Baixe Forma Canônica de Jordan e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity!
A forma canˆonica de Jordan
1 Matrizes e espa¸cos vetoriais
Defini¸c˜ao: Sejam A e B matrizes quadradas de orden n sobre um corpo arbitr´ario X. Dizemos que
A ´e semelhante a B em X (A ∼ B) se existe uma matriz invert´ıvel P , em X, tal que A = P BP
− 1 .
Proposi¸c˜ao 1: ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.
Demonstra¸c˜ao:
Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n.
(i) A ∼ A. Pois A = IAI , onde I ´e a matriz identidade de ordem n.
(ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A. De fato, A ∼ B ⇒ A = P BP
− 1 , para alguma matriz invert´ıvel
P ⇒ B = P
− 1 AP = (P
− 1 )A(P
− 1 )
− 1 ⇒ B ∼ A.
(iii) A ∼ B e A ∼ C, ent˜ao A ∼ C. Por hip´otese, existem matrizes invert´ıveis P e Q tais que
A = P BP
− 1 , B = QCQ
− 1 ⇒ A = P (QCQ
− 1 )P
− 1 = (P Q)C(P Q)
− 1 .
cqd.
Defini¸c˜ao: Uma matriz quadrada A ´e diagonaliz´avel se A ´e semelhante a uma matriz diagonal.
Proposi¸c˜ao 2: Seja k um corpo e seja A ∈ Mn(k). Ent˜ao, A ´e diagonaliz´avel se e somente se
k
n possui uma base formada por auto-vetores de A.
Demonstra¸c˜ao:
Suponha que B = {v 1 , v 2 , ..., vn} ´e uma base de k
n formada por auto-vetores de A, isto ´e:
Avi = λivi, i = 1, 2 , ..., n, para certos escalares λi em k.
Seja P , a matriz cuja i-´esima coluna ´e o vetor coluna vi, i = 1, 2 , ..., n. Como {v 1 , v 2 , ..., vn} ´e l.i. ,
temos que det(P ) 6 = 0 ⇒ P ´e invert´ıvel. Ent˜ao:
P
− 1 AP = P
− 1 [Av 1 Av 2 ... Avn] = P
− 1 [λ 1 v 1 λ 2 v 2 ... λnvn] = P
− 1 [v 1 v 2 ... vn] ︸ ︷︷ ︸ P
Λ , onde
λ 1 0... 0
0 λ 2... 0
. . .
0 0... λn
. Logo, P
− 1 AP = Λ ⇒ A ´e diagonaliz´avel.
Por outro lado, se A ´e diagonaliz´avel e λ 1 , λ 2 , ..., λn s˜ao os auto-valores de A, ent˜ao P
− 1 AP = Λ,
para alguma matriz invert´ıvel P , onde Λ ´e a matriz descrita acima. Portanto, AP = P Λ.
Suponha que P = [v 1 v 2 ... vn] , onde vi ´e a i-´esima coluna de P (i = 1, 2 , ..., n).
Temos que vi ´e um vetor coluna de k
n ∀ i ∈ { 1 , 2 , ..., n} e, como P ´e invert´ıvel, segue que
B = {v 1 , v 2 , ..., vn} ´e l.i. ⇒ B ´e uma base de k
n .
Ent˜ao,
AP = A[v 1 v 2 ... vn] = [v 1 v 2 ... vn] Λ = [λ 1 v 1 λ 2 v 2 ... λnvn] ⇒ Avi = λivi ∀ i ∈ { 1 , 2 , ..., n} ⇒ B ´e
formada por auto-vetores de A.
cqd.
Proposi¸c˜ao 3: Seja A ∈ Mn(k). Se A possui n auto-valores, todos distintos, ent˜ao A ´e diago-
naliz´avel.
Demonstra¸c˜ao:
Suponha que λ 1 , λ 2 , ... λn s˜ao os auto-valores de A, com λi 6 = λj , para i 6 = j. Para cada
i ∈ { 1 , 2 , ..., n}, seja vi um auto-vetor associado ao auto-valor λi, isto ´e: Avi = λivi, i = 1, 2 , ..., n.
Pela Proposi¸c˜ao 2, basta mostrar que B = {v 1 , v 2 , ..., vn} ´e uma base de k
n , ou seja, que B ´e
um conjunto l.i.
Suponha, por absurdo, que B ´e l.d.
Ent˜ao, existem escalares α 1 , α 2 , ...αn, em k, n˜ao todos nulos, tais que α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αnvn = 0.
Reindexando os vetores vi, podemos supor que
∑s
i=
αivi = 0, onde 1 ≤ s ≤ n e αi 6 = 0 ∀ i ∈
{ 1 , 2 , ..., s}. Seja w o menor inteiro com essa propriedade, ou seja,
∑w
i=
αivi = 0, com αi 6 = 0 e, se
j < w, ent˜ao
∑j
i=
αivi 6 = 0.
Temos que A
∑w
i=
αivi =
∑w
i=
A(αivi) =
∑w
i=
αi(Avi) =
∑w
i=
αiλivi = 0.
Al´em disso,
∑w
i=
αivi = 0 ⇒ λw(
∑w
i=
αivi) = 0 ⇒
∑w
i=
λwαivi = 0.
Portanto,
∑w
i=
αiλivi −
∑w
i=
λwαivi = 0 =⇒
w∑− 1
i=
αi (λi − λw)vi = 0, o que contradiz a
minimalidade de w, pois αi (λi − λw) 6 = 0 ∀ i = 1, 2 , ..., n. Logo, B ´e l.i. ⇒ A ´e diagonaliz´avel.
cqd.
Exerc´ıcio: Mostre que: se A ∈ Mn(k) ´e diagonaliz´avel e PA(x) = det(xI − A) ent˜ao PA(A) = 0.
Resolu¸c˜ao:
A ´e diagonaliz´avel ⇒ existe uma matriz Λ =
λ 1 0... 0
0 λ 2... 0
. . .
0 0... λn
tal que A ∼ Λ, ou seja:
existe P ∈ Mn(k), uma matriz invert´ıvel, tal que A = P ΛP
− 1 .
Afirma¸c˜ao 1: PA(A) = 0 ⇔ PA(Λ) = 0.
Prova: Suponha que P (x) = a 0 + a 1 x + ... + anx
n
. temos que:
PA(A) = 0 ⇔ a 0 I + a 1 A + ... + anA
n = 0.
a) V = ker(ϕ − λ 1 I)
n 1 ⊕ ker(ϕ − λ 2 I)
n 2 ⊕ · · · ⊕ ker(ϕ − λsI)
ns .
b) Vi = ker(ϕ − λiI)
ni ´e invariante sobre ϕ, ou seja: ϕ(Vi) ⊆ Vi ∀ i = 1, 2 , ..., s.
Demonstra¸c˜ao:
Afirma¸c˜ao: ∃ i ∈ { 1 , 2 , ..., s} tal que ker(ϕ − λiI)
ni (^6) = { 0 }.
Prova: Suponha, por absurdo, que ker(ϕ − λj I)
nj = { 0 } ∀ j ∈ { 1 , 2 , ..., s}.
Ent˜ao, (ϕ − λj I)
nj : V → V ´e invert´ıvel ∀ j ∈ { 1 , 2 , ..., s}. Portanto,
P (ϕ) = (ϕ − λ 1 I)
n 1 ◦ (ϕ − λ 2 I)
n 2 ◦ ... ◦ (ϕ − λsI)
ns ´e uma composi¸c˜ao de operadores invert´ıveis
⇒ P (ϕ) ´e invert´ıvel (o que ´e um absurdo, pois P (ϕ) = 0).
Portanto, ∃ i ∈ { 1 , 2 , ..., s} tal que ker(ϕ − λiI)
ni (^6) = { 0 }.
Suponha, sem perda de generalidade, que ker(ϕ − λ 1 I)
n 1 (^6) = { 0 }.
Sejam f (x) = (x − λ 1 )
n 1 , g(x) = (x − λ 2 )
n 2 ...(x − λs)
ns ∈ k[x].
Temos que mdc(f (x), g(x)) = 1. Logo, pelo teorema de B´ezout, Existem A(x) , B(x) ∈ k[x]
tais que A(x)f (x) + b(x)g(x) = 1 ⇒ A(ϕ)f (ϕ) + B(ϕ)g(ϕ) = I. Portanto, v = I(v) =
A(ϕ)(f (ϕ)(v)) + b(ϕ)(g(ϕ)(v)) ∀ v ∈ V.
Se v ∈ ker f (ϕ) ⇒ A(ϕ)(f (ϕ)(v)) = A(ϕ)(0) = 0 ⇒ v = b(ϕ)(g(ϕ)(v)) = g(ϕ)(b(ϕ)(v)) ⇒
v ∈ Im g(ϕ). Por outro lado, se v ∈ Im g(ϕ) ⇒ ∃ w ∈ V tal que v = g(ϕ)(w) ⇒ f (ϕ)(v) =
f (ϕ)(g(ϕ)(w)) = P (ϕ)(w) = 0 ⇒ v ∈ ker P (ϕ).
Logo, Im g(ϕ) = ker f (ϕ) e, analogamente, Im f (ϕ) = ker g(ϕ).
Se dim V = 1, temos que ker (ϕ − λ 1 I)
n 1 (^6) = { 0 } ⇒ ∃ v ∈ V, v 6 = 0, tal que (ϕ − λiI) ni (v) = 0.
Mas {v} ´e uma base de V (pois dim V = 1) ⇒ (ϕ − λ 1 I)
n 1 ≡ 0 ⇒ V = ker(ϕ − λ 1 I)
n 1
ker f (ϕ) = Im g(ϕ).
⇒ g(ϕ) = (ϕ − λ 2 )
n 2 ◦ (ϕ − λ 3 )
n 3 ◦ ... ◦ (ϕ − λs)
ns ´e invert´ıvel ⇒ (ϕ − λi)
ni ´e invert´ıvel
∀ i ∈ { 2 , 3 , ..., s}. Logo, ker(ϕ − λiI)
ni = { 0 } ∀ i ∈ { 2 , 3 , ..., s} e, portanto, temos que V =
ker(ϕ − λ 1 I)
n 1 ⊕ ker(ϕ − λ 2 I)
n 2 ⊕ ... ⊕ ker(ϕ − λsI)
ns
. Al´em disso,
ϕ(V 1 ) = ϕ(ker(ϕ − λ 1 I)
n 1 ) = ϕ(V ) ⊆ V = V 1 e, portanto, o teorema est´a provado.
Suponha, agora, que dim V = n > 1 e que o teorema ´e v´alido para espa¸cos de dimens˜ao menor
do que n.
Vimos que A(ϕ)f (ϕ) + b(ϕ)g(ϕ) = I ⇒ V = I(V ) = f (ϕ)(A(ϕ)(V )) + g(ϕ)(B(ϕ)(V )) ⇒ V =
Im f (ϕ) + Im g(ϕ).
Como Im f (ϕ) = ker g(ϕ), segue que V = ker g(ϕ)) + Im g(ϕ) e, como dim V = dim ker g(ϕ) +
dim Im g(ϕ), segue que V = ker g(ϕ) ⊕ Im g(ϕ) ⇒ V = ker f (ϕ) ⊕ ker g(ϕ).
Temos que ϕ(V ) ⊆ V ⇒ f (ϕ)(ϕ(V )) ⊆ f (ϕ)(V ) ⇒ ϕ(f (ϕ)(V )) ⊆ f (ϕ)(V ) ⇒
ϕ(Im f (ϕ)) ⊆ Im f (ϕ) ⇒ ϕ(ker(g(ϕ))) ⊆ ker(g(ϕ)). Analogamente, conclui-se que ϕ(ker f (ϕ)) ⊆
ker f (ϕ).
Temos, ainda, que dim ker g(ϕ) < n, pois dim ker f (ϕ) 6 = 0. Logo, se considerarmos a restri¸c˜ao
ϕ
′ = ϕ| : ker g(ϕ) → ker g(ϕ), temos que g(ϕ
′ ) = 0. Portanto, pela hip´otese de indu¸c˜ao, segue que
ker g(ϕ) = ker(ϕ − λ 2 I)
n 2 ⊕ ... ⊕ ker(ϕ − λsI)
ns e ϕ(ker(ϕ − λi)
ni ) ⊆ ker(ϕ − λi)
ni ∀ i ∈ { 2 , ..., s}.
Logo, V = V 1 ⊕ V 2 ⊕ ... ⊕ Vs e ϕ(Vi) ⊆ Vi ∀ i = 1, 2 , ..., s, onde Vi = ker(ϕ − λiI)
ni (o que conclui a
demonstra¸c˜ao do teorema). cqd.
Observa¸c˜ao: Se ker (ϕ − λiI)
ni (^6) = { 0 }, ent˜ao existe v ∈ V tal que (ϕ − λiI) ni (v) = 0. Podemos
tomar p, o expoente m´ınimo para o qual (ϕ − λiI)
p (v) = 0.
E claro que^ ´ p ≥ 1. Portanto, podemos considerar v′^ = (ϕ − λ iI)
p− 1 (v) 6 = 0.
Note que (ϕ − λiI)(v
′ ) = ϕ(v
′ ) − λiv
′ = 0 ⇒ ϕ(v
′ ) = λiv
′ ⇒ λi ´e auto-valor de ϕ.
Portanto, os poss´ıveis polinˆomios P (x) tais que P (ϕ) = 0 s˜ao da forma
P (x) = (x−λ 1 )
n 1 (x−λ 2 )
n 2 ...(x−λt)
nt g(x), onde g(x) ∈ k[x] e λ 1 , λ 2 ,... , λt s˜ao os auto-valores de ϕ.
2 Formas de Jordan
Sejam k, um corpo algebricamente fechado, e V , um espa¸co vetorial de dimens˜ao n sobre k.
Defini¸c˜ao: Um bloco de Jordan Js(λ) ´e uma matriz em Ms(k) dada por:
Js(λ) =
λ 1 0... 0
0 λ 1... 0
. . .
0 0 0... λ
, ou seja: (Js(λ))ij =
λ, se i = j.
1 , se j = i + 1.
0 , caso contr´ario.
Defini¸c˜ao: Uma matriz J ∈ Mn(k) ´e uma matriz de Jordan se J ´e formada por blocos de Jordan
Jn 1 (λ 1 ), Jn 2 (λ 2 ), ..., Jns (λs), colocados sob forma diagonal da seguinte forma:
J =
Jn 1 (λ 1 ) 0... 0
0 Jn 2 (λ 2 )... 0
. . .
0 0... Jns (λs)
J tamb´em ´e denotada por Jn 1 (λ 1 ) ⊕ Jn 2 (λ 2 ) ⊕ ... ⊕ Jns (λs) =
⊕s
i=
Jni.
Teorema 3: Seja ϕ : V → V , um operador linear nilpotente ( isto ´e: existe p ∈ N tal que
ϕ
p ≡ 0). Ent˜ao, existe uma base B, de V , tal que a matriz de ϕ, com rela¸c˜ao `a base B, ´e dada por:
[ϕ]B = Jn 1 (0) ⊕ Jn 2 (0) ⊕ ... ⊕ Jns (0), para certos naturais ni.
Demonstra¸c˜ao:
Suponha que o ´ındice de nilpotˆencia de ϕ seja s + 1, ou seja: ϕ
s+ = 0 e ϕ
s 6 = 0. Temos que
ϕ(V ) ⊇ ϕ
2 (V ) ⊇ ... ⊇ ϕ
s (V ).
Seja V 0 = ker ϕ e, para 1 ≤ i ≤ s, seja Vi = ker ϕ ∩ ϕ
i (V ). Observe que Vi ´e subespa¸co de
V ∀ i ∈ { 0 , 1 , ..., s} e Vo ⊇ V 1 ⊇ ... ⊇ Vs.
Seja Bs = {es, 1 , es, 2 , ..., es,ns } uma base de Vs e, para 0 < q ≤ s, seja
Bq− 1 = Bq ∪ {eq− 1 , 1 , eq− 1 , 2 , ..., eq− 1 ,nq− 1 } uma base de Vq− 1.
Ent˜ao, B 0 = {ei,m : 0 ≤ i ≤ s, 1 ≤ m ≤ ni} ´e base de V 0.
Para cada par (i, m), temos que ei,m ∈ Vi ⇒ ei,m ∈ ϕ
i (V ) ⇒ ∃ fi,m ∈ V tal que ϕ
i (fi,m) = ei,m.
Ent˜ao, X = Z + W ∈ 〈B
∗ i+1〉^ ⇒^ ker^ ϕ
i+ ´e gerado por B
∗ i+1.
Para concluirmos a demonstra¸c˜ao do Lema, resta mostrar que B
∗ i+1 ´e l.i.
Suponha que
∑s
j=
nj ∑
m=
∑^ j
t=u
μj,m,t ϕ
t (fj,m) = 0, onde u = m´ax{ 0 , j − i + 1}.
Considere a seguinte identifica¸c˜ao: Para cada j, m, t ,
ϕ
t (fj,m) ≡ vj,m,q
μj,m,t ≡ αj,m,q
onde q = j − t =⇒ 0 ≤ q ≤ s
Ent˜ao, pela identifica¸c˜ao acima, podemos escrever:
∑s
q=
∑^ s
j=
nj ∑
m=
αj,m,t vj,m,q = 0.
Para cada w = 1, 2 , ..., s, temos:
∑w
q=
∑^ s
j=
nj ∑
m=
αj,m,q vj,m,q = 0 ⇒ ϕ
w (
∑w
q=
∑^ s
j=
nj ∑
m=
αj,m,t vj,m,q) = 0.
∑w
q=
∑^ s
j=
∑^ nj
m=
αj,m,q ϕ
w (vj,m,q) = 0. Por´em, ϕ
w (vj,m,q) 6 = 0 ⇒ ϕ
w (ϕ
j−q (fj,m)) 6 = 0
⇒ j ≥ j − q + w ⇒ q ≥ w ⇒ q = w. Logo,
∑s
j=
nj ∑
m=
αj,m,w ϕ
w (vj,m,w) ︸ ︷︷ ︸ ej,m
⇒ αj,m,w = 0 ∀ j, m, pois {ej,m : 0 ≤ j ≤ s , 1 ≤ m ≤ nj } ´e l.i.
Ent˜ao, temos que
w∑− 1
q=
∑^ s
j=
nj ∑
m=
αj,m,qvj,m,q = 0. Aplicando esse procedimento para
w = s , s − 1 , ..., 1 , 0, nessa ordem, obtemos αj,m,q = 0 ∀ j, m, q ⇒ μj,m,t = 0 ∀ j, m, t
⇒ B
∗ i+1 ´e l.i.^ , o que conclui o^ Lema.
Em particular, para i = s, temos que ker ϕ
i+ = V =⇒ B
∗ s+1 ´e base de^ V^. Temos que
B
∗ s+1 =^ {ϕ
t (fj,m) : 0 ≤ j ≤ s , 1 ≤ m ≤ nj e m´ax{ 0 , j − s} ≤ t ≤ j }, ou seja:
B
∗ s+1 =^ {ϕ
t (fj,m) : 0 ≤ j ≤ s , 1 ≤ m ≤ nj e 0 ≤ t ≤ j }.
Considere B, o conjunto B
∗ i+1, ordenado da seguinte forma:
Sejam ϕ
t 1 (fj 1 ,m 1 ), ϕ
t 2 (fj 2 ,m 2 ) ∈ B
∗ i+1 e sejam^ P^ (j^1 , m^1 , t^1 )^ , P^ (j^2 , m^2 , t^2 ) as posi¸c˜oes ocupadas por
ϕ
t 1 (fj 1 ,m 1 ), ϕ
t 2 (fj 2 ,m 2 ) em B respectivamente.
- Se j 1 > j 2 , ent˜ao P (j 1 , m 1 , t 1 ) > P (j 2 , m 2 , t 2 )
- Se j 1 = j 2 e m 1 > m 2 , ent˜ao P (j 1 , m 1 , t 1 ) > P (j 2 , m 2 , t 2 )
- Se j 1 = j 2 e m 1 = m 2 e t 1 > t 2 , ent˜ao P (j 1 , m 1 , t 1 ) < P (j 2 , m 2 , t 2 )
Dessa forma, obtemos a seguinte seq¨uˆencia de vetores:
f 0 , 1 , f 0 , 2 ,... , f 0 ,n 0 , ϕ(f 1 , 1 ) , f 1 , 1 , ϕ(f 1 , 2 ) , f 1 , 2 ,... , ϕ(f 1 ,n 1 ) , f 1 ,n 1 , ϕ
2 (f 2 , 1 ) , ϕ(f 2 , 1 ) , f 2 , 1 ,
ϕ
2 (f 2 , 2 ) , ϕ(f 2 , 2 ) , f 2 , 2 ,... , ϕ
2 (f 2 ,n 2 ) , ϕ(f 2 ,n 2 ) , f 2 ,n 2 ,...
, ϕ
s (fs, 1 ) , ϕ
s− 1 (fs, 1 ) ,... , ϕ(fs, 1 ) , fs, 1 , ϕ
s (fs, 2 ) , ϕ
s− 1 (fs, 2 ) ,... , ϕ(fs, 2 ) , fs, 2...
, ϕ
s (fs,ns ) , ϕ
s− 1 (fs,ns ) ,... , ϕ(fs,ns ) , fs,ns
Afirma¸c˜ao: [ϕ]B =
⊕s
i=
⊕ni
m=
Ji(0)). Basta notar que, para cada par j, m a seq¨uˆencia
ϕ
j (fj,m) , ϕ
j− 1 (fj,m) ,... , , ϕ(fj,m) , fj,m determina um bloco de Jordan Jj (0) na matriz [ϕ]B.
Um outro fato que podemos concluir ´e que o n´umero de blocos de Jordan da matriz [ϕ]B ´e dado
por n 0 + n 1 + · · · + ns = dim ker ϕ.
Com isso, conclu´ımos a demonstra¸c˜ao do teorema.
cqd.
Teorema 4(Forma de Jordan): Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita n e seja ϕ : V → V ,
um operador linear. Ent˜ao existe uma base B de V tal que [ϕ]B ´e uma matriz de Jordan.
Demonstra¸c˜ao:
Pela observa¸c˜ao do Teorema 2 , existe um polinˆomio P (x) = (x − λ 1 )
n 1 (x − λ 2 )
n 2 ...(x − λs)
ns
tal que P (ϕ) = 0, onde λ 1 , λ 2 ,... , λs s˜ao os auto-valores de ϕ.
Pelo Teorema 2, temos que V = V 1 ⊕ V 2 ⊕ · · · ⊕ Vs , onde Vi = ker(ϕ − λiI)
ni e
ϕ(Vi) ⊆ Vi ∀ i = 1, 2 , ..., s. Portanto, se Bi ´e base de Vi, temos que B =
⋃s
i=
Bi ´e base de V.
Como ϕ(Vi) ⊆ Vi ∀ i = 1, 2 , ..., s, a matriz de [ϕ]B ´e da forma A 1 ⊕ A 2 ⊕ · · · ⊕ As, onde
Ai = [ϕi]Bi ´e a matriz de ϕi = ϕ|Vi : Vi → Vi , na base Bi. Al´em disso, para cada i = 1, 2 , ..., s,
o operador ϕ − λiI ´e nilpotente (Pois (ϕ − λ 1 I)
n 1 = 0). Portanto, pelo teorema 3, podemos escolher,
para cada i, uma base B
′ i, de^ Vi, tal que^ [ϕi^ −^ λiI]B′ i =^ Ji,^1 (0)^ ⊕^ Ji,^2 (0)^ ⊕^ ...^ ⊕^ Ji,ni (0)^ =⇒
[ϕi]B′ i
= Ji, 1 (λi) ⊕ Ji, 2 (λi) ⊕ ... ⊕ Ji,ni (λi).
Portanto, tomando B
′
⋃s
i=
B
′ i, teremos^ [ϕ]B′^ =^
⊕s
i=
⊕ni
m=
Ji,m(λi)).
cqd.
Exerc´ıcio: Encontre uma matriz de Jordan para a matriz complexa
A =
Por ”uma matriz de Jordan para a matriz A”entenda-se:
uma matriz de Jordan semelhante `a A.
[(ϕ − 2 I)
3 ]can =
(ϕ − 2 I)
3 (V 1 ) possui uma base
cujo ´unico elemento ´e:
g
3 (w 3 ) = (0, 0 , 0 , 0 , − 9 / 10 , − 3 /10)
Portanto, uma base para D 3 ´e B
′ 3 =^ {(0,^0 ,^0 ,^0 ,^ −^9 /^10 ,^ −^3 /10)}^ =^ {g
3 (w 3 )}.
[(ϕ − 2 I)
2 ]can =
(ϕ − 2 I)
2 (V 1 ) possui uma
base cujos elementos s~ao:
g
2 (w 1 ) = (0, 0 , 0 , − 6 / 10 , 1 , 4 /10)
g
2 (w 2 ) = (0, 0 , 0 , − 9 / 10 , 0 , 1 /10)
Portanto, uma base para D 2 ´e B
′ 2 =^ {(0,^0 ,^0 ,^0 ,^ −^9 /^10 ,^ −^3 /10)}^ =⇒^ D^2 =^ D^3.
[ϕ − 2 I]can =
(ϕ − 2 I)(V 1 ) possui uma base cujos
elementos s~ao:
g(w 1 ) = (0, − 6 / 10 , 6 / 10 , 1 , 4 / 10 , 0)
g(w 3 ) = (0, − 9 / 10 , 9 / 10 , 0 , 1 / 10 , 0)
g(w 4 ) = (0, 27 / 10 , − 27 / 10 , 0 , 27 / 10 , 1)
Logo, uma base para D 1 ´e B
′ 1 =^ {(0,^0 ,^0 ,^0 ,^ −^9 /^10 ,^ −^3 /10)}^ =^ {g
3 (w 3 )}.
Portanto, {(0, 0 , 1 , − 1 , 0 , 0) , g
3 (w 3 )} ´e base de D 0.
Pelo Teorema 3, temos que B = {(0, 0 , 1 , − 1 , 0 , 0), g
3 (w 3 ), g
2 (w 3 ), g(w 3 ), w 3 )} ´e base de V 1 e
[ϕ − 2 I]B ´e uma matriz de Jordan.
Segue que [ϕ|V 1 ]B =
Para o espa¸co V 2 , temos que [ϕ|V 2 ]B 2 = [−1]
Portanto, tomando B
∗ = B ∪ B 2 , obtemos [ϕ]B∗ =
Defini¸c˜ao: Seja A ∈ Mn(k). O espectro de A ´e o conjunto cujos elementos s˜ao os auto-valores de
A e ´e denotado por Spec A.
Teorema 5: Seja A ∈ Mn(k) e seja J uma matriz de Jordan de A. Ent˜ao J ´e ´unica, a menos de
permuta¸c˜oes de seus blocos.
Demonstra¸c˜ao:
Seja v(λ, s) o n´umero de blocos Js(λ) que aparecem em J e, para cada t ∈ N , seja r(λ, t) o
posto da matriz (A − λI)
t , com λ ∈ Spec A.
Temos que J =
λ ∈ Spec A
s
v(λ, s)Js(λ)) , para determinados valores de s.
Vamos calcular r(λ, t) , t ∈ N.
Seja pt (M ), o posto da matriz M ∈ Mn(k). Como o posto de matrizes semelhantes ´e o mesmo,
para calcular r(λ, t), basta calcular pt ((J − λI)
t ).
Temos que pt ((J − λI)
t ) =
μ ∈ Spec A
s
v(μ, s) pt (Js(μ − λ)
t ).
Para cada s, temos que:
- Se μ 6 = λ, como Js(μ − λ) ´e uma matriz triangular, ent˜ao det Js(μ − λ) = (μ − λ)
s 6 = 0.
Como det B 1 ∗ B 2 = det B 1 ∗ det B 2 ∀ B 1 , B 2 ∈ Mn(k), segue que det Js(μ − λ)
t 6 = 0 ⇒
Js(μ − λ)
t ´e invert´ıvel ⇒ pt (Js(μ − λ)
t ) = s.
- Se μ = λ e t < s ⇒ pt (Js(μ − λ)
t ) = s − t.
- Se μ = λ e t ≥ s ⇒ pt (Js(μ − λ)
t ) = 0.
Resumindo:
pt (Js(μ − λ)
t ) =
s, se μ 6 = λ.
s − t, se μ = λ e s > t.
0 , se μ = λ e s ≤ t.
Obs: A proposi¸c˜ao acima tamb´em ´e v´alida para t = 0.
Para t ≥ 1, temos, portanto, que:
pt (Js(μ − λ)
t− 1 ) − pt (Js(μ − λ)
t ) =
0 , se μ 6 = λ.
1 , se μ = λ e s ≥ t
0 , se μ = λ e s < t
Portanto, r(λ, t − 1) − r(λ, t) =
μ∈ Spec A
s
v(μ, s) [pt (Js(μ − λ))
t− 1 − pt (Js(μ − λ))
t ] =
(A − 3 I)
2
⇒ r(3, 2) = 2
Temos que r(3, 0) = 4.
Portanto, v(3, 1) = 2 − 2 ∗ 2 + 4 = 2
Logo, a forma de Jordan de A ´e J =
Teorema 6(Cayley-Hamilton): Seja A ∈ Mn(k) e seja PA(x), o seu polinˆomio caracter´ıstico.
Ent˜ao, PA(A) = 0.
Demonstra¸c˜ao:
Seja J a Forma de Jordan de A e seja T tal que T AT
− 1 = J.
Temos que PA(A) = PA(T JT
− 1 ) = T (PA(J))T
− 1 .
Logo, PA(A) = 0 ⇔ PA(J) = 0. Como PA(x) = PJ (x), basta mostrar que PJ (J) = 0.
Suponha que Jn(λ) ´e um dos blocos de J. Devido `as considera¸c˜oes feitas na demonstra¸c˜ao do
Teorema 5, podemos supor que J = Jn(λ) ⊕ M , onde M tamb´em ´e uma matriz de jordan.
Note que PJ (J) = PJ (Jn(λ)) ⊕ PJ (M ) e que PJ (x) = PJn(λ)(x)×PM (x).
Logo, PJ (Jn(λ)) = PJn(λ)(Jn(λ))×PM (Jn(λ)). Por´em,
PJn(λ)(x) = (x − λ)
n ⇒ PJn(λ)(Jn(λ)) = (Jn(λ) − λI)
n = 0 =⇒ PJ (Jn(λ)) = 0.
Portanto, PJ (Jn(λ)) = 0, para todo bloco Jn(λ), de J =⇒ PJ (J) = 0, o que conclui o teorema.
cqd.
Bibliografia:
PE NA, Jos´˜ e Antonio de. Algebra lineal avanzada´. M´exico, DF : Universidad Nacional Aut´onoma
de M´exico : Fondo de Cultura Econ´omica, 1996.
