Baixe Fluidos e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!
Fluidos
Propriedades Físicas
A Mecânica dos Fluidos foi desenvolvida a partir do entendimento das propriedades físicas do fluido, da aplicação das leis básica da mecânica, termodinâmica, e informações da experimentação. As seguintes propriedades são de particular importância: Densidade e Viscosidade:^ F 0D E nos escoamentos em dutos; canais abertos; ao redor de objetos. Tensão Superficial:^ F 0D E na formação de gotas; escoamentos de jatos; na interface de escoamentos multifásicos; na formação de ondas de capilaridade. Pressão de Vapor:^ F 0D E nos escoamentos com mudança de fase, líquido-gás. Fluido é uma substância que deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento. Os Fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas. A distinção com o estado sólido baseia-se que o sólido não deforma continuamente quando aplicamos uma tensão de cisalhamento. Densidade é uma importante propriedade de uma substância, é a razão entre a sua massa e o seu volume. Usualmente utilizamos a letra grega rô ( F 07 2 ) para sua representação. ou A densidade da água em unidades CGS é 1g/cm^3. Convertendo esta para unidades
SI, quilograma por metro cúbico, obtemos para a densidade da água
Uma unidade conveniente de volume é o litro ( l ): 1 l = 10 3 cm^3 = 10^ -3^ m^3
Em termos desta unidade, a densidade da água é 1,0 kg/ l. Quando a densidade de um corpo é maior que a da água, o corpo afunda na água; quando a densidade é menor, o corpo flutua na água. Na verdade mostraremos numa seção adiante que os corpos flutuantes têm uma fração do seu volume imerso em qualquer líquido que é igual a razão entre a densidade do corpo e a densidade do líquido. A maior parte dos sólidos e dos líquidos se expande ligeiramente quando aquecidos, e se contraem ligeiramente quando sujeitos a um aumento de pressão externa, estas variações de volume são relativamente pequenas, assim podemos dizer que as densidades da maior parte dos sólidos e dos líquidos são, numa aproximação grosseira, quase independentes da temperatura e da pressão. Por outro lado, a densidade dos gases dependem fortemente da pressão e da temperatura. Com uma boa aproximação, a densidade de um gás é proporcional à pressão e inversamente proporcional temperatura(absoluta). Devido a este motivo a pressão e temperatura devem ser especificadas quando se exprimem as densidades dos gases. È bom termos em mente que as densidades dos gases são consideravelmente menores que as do líquidos e sólidos; por exemplo a densidade da água é cerca de 800 vezes a do ar, em condições normais. Usa-se também a densidade ponderal (ou peso específico), definida como a razão entre o peso de um corpo e o seu volume. A densidade ponderal é igual a F 07 2 g :
A densidade ponderal da água é:. Vamos fazer algumas considerações sobre outra propriedade física importante, a viscosidade. Considere uma substância fluida entre duas placas planas e paralelas (Figura 1). A tensão F/A é aplicada em qualquer substância entre as duas placas paralelas.
Líquidos F 0D E aumento da temperatura F 0D E diminuição da viscosidade (forças de coesão); Gases F 0D E aumento da temperatura^ F 0D E aumento da viscosidade (atividade molecular, diretamente proporcional a transferência de quantidade de movimento); O efeito da temperatura na viscosidade é aproximadamente correlacionado em equações empíricas: Equação de Sutherland (gases) : ; onde C e S são constantes empíricas e T é a temperatura absoluta. Sendo a viscosidade conhecida em duas temperaturas podemos determinar as constantes da equação. Equação de Andrade (líquidos) : ; onde D e B são constantes empíricas e T é a temperatura absoluta. A unidade da viscosidade no S.I. é: , comumente escrita em unidades de CGS (Poise = 1g/cm.s). A viscosidade cinemática aparece e é dada pela viscosidade dinâmica ou absoluta (F 06 D ) dividida pela densidade.
Tensão Superficial : Na interface entre um líquido e um gás ou entre dois líquidos imiscíveis, um filme fino ou camada líquida é formada junto da superfície. A formação desta película é justificada pela força de atração molecular na superfície. O simples experimento da agulha boiando na superfície da água, evidencia a existência desta fina camada; outro exemplo é a formação de pequenas gotas de mercúrio devido as forças de coesão na superfície (a conseqüência física aparente das forças de coesão é o surgimento de uma película hipotética). A formação desta camada pode ser entendida com base na energia superficial ou trabalho por unidade de área requerido para a ligação molecular na superfície. A tensão superficial é a força requerida para formar o filme fino (forças de tensão superficial), obtida pela divisão da energia de superfície pelo comprimento do filme em
equilíbrio. Ou de forma equivalente "a intensidade de atração molecular por unidade de comprimento ao longo de uma linha de superfície é chamada de tensão superficial (F 07 3 - N/ m) (que depende da temperatura do fluido) A tensão superficial da água varia entre 0,074 N/m (20 oC) a 0,059 N/m (100^ oC). A pressão dentro de uma gota de fluido esférica pode ser calculada usando o desenho esquemático da Figura 3. A força desenvolvida na superfície da gota é resultante da tensão superficial, e vale: 2F 07 0 R.F 07 3. Esta força deve se equilibrar com a força devido a diferença de pressão interna e externa atuando na superfície circular, F 07 0 .R^2.
Figura 3. Forças atuando numa gota de líquido.
Sendo assim: ou. Um fenômeno comum associado a tensão superficial é o efeito de capilaridade em tubos. Se um pequeno tubo é inserido num recipiente com água, o nível de água no tubo eleva-se como ilustrado na Figura 4. Nesta situação temos a interface líquido-gás-sólido; temos neste caso uma atração (adesão) entre a parede do tubo e as moléculas do líquido fluido, que é forte o suficiente para elevar o nível do fluido. A altura "h" é governada pelo valor da tensão superficial (F 07 3 ), o raio do tubo (R), o peso específico do fluido (^ F 06 7 ),^ e o ângulo de contato (F 07 1 ) entre o fluido e o tubo. A partir da Figura 4.b podemos verificar o equilíbrio entre a força vertical devido a tensão superficial, , e a força peso do fluido, teremos:
. A altura "h" será dada por:
1 Pa = 1 N / m 2 A pressão num lago, ou oceano, aumenta a medida que a profundidade cresce. A pressão atmosférica diminui a medida que se ascende a maiores altitudes. A variação na pressão de um fluido com a profundidade ou com a altura pode deduzir-se com facilidade. Consideremos uma coluna de líquido, água por exemplo, com área de seção reta A e espessura F 04 4 h , onde^ h^ é a profundidade medida a partir do topo do líquido (Figura 5).
Figura 5. Variação de pressão num fluido estático.
Seja P 1 a pressão do topo da coluna e^ P^2 a pressão na base. A força exercida para
baixo sobre a coluna, pelo fluido que lhe está por cima, é P1A. A força exercida para cima, sobre a coluna, pelo fluido que lhe fica abaixo, P (^) 2A. Esta força para cima tem que ser maior que a força para baixo, para equilibrar o peso da coluna. O volume da coluna é A F 04 4 h , e seu peso é mg = F 07 2 A^ F 04 4 h^ g. Fazendo a força para cima, devida a diferença de pressão, igual ao peso da coluna temos: ou onde F 04 4 P^ é a diferença de pressão que corresponde `a diferença de profundidade^ F 04 4 h. Se dividirmos por F 04 4 h e tomarmos o limite quando F 04 4 h tende a zero, a razão F 04 4 P /F 04 4 h torna-se a derivada dP / dh , e temos
Esta equação vale para qualquer fluido. Para resolvermos esta equação em termos da pressão, precisamos saber como a densidade do fluido depende da pressão. No caso da água, e da maior parte dos líquidos, a densidade é aproximadamente independente da
pressão, ou seja, os líquidos são quase incompressíveis. Então, de acordo com esta equação, dP/dh é igual a uma constante, e P deve variar linearmente com h :
onde P 0 é a pressão em^ h^ = 0. A pressão a uma profundidade^ h^ é maior que no topo, por uma grandeza F 07 2 gh. Independendo da forma do vaso e vale para todos os pontos que estão a uma mesma profundidade. Se aumentarmos P 0 , através de um pistão por exemplo que pressiona a superfície do líquido, o aumento de pressão é o mesmo em todos os pontos do líquido (Princípio de Pascal ). A Figura 6 mostra o medidor de pressão mais simples, o manômetro de tubo aberto. O topo do tubo está aberto para a atmosfera, na pressão P 0. A outra extremidade do tubo
está na pressão P a ser medida. A diferença P - P 0 é igual a^ F 07 2 gh , onde^ F 07 2 é a densidade do líquido no tubo. A diferença entre a pressão absoluta P e a pressão atmosférica P (^) 0 é a pressão manométrica.
Figura 6. Manômetro de tubo aberto para medir a pressão desconhecida P. A Figura 7 mostra um barômetro de mercúrio usado para medir a pressão atmosférica. O topo do tubo foi fechado e evacuado, de modo que a pressão atmosférica ali reinante é nula. A outra extremidade está aberta para a atmosfera, na pressão P 0. A pressão P 0 é dada por^ P 0 =^ F 07 2 gh , onde^ F 07 2 é a densidade do mercúrio.
Figura 7. Barômetro de tubo fechado para a medição da pressão atmosférica P (^) 0.
Figura 9. Situação idêntica à da Figura 8.a, exceto em que o corpo foi substituído por um volume igual de fluido.
Podemos ainda considerar sobre o princípio de Arquimedes, o seguinte: seja F 07 2 f a densidade do fluido. Um volume V do fluido tem então a massa F 07 2 fV e o peso F 07 2 fgV. O peso do corpo pode escrever-se F 07 2 cgV , onde F 07 2 c é a densidade do corpo. Se a densidade do corpo for maior que a do fluido, o peso será maior que a do empuxo e o corpo afundará no fluido, a menos que seja suportado. Se F 07 2 c for menor que^ F 07 2 f , o empuxo será maior que o peso e o corpo será acelerado até a superfície livre do fluido, a menos que seja forçado a manter-se imerso. O corpo flutuará em equilíbrio com uma fração do seu volume imersa, de modo que o peso de volume deslocado seja igual ao peso do próprio corpo.
Equação de Bernoulli
Vamos considerar apenas o escoamento permanente, incompressível e não- turbulento. No lugar de seguir as partículas individuais do fluido, à medida que se deslocam de ponto para outro, vamos observar um ponto fixo no espaço. Seja F 07 2 a densidade do fluido num certo ponto e V a velocidade num certo instante t , no mesmo ponto. À medida que o tempo passa, as partículas do fluido deslocam-se para jusante do ponto, e novas partículas entram nas regiões vizinhas do ponto. No escoamento permanente, a densidade e a velocidade do fluido, em qualquer ponto, são constantes no tempo.
Na Figura 10, reunimos e traçamos várias linhas de corrente do escoamento das partículas do fluido para formar um tubo de corrente. Embora a velocidade e densidade do fluido variem de ponto para ponto no tubo, no escoamento de regime permanente, a velocidade e a densidade num ponto são constante no tempo. Então, a massa do fluido, no tubo, permanece constante no tempo.
Figura 10. Linhas de corrente no escoamento de um fluido e um tubo de corrente.
A Figura 11, na parte sombreada indica a massa do fluido que escoa no tubo num certo tempo F 04 4 t. O volume desta região é^ v 1^ F 04 4 tA 1 , onde^ v 1 é a velocidade no ponto^ P 1. Se a densidade neste ponto for F 07 2 , a massa do fluido que escoa no tubo é dada por:
Figura 11. No estado permanente, a massa do fluido que passa pelo ponto P 1 deve ser igual
à massa que passa pelo ponto P 2. A vazão em quilogramas por segundo é AvF 07 2
A taxa de escoamento do fluido no tubo é denominada a vazão mássica I (^) m :
Num escoamento em estado permanente, uma massa igual de fluido deve escoar para fora do tubo, no ponto P 2. Se a densidade nesse ponto for F 07 2 2, , a velocidade v 2 e a área da seção reta A 2 , a massa que sai do tubo é:
Igualando esta à massa que entra no tubo, no mesmo intervalo de tempo, temos:
Ao mesmo tempo, o fluido que precede a massa que estamos considerando exerce sobre ela uma força F 2 =P (^) 2A 2 para a esquerda. Esta força efetua um trabalho negativo, W 2 = -F 2^ F 04 4 x (^2) = P2A 2^ F 04 4 x 2 = P 2^ F 04 4 V. O trabalho líquido efetuado por estas forças é:
Este trabalho é igual a variação de energia cinética e da energia potencial do fluido analisado, isto é, é igual à variação de energia da massa F 04 4 m = F 07 2^ F 04 4 V. A variação da energia potencial da massa é:
A variação da energia cinética é:
Então, o teorema da energia cinética nos conduz a seguinte equação:
Se dividirmos cada termo por F 04 4 V^ e escrevermos a densidade como^ F 07 2 =^ F 04 4 m/ F 04 4 V , obteremos:
Reunindo num membro as grandezas com índice 2 e no outro as que têm o índice 1, a equação fica:
Este resultado pode ser escrito como: constante F 0D E Equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli demonstra que esta combinação de grandezas, calculada em qualquer ponto no tubo, tem o mesmo valor que em qualquer outro ponto, válida para o regime permanente e laminar, de um fluido não-viscoso e incompressível. Em condições especiais, a equação de Bernoulli também se aplica a fluidos compressíveis como os gases.
Uma aplicação especial da equação de Bernoulli ocorre num caso de fluido em repouso. Assim, v 1 = v 2 = 0 , então obtemos:
onde h = y 2 – y 1 é a diferença de altura entre os pontos 2 e 1.
Exemplo 1: Um fluido incompressível, como a água, escoa através de um tubo horizontal que tem uma seção estrangulada, conforme mostra a Figura 13. Demonstre que a pressão se reduz no estrangulamento.
Figura 13. Estrangulamento num tubo com um fluido em movimento. A pressão é menor na seção estrangulada do tubo, onde o fluido desloca-se mais rápido.
As duas seções do tubo têm a mesma altura, fazemos y 1 = y 2 na equação de Bernoulli. Temos então:
Porém com a densidade constante: A1v 1 = A (^) 2v 2 ou v 2 = A1/A 2 .v 1 Levando esta resultado na equação, , temos:
ou P 1 – P 2 = Desde que A 1 é maior que A 2 , a grandeza no segundo membro é positiva e P 2 tem que ser menor que P 1. Observe que a única circunstância na qual^ P^2 e^ P 1 podem ser iguais,
Com a válvula fechada, v 2 = 0, e pressão é: P 2 =Po +^ F 07 2 gh =^ 101 kPa + (10^3 kg/m^3 ).(9,81 N/kg).(15 m) P 2 = 101 kPa + 1,47 F 0B 4 105 N/m^2 = 101 kPa + 147 kPa P 2 = 248 kPa Com a válvula aberta, a pressão diminui de: kg/m^3 )(16 m/s)^2 F 0B 4 105 kg.m/s (^2) .m 2 = 128kPa Portanto a pressão com a válvula aberta é P 2 = 101 kPa + 147 kPa – 128kPa = 120
kPa.
Escoamento Viscoso
O escoamento em regime permanente através de um tubo horizontal, longo e estreito, com a seção reta e constante, a pressão será constante ao longo do tubo. Porém na prática, observamos que há uma queda de pressão quando nos movemos ao longo do tubo, na direção do escoamento. Esta queda de pressão se deve à viscosidade do fluido. O tubo exerce uma resistência de arraste sobre o fluido que está em suas vizinhanças, e as camadas de fluido exercem uma força de arraste viscoso sobre as camadas adjacentes. A velocidade do fluido não é constante na direção de um diâmetro do tubo, mas é maior na vizinhança do centro e menor nas vizinhanças das bordas, onde o fluido está em contato com as paredes. Seja P 1 a pressão no ponto 1 e^ P 2 a pressão no ponto 2, à distância^ L^ a jusante do ponto 1. A queda de pressão é proporcional à vazão. Se representarmos a constante de proporcionalidade por R , teremos:
onde F 0D E é a vazão. A resistência ao escoamento R depende do comprimento do tubo L , do raio r a da viscosidade do fluido. O coeficiente de viscosidade de fluido defini-se da seguinte forma. Na Figura 15 um fluido está confinado entre duas chapas paralelas, cada qual com a área A , separadas por distância z 0. A chapa superior é puxada, com velocidade constante^ V , por uma força^ F , enquanto a chapa de baixo se mantém em repouso. Para puxar-se a chapa superior é necessário uma força, pois o fluido vizinho à chapa exerce uma força de arrasto viscoso que se opõe ao movimento. A velocidade do fluido entre as chapas é, em essência, igual a V nas vizinhanças da chapa superior e zero nas vizinhanças da inferior e varia linearmente com a altura entre as chapas. A força F , segundo se verifica, é inversamente proporcional à separação das chapas z 0. O coeficiente de viscosidade^ F 06 D defini-se por
Figura 15. Duas chapas de mesma área A, com um fluido viscoso entre ambas. Quando a chapa superior se desloca em relação à inferior, cada camada do fluido exerce uma força de arrasto sobre as camadas adjacentes, estabelecendo-se um gradiente de no fluido. A força necessária para empurrar a chapa superior é proporcional à velocidade escalar V a área A e inversamente proporcional à separação entre as chapas z 0.
Em termos do coeficiente de viscosidade, a resistência R da equação, no escoamento permanente através de um tubo circular de raio r pode ser escrita como:
em função da profundidade, P(h); (B) Calcule a pressão a 3 m de profundidade considerando b=1, e b=150, sendo ; (C) Calcule também considerando a massa específica constante. 7) Uma lata tem volume de 1.200 cm 3 e massa de 130 g. Quantas gramas de balas de chumbo ela poderia carregar, sem que afundasse na água? A densidade do chumbo é 11,4 g/cm^3. 8) A água se move com uma velocidade de 5,0 m/s através de um cano com uma área de seção transversal de 4,0 cm^2. A água desce 10 m gradualmente, enquanto a área do cano aumenta para 8, cm^2. (a) Qual é a velocidade do escoamento no nível mais baixo? (b) Se a pressão no nível mais alto for 1,5 x 10 5 Pa, qual será a pressão no nível mais baixo? 9) Se uma pessoa soprar ar com uma velocidade de 15 m/s, passando pela parte de cima de um dos ramos de um tubo em U que contenha água, qual será a diferença de nível entre os dois lados deste tubo? 10) Um medidor de Venturi possui um tubo de diâmetro igual a 10 pol e um gargalo de diâmetro 5,0 pol. Se a pressão da água no tubo for 800 Pa e no gargalo 600 Pa, determine a vazão de água em litros por segundo. 11) A água escoa por um cano horizontal para a atmosfera a uma velocidade de 15 m/s, como mostrado na Figura abaixo. Os diâmetros das seções direita e esquerda do tubo são 3,0 cm e 5, cm, respectivamente. (a) Que volume de água escoa para a atmosfera durante um período de 10 minutos? (b) Qual é a velocidade de escoamento da água no lado esquerdo do tubo? (c) Qual é a pressão manométrica no lado esquerdo do tubo?
12) Um tanque é cheio de água a uma altura H. Um buraco é aberto em uma das paredes, a uma profundidade h abaixo da superfície da água. (a) encontre a distância “x” entre a parte de baixo da parede e o ponto onde o jato atinge o chão em função de “h” e “H” (b) A que profundidade deve ser aberto um buraco para que o alcance do jato seja máximo.
13) Considere o escoamento de sangue num capilar, D=1 mm. Encontre a queda de pressão () em Pa e mmHg relativa à 1 cm de comprimento do capilar. Utilize a equação de Hagen-Pouiselle, , onde e , e os seguintes dados: ; ; Q=300 ml/min. Calcule também o número de Reynolds para classificar o escoamento em laminar ou turbulento.
