 1 , 79 × 20 × 36 ×sen^230 °× ( cotg 90 °+cotg 30 °) VRd 2 = 0 , 54 × 0 , 9 × 1 , 79 × 20 × 36 × ( 0 , 5 )^2 ×( 0 , 0 + 1 , 73 ) = 270 , 90 kN V (^) Sd ≤ VRd 2 = 271 kN◄
d. ObservaÁ„o No Modelo I, a forÁa cortante solicitante de c·lculo V (^) Sd (313 kN) resultou 15% maior que a correspondente no Modelo II (271 kN). Portanto, no que se refere ‡ diagonal de compress„o, o Modelo I tem um melhor comportamento que o Modelo II.
6.4 Valores limites para força cortante – diagonal de tração
6.4.1 Equilíbrio da diagonal de tração de treliça de Morsh
Seja a Figura 6.11 onde a forÁa cortante resistente de c·lculo V (^) Rd2 È respons·vel pelo equilÌbrio vertical das forÁas atuantes no trecho de viga.
Figura 6.11 - EquilÌbrio vertical da resultante atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliÁa de Morsh) Na Figura 6.11, θ representa a inclinaÁ„o da fissura em relaÁ„o ao eixo horizontal da viga; α corresponde ‡ inclinaÁ„o da armadura transversal (diagonal tracionada da treliÁa de Morsh) em relaÁ„o ao eixo horizontal da viga; d altura ˙til da viga; z representa o braÁo de alavanca correspondente ‡ dist‚ncia entre a resultante horizontal de compress„o atuante no banzo superior da treliÁa de Morsh e a resultante atuante na armadura horizontal tracionada (banzo inferior da treliÁa), admitido como sendo igual 0,9 d; s corresponde ao espaÁamento da armadura transversal, medido paralelamente ao eixo horizontal da viga; n representa o n˙mero da barras, componentes da armadura transversal, que corta o plano AC co trecho da viga; Asw corresponde ‡ ·rea da seÁ„o transversal de uma barra que constitui a armadura transversal da viga; σsw tensıes normais atuantes na armadura transversal (diagonal tracionada da treliÁa de Morsh); Rsw corresponde ‡ forÁa atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliÁa de Morsh), resultante das tensıes σsw; VRd3^1 corresponde ‡ forÁa cortante resistente de c·lculo, relativa ‡ ruÌna por traÁ„o diagonal;
(^1) NotaÁ„o da ABNT NBR 6118.
B
Asw σsw (^) R sw = n Asw σsw
Vc
s s
VRd
C
A
α (^) θ α
z = 0,9 d
Vsw Rsw
α
Vsw = Rsw sen α
Figura 6.12 ñ Estribos de viga
As barras dobradas, de modo geral, s„o posicionadas nas vigas como continuidade das barras horizontais, formando ‚ngulo de 45∞ com a horizontal (Figura 6.13).
Figura 6.13 ñ Barras dobradas de viga
6.4.3 Modelos da ABNT NBR 6118
6.4.3.1 Modelo I
O Modelo I da ABNT NBR 6118 define θ como sendo igual a 45∞. Desta forma a EquaÁ„o 6.8 resulta:
^ (^ α+ °)^ α
= 0 , 9 df cotg cotg 45 sen s
A
V (^) sw sw ywd
( )
barras dobradas 435 MPa
f 0 , 7 f min
estribos 435 MPa
f f min
0 , 9 df sen cos s
V A
s
yk ywd
s
yk ywd
ywd
sw sw
= γ
= γ
α+ α
EquaÁ„o 6.
O item 17.4.2.2-b da ABNT NBR 6118 apresenta, o c·lculo da armadura transversal de viga, para o Modelo I, separado por tipo de solicitaÁ„o.
6.4.3.1.1 Flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção
No caso de flex„o simples ou flexo-traÁ„o, com a linha neutra cortando a seÁ„o, os valores de VRd3 (EquaÁ„o 6.6), V (^) c e Vsw (EquaÁ„o 6.9) s„o dados por:
As
estribo de 2 ramos Asw = 2 As
As
estribo de 4 ramos Asw = 4 As
( )
°≤α≤ °
= γ
= γ
α+ α
γ
γ
barrasdobradas 435 MPa
f 0 , 7 f min
estribos 435 MPa
f f min
0 , 9 df sen cos s
A
V
f emMPa
f 0 , 21 f f
V V 0 , 6 f b d
V V V
s
yk ywd
s
yk ywd
ywd
sw sw
ck c
(^3) ck^2
c
ctk,inf ctd
c c 0 ctd w
Rd 3 c sw
EquaÁ„o 6.
6.4.3.1.2 Flexo-compressão
No caso de flexo-compress„o, os valores de VRd3 (EquaÁ„o 6.6), V (^) c e Vsw (EquaÁ„o 6.9) s„o dados por:
( )
°≤α≤ °
= γ
= γ
α+ α
γ
γ
barrasdobradas 435 MPa
f 0 , 7 f min
estribos 435 MPa
f f min
0 , 9 df sen cos s
A
V
f emMPa
f 0 , 21 f f
V 0 , 6 f b d
2 V
M
M
V V 1
V V V
s
yk ywd
s
yk ywd
ywd
sw sw
ck c
(^3) ck^2
c
ctk,inf ctd
c 0 ctd w
c 0 Sd,max
0 c c 0
Rd 3 c sw
EquaÁ„o 6.
Na EquaÁ„o 6.11, M 0 valor do momento fletor que anula a tens„o normal de compress„o na borda da seÁ„o (tracionada por MSd,Max), provocada pelas forÁas normais de diversas origens concomitantes com V (^) Sd, sendo essa tens„o calculada com valor de γf igual a 1,0; e MSd,max valor do m·ximo momento fletor de c·lculo que atua na seÁ„o considerada.
6.4.3.1.3 Elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção
No caso de elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seÁ„o, os valores de VRd3 (EquaÁ„o 6.6), V (^) c e Vsw (EquaÁ„o 6.9) s„o dados por:
( )
°≤α≤ °
°≤θ≤
= γ
= γ
α+ θ α
γ
γ
barrasdobradas 435 MPa
f 0 , 7 f min
estribos 435 MPa
f f min
0 , 9 df cotg cotg sen s
A
V
f emMPa
f 0 , 21 f f
V 0 , 6 f b d
V
V V
V V
V V
2 V
M
M
V V 1
V V V
s
yk ywd
s
yk ywd
ywd
sw sw
ck c
3 2 ck c
ctk,inf ctd
c 0 ctd w
c 0 Rd 2 c 0
Rd 2 Sd c 1 c 0
c 1 Sd,max
0 c c 1
Rd 3 c sw
EquaÁ„o 6.
Na EquaÁ„o 6.14, M 0 valor do momento fletor que anula a tens„o normal de compress„o na borda da seÁ„o (tracionada por MSd,Max), provocada pelas forÁas normais de diversas origens concomitantes com V (^) Sd, sendo essa tens„o calculada com valor de γf igual a 1,0; e MSd,max valor do m·ximo momento fletor de c·lculo que atua na seÁ„o considerada.
6.4.3.2.3 Elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção
No caso de elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seÁ„o, os valores de VRd3 (EquaÁ„o 6.6), V (^) c e Vsw (EquaÁ„o 6.8) s„o dados por:
( )
°≤α≤ °
°≤θ≤
= γ
= γ
α+ θ α
barrasdobradas 435 MPa
f 0 , 7 f min
estribos 435 MPa
f f min
0 , 9 df cotg cotg sen s
A
V
V 0
V V V
s
yk ywd
s
yk ywd
ywd
sw sw
c
Rd 3 c sw
EquaÁ„o 6.
6.4.4 Resistência de vigas – diagonal tracionada
A resistÍncia de viga, numa determinada seÁ„o transversal, deve ser considerada satisfatÛria quando for verificada, a seguinte condiÁ„o:
VSd ≤ VRd 3 EquaÁ„o 6.
onde: VSd forÁa cortante solicitante de c·lculo na seÁ„o; e VRd3 forÁa cortante resistente de c·lculo, relativa ‡ ruÌna por traÁ„o diagonal, de acordo com os Modelos I e II descritos em 6.3.2.1 e 6.3.2.2, respectivamente.
Exemplo 6.2: Verificar, para a seÁ„o transversal de viga abaixo indicada, qual a m·xima forÁa cortante solicitante de c·lculo (V (^) Sd) que a mesma pode suportar, definida pela diagonal tracionada (V (^) Rd3). Fazer a verificaÁ„o para o Modelo I e para o Modelo II admitindo θ = 30∞ e α = 90∞. Considerar: − aÁo: CA-50; − concreto: C25; − d = h ñ 4 cm; − estribos verticais de dois ramos, espaÁados de 10 cm, constituÌdos por barras de 6,3 mm; − flex„o simples; e − estado limite ˙ltimo, combinaÁıes normais (γc = 1,4, γs = 1,15).
SoluÁ„o: Na determinaÁ„o de V (^) Rd3, usar a EquaÁ„o 6.10 para o Modelo I e a EquaÁ„o 6. para o Modelo II. VSd È definida pela EquaÁ„o 6.16.
a. Dados ñ uniformizaÁ„o de unidades (kN e cm) 2 fck = 25 MPa= 2 , 5 kN/cm γc = 1 , 4
f em MPa
0 , 21 f f (^) ck c
(^3) ck^2 ctd = γ
2
3 2 ctd (^1) , 4 1 ,^28 MPa^0 ,^128 kN/cm
f = = =
f (^) yk = 500 MPa γs 1 , 15
= γ 435 MPa
f f min s
yk ywd
2 ywd 435 MPa^43 ,^5 kN/cm 435 MPa
435 MPa 1 , 15
f min = =
2
2 sw s 4 0 ,^623 cm
A 2 A 2 =
π× = = ×
s = 10 cm b (^) w = 20 cm d = 40 − 4 = 36 cm
b. Modelo I α = 90 ° (estribos verticais)
20 cm
40 cm
VRd 3 = 24 + 152 = 176 kN OK VSd ≤ VRd 3 = 176 kN◄
d. ObservaÁ„o No Modelo I, a forÁa cortante solicitante de c·lculo VSd (143 kN) resultou 19% menor que a correspondente no Modelo II (176 kN). Portanto, no que se refere ‡ diagonal tracionada, flex„o simples, o Modelo II tem um melhor comportamento que o Modelo I.
6.5 Armadura mínima
Segundo o item 17.4.1.1 da ABNT NBR 6118, as vigas de concreto armado devem conter armadura transversal mÌnima constituÌda por estribos, com taxa geomÈtrica:
α
ρ =
500 MPa
f f min
f 0 , 3 f f emMPa
f
f 0 , 2 b ssen
A
yk ywk
(^3) ck 2 ct,m ck
ywk
ct,m w
sw sw
EquaÁ„o 6.
onde: ρsw taxa geomÈtrica de armadura transversal; Asw ·rea da seÁ„o transversal dos estribos; s espaÁamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal da viga; α inclinaÁ„o dos estribos em relaÁ„o ao eixo longitudinal da viga; b (^) w largura mÈdia da alma, medida ao longo da altura ˙til da seÁ„o, f (^) ywk resistÍncia caracterÌstica ao escoamento do aÁo da armadura transversal; e f (^) ct,m resistÍncia mÈdia ‡ traÁ„o do concreto.
Exemplo 6.3: Determinar a taxa geomÈtrica mÌnima para a armadura transversal da viga de seÁ„o transversal abaixo indicada. Considerar: − aÁo: CA-60; e − concreto: C25.
SoluÁ„o: Usar a EquaÁ„o 6.17 para a determinaÁ„o de ρsw.
a. Dados ñ uniformizaÁ„o de unidades (kN e cm) 2 fck = 25 MPa= 2 , 5 kN/cm
f (^) ct, m= 0 , 33 fck^2 fckem MPa 3 2 2 fct (^) , m= 0 , 3 25 = 2 , 56 MPa= 0 , 256 kN/cm f (^) yk = 600 MPa
500 MPa
f f (^) ywk min yk
2 ywk (^500) MPa^500 MPa^50 kN/cm
600 MPa f min = =
20 cm
40 cm
b. Taxa geomÈtrica
ywk
ct,m sw (^) f
f ρ ≥ 0 , 2
ρsw ≥ 0 , 2 × = ◄
6.6 Flexão simples - Vigas com estribos verticais – Modelo I
ABNT NBR 6118, item 17.4.1.1.3: ì A armadura transversal (A (^) sw) pode ser constituída por estribos (fechados na região de apoio das diagonais, envolvendo a armadura longitudinal) ou pela composição de estribos e barras dobradas; entretanto, quando forem utilizadas barras dobradas, estas não devem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura .î O detalhamento de vigas de concreto armado com estribos verticais, permitido pelo item 17.4.1.1.3 da ABNT NBR 6118, tem sido o mais usado pela engenharia de estruturas (Figura 6.14).
Figura 6.14 ñ Vigas com estribos verticais
Por outro lado, a adoÁ„o do Modelo I, que exige menos da diagonal comprimida da treliÁa de Morsh (ver Exemplo 6.1 e Exemplo 6.2), tambÈm tem-se mostrado bastante ˙til no detalhamento de vigas de concreto armado. Desta forma, levando em consideraÁ„o apenas as equaÁıes estabelecidas em 6.3.2.1 (EquaÁ„o 6.3), 6.3.3 (EquaÁ„o 6.5), 6.4.3.1.1 (EquaÁ„o 6.10), 6.4.4 (EquaÁ„o 6.16) e 6.5 (EquaÁ„o 6.17), para flexão simples , tem-se:
s s
s
c
ck cd
f f γ
2 cd (^1) , 4 1 ,^79 kN/cm
f = =
f (^) ct, m= 0 , 33 fck^2 fckem MPa (^3 ) f (^) ct, m= 0 , 3 25 = 2 , 56 MPa= 0 , 256 kN/cm
f em MPa
0 , 21 f f (^) ck c
(^3) ck^2 ctd = γ
2
(^3 ) ctd (^1) , 4 1 ,^28 MPa^0 ,^128 kN/cm
f = = =
f (^) yk = 500 MPa γs = 1 , 15
500 MPa
f f min
yk ywk
2 ywk (^500) MPa^500 MPa^50 kN/cm
500 MPa f min = =
= γ 435 MPa
f f min s
yk ywd
2 ywd 435 MPa^43 ,^5 kN/cm 435 MPa
435 MPa 1 , 15
f min = =
2
2 sw s 4 0 ,^623 cm
A 2 A 2 =
π× = = ×
s = 10 cm b (^) w = 20 cm d = 40 − 4 = 36 cm
ywk
ct,m sw (^) f
f ρ ≥ 0 , 2
ρsw ≥ 0 , 2 × =
b s
A
w
sw ρsw ≥
0 , 31 % 0 , 10 % OK
ρsw ≥ × = >
b. VRd VRd 2 = 0 , 27 αv 2 fcdbwd VRd 2 = 0 , 27 × 0 , 9 × 1 , 79 × 20 × 36 = 313 kN◄
c. VRd Vc 0 = 0 , 6 fctdbwd Vc 0 = 0 , 6 × 0 , 128 × 20 × 36 = 55 kN
ywd
sw sw (^) s^0 ,^9 df
A
V
0 , 9 36 43 , 5 88 kN 10
Vsw × × × =
VRd3 =Vc+V sw VRd3 = 55 + 88 = 143 kN◄
d. VSd
Rd 3
Rd 2 Sd (^) V
V
V
≤ ⇒V = 143 kN 143 kN
313 kN V (^) Sd Sd ◄
6.7 Flexão simples - Vigas com estribos verticais – Modelo II
A adoÁ„o do Modelo II para vigas com estribos verticais pode ser uma soluÁ„o interessante quando se quer exigir mais da diagonal comprimida da treliÁa de Morsh (ver Exemplo 6.1 e Exemplo 6.2), e menos da armadura. Desta forma, levando em consideraÁ„o apenas as equaÁıes estabelecidas em 6.3.2.2 (EquaÁ„o 6.4), 6.3.3 (EquaÁ„o 6.5), 6.4.3.2.1 (EquaÁ„o 6.13), 6.4. (EquaÁ„o 6.16) e 6.5 (EquaÁ„o 6.17), para flexão simples , tem-se:
ρ = ≥
°≤θ≤ °
= γ
θ
γ
γ
°≤θ≤ °
α = −
= α θ θ
500 MPa
f f min
f 0 , 3 f f emMPa
f
f 0 , 2 b s
A
435 MPa
f f min
0 , 9 df cot s
A
V
f emMPa
f 0 , 21 f f
V 0 , 6 f b d
V
V V
V V V V
V V
V V V
f emMPa 250
f 1
V 0 , 54 f b dsen cos
V
V
V
yk ywk
ck
3 2 ct,m ck
ywk
ct,m w
sw sw
s
yk ywd
ywd
sw sw
ck c
3 2 ck c
ctk,inf ctd
c 0 ctd w
c 0 Rd 2 c 0
Rd 2 Sd c 1 c 0
c c 1
Rd 3 c sw
ck
ck v 2
Rd 2 v 2 cd w
Rd 3
Rd 2 Sd
EquaÁ„o 6.
