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Forma can´onica de Jordan
Prof. Paulo Pinto (D. Matem´atica, IST, sem 1, 2019/2020)
26 de Novembro de 2019 pelas 13:
Resumo J´a vimos que h´a matrizes que n˜ao s˜ao diagonaliz´aveis (portanto, matrizes n˜ao semelhantes a matrizes diagonais). Nestas notas, vamos mostrar que (ver Teorema 1.6) qualquer matriz quadrada A ´e semelhante a uma matriz quase diagonal, designada por forma can´onica de Jordan J (que coincide com a matriz diagonal no caso da matriz A ser diagonaliz´avel). Na Sec. 1.1, indicamos dois m´etodos para obter essa matriz J e uma matriz invert´ıvel S tais que
S−^1 AS = J,
seguido de diversos exemplos (ver Sec. 1.2).
Conte´udo
1 Forma Can´onica de Jordan 1 1.1 M´etodo(s) para encontrar a forma can´onica de Jordan...................................... 8 1.2 Exemplos............................................................... 10 1.3 Exerc´ıcios............................................................... 15
´Indice alfab´etico 15
1 Forma Can´onica de Jordan
A forma can´onica de Jordan^1 tem naturalmente um papel importante em Algebra Linear assim como em diversas´ aplica¸c˜oes (como por exemplo, nas equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem).
Defini¸c˜ao 1. Uma matriz m × m da forma
Jm(λ) =
λ 1 0 · · · 0 0 0 λ 1 · · · 0 0 .. .
0 0 0 · · · λ 1 0 0 0 · · · 0 λ
diz-se bloco de Jordan (associado a λ) de tamanho m. Dizemos que uma matriz J est´a na forma can´onica de Jordan se ´e diagonal por blocos e cada bloco ´e um bloco de Jordan, i.e. J est´a na forma can´onica de Jordan se
J =
Jn 1 (λ 1 ) 0 · · · 0 0 Jn 2 (λ 2 ) · · · 0 .. .
0 0 · · · Jnk (λk)
Jn 1 (λ 1 ) Jn 2 (λ 2 )
... Jnk (λk)
=diag (Jn 1 (λ 1 ), ..., Jn 1 (λk))
(^1) Marie Camille Jordan (1838–1922)
para inteiros n 1 , ..., nk e escalares λ 1 , ..., λk, onde cada 0 representa uma matriz nula. A matriz J ´e do tipo n × n onde n = n 1 + ... + nk.
Exemplo 1. As matrizes
J 1 (λ) = [λ], J 2 (λ) =
[
λ 1 0 λ
]
, J 3 (λ) =
λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ
s˜ao blocos de Jordan que, naturalmente, est˜ao em forma can´onica de Jordan. A matriz
est´a em forma can´onica de Jordan; tem 3 blocos de Jordan: J 2 (−2), J 3 (5)
e J 1 (−2).
Uma quest˜ao que podemos colocar ´e a de saber quais as matrizes A que s˜ao semelhantes a matrizes na forma can´onica de Jordan, portanto se, dada A, existe S invert´ıvel tal que
S−^1 AS = J (1)
para alguma matriz J em forma can´onica de Jordan, como na Def. 1.1. Os polin´omios caracter´ısticos de A e J coincidem, pelos que λ 1 , ..., λk s˜ao os valores pr´oprios de A (eventualmente repetidos) cuja multiplicidade alg´ebrica ´e igual `a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan onde esse valor pr´oprio aparece repetido. No exemplo 1.2, temos p(λ) = (λ + 2)^3 (λ − 5)^3. Note que a Eq. (1) pode ser ecrita AS = SJ. Sendo v 1 , ...vn 1 as primeiras n 1 colunas de S, ent˜ao AS = SJ diz-nos que, para o primeiro bloco de Jordan Jn 1 (λ 1 ) e para simplificar a exposi¸c˜ao usamos λ = λ 1 e m = n 1 , temos
Av 1 = λv 1 , Av 2 = λv 2 + v 1 , ..., Avm = λvm + vm− 1. (2)
Podemos escrever um conjunto de equa¸c˜oes para cada um dos blocos de J. Notemos que sendo T a transforma¸c˜ao linear dada pela matriz A (na base can´onica), T x = Ax, a existˆencia de uma tal matriz S ´e equivalente `a existˆencia de uma base B = {v 1 , ....vn} de Rn^ (ou Cn) na qual a representa¸c˜ao matricial de T na base B seja a matriz J. A Eq. (2) pode ser reescrita como se segue
(A − λI)v 1 = 0, (A − λI)v 2 = v 1 , ..., (A − λI)vm = vm− 1. (3)
Como (A − λI)v 1 = 0, podemos aplicar (A − λI) `a equa¸c˜ao (A − λI)v 2 = v 1 e obter (A − λI)^2 v 2 = 0 e assim sucessivamente, obtendo-se
(A − λI)^2 v 2 = 0, (A − λI)^3 v 3 = 0, ..., (A − λI)mvm = 0.
Estas considera¸c˜oes motivam a seguinte defini¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 1. Seja λ um valor pr´oprio de A. Os vectores n˜ao nulos de
G(λ) = {v : (A − λI)mv = 0 para algum m}
s˜ao os vectores pr´oprios generalizados do valor pr´oprio λ e G(λ) ´e o espa¸co pr´oprio generalizado de λ.
Note que (A − I)^2 = 0 pelo que, G(λ) = G(λ, 2) = R^3. Para encontrar as 3 colunas de S, vamos resolver as equa¸c˜oes (4). Para um dado vector pr´oprio v 1 de A associado a λ = 1, temos que encontar
v 2 tal que (A − I)v 2 = v 1. Seja, por exemplo, v 1 =
; ent˜ao (A − I)v 2 = v 1 n˜ao tem solu¸c˜oes,
pois v 1 ∈ C/ (A − I) uma vez que C(A − I) = L({(− 1 , − 1 , 2)}). E claro que podemos ent˜´ ao escolher
v 1 =
(^) e resolvendo a equa¸c˜ao (A − I)v 2 = v 1 obtemos
a b c
(^) ⇔ a + b + c = 1 ⇔
a b c
(^) + b
(^) + c
Podemos ent˜ao considerar v 2 = (1, 0 , 0). Falta o terceiro vector w 1 , que pode ser qualquer vector pr´oprio de 1 que juntamente com v 2 forme uma base para o espa¸co pr´oprio associado a 1, por exemplo w 1 = (− 1 , 1 , 0). Assim temos uma base ordenada {w 1 , v 1 , v 2 } de G(λ) e a matriz (invert´ıvel) S cujas 1 a, 2a^ e 3a^ colunas s˜ao w 1 , v 1 , v 2 , respectivamente, satisfaz:
S−^1 AS = J onde J =
(^) e S =
Obtivemos 1 cadeia de Jordan w 1 de comprimento 1 e 1 cadeia de Jordan v 1 , v 2 de comprimento 2:
w 1 A−I^0 e v 2 A−I^ v 1 A−I 0.
No Exemplo 1.4, a troca dos dois blocos de Jordan J 2 (1) e J 1 (1) (na primeira matriz J indicada en cima) implica a reordena¸c˜ao da base de G(λ), ficando {v 1 , v 2 , w 1 } (e que se traduz na correspondente troca de colunas de S). Indicamos na Sec¸c˜ao 1.1 outra estrat´egia para construir as matrizes J e S (cf. este Exemplo 1.4 com o Exemplo 1.12).
Defini¸c˜ao 1. Dizemos que um subespa¸co linear W ´e invariante para A (ou ent˜ao para a transforma¸c˜ao linear T definida por T x = Ax) se Aw ∈ W para todo o w ∈ W , escrevendo-se A(W ) ⊆ W.
Como A comuta com A − λI temos que G(λ, 1) ´e um subespa¸co invariante para A. Mais geralmente, como A comuta com (A − λI)j^ para qualquer j, G(λ, j) e G(λ) s˜ao subespa¸cos invariantes para A. Se v 1 , ...., vm ´e uma cadeia de Jordan, ent˜ao o subespa¸co linear gerado L({v 1 , ..., vm}) pelos vectores ´e um subespa¸co invariante para A. Podemos definir vectores pr´oprios generalizados, cadeias de Jordan no contexto de transforma¸c˜oes lineares T : V → V , onde V ´e um esp¸co linear de dimens˜ao finita. Se W ´e um subespa¸co invariante para T (i.e. T (W ) ⊆ W ), podemos considerar a restri¸c˜ao T |W : W → W. Assim se λ um valor pr´oprio de T |W (e portanto de qualquer representa¸c˜ao matricial de T |W ) ent˜ao λ tamb´em valor pr´oprio de T (e portanto de uma qualquer representa¸c˜ao matricial de T ) e os vectores pr´oprios generalizados de T |W tamb´em s˜ao vectores pr´oprios generalizados de T. Toda a cadeia de Jordan de T |W tamb´em ´e uma cadeia de Jordan para T. Recordamos que um subespa¸co linear V 2 ´e um complemento de V 1 num espa¸co linear V se V = V 1 + V 2 e V 1 ∩ V 2 = { 0 }. Uma forma de encontrar V 2 ´e come¸car por fixar uma base B 1 de V 1 e acrescentar vectores w 1 , ..., wr de V tais que B 1 ∪ {w 1 , ..., wr} seja uma base para V. Ent˜ao V 2 = L({w 1 , ..., wr}) ´e um complemento V 1 em V (significa isto que V 1 ⊕ V 2 = V ).
Teorema 1.6 (Forma Can´onica de Jordan) Se A ´e uma matriz n × n, ent˜ao existe uma matriz J em forma can´onica de Jordan e uma matriz S invert´ıvel tais que: S−^1 AS = J.
Demonstra¸c˜ao: Vamos usar a nota¸c˜ao Aλ = A − λI. Para provar que existem matrizes S e J tais que S−^1 AS = J, basta provar que existem cadeias de Jordan
v 1 ,n 1
Aλ 1 −−−−−→ · · ·
Aλ 1 −−−−−→ v 1 , 1
Aλ 1 −−−−−→ 0 .. .
vp,np
Aλp −−−−−→ · · ·
Aλp −−−−−→ vp, 1
Aλp −−−−−→ 0
tais que os vectores vij ’s formam uma base de Rn^ (ou de Cn^ no caso complexo). Vamos usar indu¸c˜ao em n. O caso n = 1 ´e trivial. Vamos assumir que o resultado ´e v´alido para matrizes de tamanho menor ou igual a n−1. Seja A matriz n×n e λ um valor pr´oprio de A. Ent˜ao dim r :=dim(N (A−λI)) 6 = 0 e portanto W = C(A − λI) tem dim(W ) = n − r ≤ n, porque dim(W )+dimE(λ) = n. Note que E(λ) = N (A − λI) ´e o espa¸co pr´oprio de A associado a λ. 1 o^ passo: temos A(W ) ⊆ W pois A comuta com A − λI, pelo que a podemos considerar a restri¸c˜ao T |W da transforma¸c˜ao T x = Ax a W. Como dim(W ) ≤ n, a hip´otese de indu¸c˜ao diz-nos que existem cadeias de Jordan
v 1 ,n 1
Aλ 1 −−−−−→ · · ·
Aλ 1 −−−−−→ v 1 , 1
Aλ 1 −−−−−→ 0 .. .
vk,nk
Aλk −−−−−→ · · ·
Aλk −−−−−→ vk, 1
Aλk −−−−−→ 0
tais que os vectores wij ’s formam uma base de W (onde continuamos a usar a nota¸c˜ao Aμ pois cada valor pr´oprio da restri¸c˜ao TW tab´em ´e um valor pr´oprio de A, assim como para vectores pr´oprios). 2 o^ passo: seja q = dim(W ∩ E(λ)). Como vj, 1 ∈ N (A − λj I), q das cadeias de Jordan acima descritas (digamos a primeiras q) s˜ao cadeias de Jordan associadas a λ. Por outro lado, vj,nj ∈ W = C(A − λI), com j = 1, ..., q, logo existem vectores vj tais que vj Aλ −−→ vj,nj (i.e. Aλvj = vj,nj , para j = 1, ...., q. 3 o^ passo: E(λ) tem dimens˜ao r e W ∩ E(λ) tem dimens˜ao q, portanto existe um subespa¸co linear Z de E(λ) de dimesn˜ao r − q cuja interse¸c˜ao com W ´e o vector nulo. Sejam z 1 , ...., zr−q uma base de Z. Acabamos de obter q + (n − r) + (r − q) = n vectores nas seguintes cadeias de Jordan:
y 1 −−^ A−λ−→ v 1 ,n 1 −−^ A−λ−→ · · · −−A−λ−→ v 1 , 1 −−^ A−λ−→ 0 .. .
yq Aλ −−−−→ vq,nq Aλ −−−−→ · · · Aλ −−−−→ vq, 1 Aλ −−−−→ 0 vq+1,nq+
Aλq+ −−−−−−→ · · ·
Aλq+ −−−−−−→ vq+1, 1
Aλq+ −−−−−−→ 0 .. .
vk,nk
Aλk −−−−−→ · · ·
Aλk −−−−−→ vk, 1
Aλk −−−−−→ 0 z 1 Aλ −−−−→ 0 .. .
zr−q Aλ −−−−→ 0 Falta provar que estes n vectores s˜ao linearmente independentes. Portanto consideremos escalares tais que ∑
i
aiyi +
i,j
bij vij
s
cszs = 0.
Defini¸c˜ao 1. O ´ındice do valor pr´oprio λ ´e m(λ) que ´e o maior dos tamanhos das matrizes blocos de Jordan associados ao valor pr´oprio λ; ou de forma equivalente, m(λ) ´e o menor inteiro tal que G(λ, m(λ)) = G(λ, m(λ)+1).
A prova do Teorema 1.7 indica-nos que m(λ) ≤ ma(λ) e que m(λ) ´e o menor natural tal que
G(λ, m(λ) − 1) 6 = G(λ, m(λ)) = G(λ, m(λ) + 1)
pois (Jm(λ)(λ) − λI)m(λ)−^1 6 = 0 mas (Jm(λ)(λ) − λI)m(λ)^ = 0.
Exemplo 1.
Por exemplo, a matriz
(^) tem λ = 7 como o seu ´unico valor pr´oprio. Como,
A− 7 I =
, (A− 7 I)^2 =
, (A− 7 I)^3 =
podemos concluir que dim(G(λ, 1)) = 1, dim(G(λ, 2)) = 3, dim(G(λ, 3)) = 3, dim(G(λ, 4)) = 3 e portanto m(λ) = 3 (onde λ = 7).
Para a matriz
, λ = 7 tamb´em ´e o ´unico valor pr´oprio e
dim(G(λ, 1)) = 1, dim(G(λ, 2)) = 2 e dim(G(λ, 3)) = 3
pelo que ma(λ) = 2.
Defini¸c˜ao 1. O ´ındice de um vector pr´oprio generalizado v ∈ G(λ) ´e o menor natural m tal que v ∈ G(λ, m).
Por exemplo, o ´ındice do vector nulo 0 ´e 1. Se v tem ´ındice m ent˜ao v /∈ G(λ, m − 1). Em seguida vamos indicar como construir cadeias de Jordan a partir de uma cadeia de Jordan.
Teorema 1. Seja vm vector de ind´ıce m associado ao valor pr´oprio λ de A. Considerem-se os vectores vm− 1 , ..., v 1 construidos a partir de vm tais que:
vm− 1 = (A − λI)vm, ..., v 1 = (A − λI)m−^1 vm.
Ent˜ao, para cada j = 1, ..., m, temos:
- vj tem ind´ıce j,
- v 1 , ..., vj ´e uma cadeia de Jordan de comprimento j.
Demonstra¸c˜ao: 1. Seja j = m − p. Note que vm−p = (A − λI)pvm. Assim, por um lado,
(A − λI)m−pvm−p = (A − λI)m−p(A − λI)pvm = (A − λI)mvm = 0
e por outro
(A − λI)m−p−^1 vm−p = (A − λI)m−pvm−p = (A − λI)m−p−^1 (A − λI)pvm = (A − λI)m−^1 vm 6 = 0
pelo que vj tem ´ındice j.
- Para simplificar seja Aλ = A − λI. Dada uma combina¸c˜ao linear
c 1 v 1 + .... + cmvm = 0
pretendemos provar que cada ci = 0. Por defini¸c˜ao, vm−i = Aiλvm, pelo que podem reescrever a combina¸c˜ao linear como c 1 Am λ −^1 vm + c 2 Am λ −^2 + ... + cm− 1 Aλvm + cmvm = 0.
Multiplicando esta equa¸c˜ao por Am λ −^1 e observando que Arλvm = 0 para r ≥ m e Am λ −^1 vm = v 1 6 = 0 a combina¸c˜ao linear fica reduzida a cmv 1 = 0
o que implica cm = 0, pois v 1 6 = 0. Portanto a nossa combina¸c˜a linear inicial fica
c 1 v 1 + .... + cm− 1 vm− 1 = 0.
Aplicando Am λ −^2 a esta combina¸c˜ao linear obtemos (analogamente) cm− 1 = 0. Continuando este processo leva-nos `a conclus˜ao desejada, de que de facto todos os ci’s s˜ao nulos.
1.1 M´etodo(s) para encontrar a forma can´onica de Jordan
Dada A matriz n × n, pretendemos construir uma matriz J na forma can´onica de Jordan e uma matriz invert´ıvel S tais que S−^1 AS = J.
Sabemos que o Teorema 1.6 garante que de tais matrizes existem. Cada bloco de Jordan est´a ssociado uma cadeia de Jordan, pelo que procuramos construir uma base ordenada de G(λ) formada por cadeias de Jordan associadas a λ (para cada valor pr´oprio λ de A) por forma a construir uma base de Rn^ (ou Cn^ no caso complexo) formada por cadeias de Jordan associadas aos diversos valores p´oprios de A. O n´umero de blocos de Jordan associados a um dado valor pr´oprio λ coincide com a sua multiplicidade geom´etrica mg(λ)=dim(G(λ, 1)) e que o bloco de Jordan de maior dimens˜ao ´e igual ao menor j tal que G(λ, j) = G(λ, j + 1), isto ´e, ´e igual ao ´ındice m(λ) de λ, como definido na Def. 1.8; mais,
dim(G(λ)) = dim(G(λ, m(λ)) = ma(λ)
ver Teoremas 1.6 e 1.7 donde tamb´em podemos concluir que cada vector de Rn^ pode ser escrito de uma forma ´unica como soma de vectores em cada espa¸co pr´oprio generalizado, pelo que
G(λ 1 ) ⊕ .... ⊕ G(λk) = Rn
onde λ 1 ,...,λk s˜ao os valores pr´oprios (distintos) de A (no caso complexo Cn). Em particular, se B 1 , ..., Br s˜ao conjuntos LI de vectores pr´oprio de generalizados associados a r valores pr´oprios de A (n˜ao necessariamente todos os valores pr´opios de A), ent˜ao B 1 ∪ ... ∪ Br s˜ao LI em Rn^ (ou Cn^ no caso complexo). Para encontrar as matrizes S invert´ıvel e J na forma can´onica de Jordan tais que S−^1 AS = J, podemos:
- Calcular o polin´omio caracter´ıstico de A e encontrar os seus valores pr´oprios (distintos dois a dois) λ 1 , ..., λk e respectivas multiplicidades alg´ebricas, portanto
p(λ) = (−1)n(λ − λ 1 )m^1 · · · (λ − λk)mk^ , ma(λ 1 ) = m 1 , ..., ma(λk) = mk e m 1 + ... + mk = n.
- 1o^ m´etodo: resolvemos a Eq. (3) para cada valor pr´oprio (em que cada solu¸c˜ao d´a origem a uma cadeias de Jordan) at´e encontramos uma base de Rn^ (ou Cn^ no caso complexo), em que cada cadeia de Jordan v 1 , ..., vm ´e constru´ıda a partir de primeiro vector v 1. (Ver o Exemplo 1.4.)
Vamos introduzir as tabelas de Young, que se usam em diversas aplica¸c˜oes, e que uma maneira de representar partic˜oes de uma dado inteiro e que nos ajudam a perceber melhor o algoritmo acima descrito. dado um natural n, se n = b 1 + b 2 + .... + bp
com b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ bp, ent˜ao a tabela de Young associada a (b 1 , ..., bp) ´e a tabela em que na coluna 1 tem b 1 caixas, a coluna 2 tem b 2 caixas,..., na coluna p tem bp caixas. Por exemplo, a tabela de Young de (3, 3 , 2 , 1 , 1) ´e
.
Fixemos um valor pr´oprio λ de A e considere-se a sucess˜ao (5):
a 1 , a 2 , .., am(λ), am(λ), ...
em que am(λ) = ma(λ). Seja
b 1 = a 1 , b 2 = a 2 − a 1 , ..., bj = aj − aj− 1 , ..., bm(λ) = am(λ) − am(λ)− 1 , bm(λ)+1 = 0, ... (8)
Ora, (b 1 , b 2 , ..., bm(λ)) ´e uma tabela de Young e, pela defini¸c˜ao dos bj ’s,
ma(λ) = b 1 + ... + bm(λ).
Cada linha da tabela de Young (b 1 , b 2 , ..., bm(λ)) ´e uma cadeia de Jordan de comprimento igual ao n´umero de caixas nessa linha, em que a primeira tem comprimento m(λ). Al´em disso, temos b 1 blocos de Jordan associados a λ. Finalmente, se definirmos
c 1 = a 1 − a 2 , c 2 = a 2 − a 3 , ..., cm(λ)− 1 = bm(λ)− 1 − bm(λ), cm(λ) = bm(λ), (9)
ent˜ao cj d´a-nos o n´umero de blocos do tipo j × j associados a λ. Portanto a sucess˜ao (ak)k∈N, onde ak = dim(N (A − λI)k) determina os blocos de Jordan na matriz J associados ao valor pr´oprio λ de A. Vamos resumir estas conclus˜oes como se segue:
- ma(λ) = n´umero total de entradas na diagonal principal de J (do valor pr´oprio λ) = soma dos tamanhos dos blocos de Jordan associados a λ.
- mg(λ) = n´umero de blocos de Jordan associados a λ;
- m(λ) = tamanho do maior bloco de Jordan associado a λ ´e (o ´ındice de λ);
- o n´umero de blocos de Jordan do tipo j × j associados a λ ´e
− dim(N (A − λ)j−^1 )) + 2dim(N (A − λ)j^ )) − dim(N (A − λ)j+1)).
A matriz J ´e assim f´acil de obter sabendo (dim(G(λ, j)) (^) j∈N λ∈σ(A)
e, al´em disso, J unica (a menos de permuta¸´ c˜oes
dos blocos de Jordan). Todavia, a matriz invert´ıvel S tal que S−^1 AS = J n˜ao ´e ´unica. (Note que σ(A) ´e o o espectro de A, i.e. o conjunto dos valores pr´oprios de A.)
1.2 Exemplos
Exemplo 1. Vamos usar o algoritmo descrito em cima para encontar uma matriz S invert´ıvel e J na forma can´onica de Jordan, tais que S−^1 AS = J onde
A =
´e a matriz do Exemplo 1.4. Vimos que p(λ) = −(λ − 1)^3 e portranto λ = 1 ´e o ´unico valor pr´oprio de A, com ma(λ) = 3. Vamos determinar a sucess˜ao a 1 , a 2 , ... para esta matriz A. Ora, como
A − I =
a 1 = dim(N (A − I)) = 2 (a multiplicidade geom´etrica de λ = 1). Como a sucess˜ao ´e crescente e um dos ai’s tem que ser 3 (pois ´e a multiplicidade alg´ebrica de λ = 1), podemos concluir, sem fazer mais c´alculos, que a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 3, ... e m(λ) = 2 (note que am(λ) = ma(λ) = 3). Portanto, a sucess˜ao (bk), (ver Eq. (8)), ´e:
b 1 = 2, b 2 = 1, b 3 = 0, b 4 = 0, ...
pelo que a tabela de Young ´e
(1 cadeia de Jordan de comprimento 2 e 1 cadeia de Jordan de comprimento 1) e a matriz na forma de Jordan associada ´e
J = diag(J 1 (1), J 2 (1)) =
Falta-nos encontrar uma base de R^3 formada por vectores pr´oprios generalizados de λ. Vamos estudar G(1, 1) e G(1, 2). Como j´a calcul´amos A − I, podemos concluir que {(− 1 , 1 , 0), (− 1 , 0 , 1)} ´e uma base de G(λ, 1). Por outro lado
(A − I)^2 =
portanto G(1, 2) = R^3 , logo podemos considerar a base can´onica de R^3 para G(1, 2). Para a cadeia de Jordan de comprimento 2, fixemos v 2 ∈ G(1, 2) tal que v 2 6 ∈ G(1, 1). Por exemplo, v 2 = (1, 0 , 0). Como
(A − I)
a cadeis de Jordan de comprimento 2 ´e {v 1 , v 2 } com v 1 = (− 1 , − 1 , −1) e v 2 = (1, 0 , 0). Para a cadeia de Jordan de ordem 1, temos que encontrar um vector w 1 em G(1, 1) que seja linearmente independent de v 1. Por exemplo, qualquer um dos vectores da base de G(1, 1) escrita em cima serve. P.ex. seja w 1 = (− 1 , 1 , 0). Logo {w 1 , v 1 , v 2 } ´e uma base de R^3 e a matriz
S =
(cujas colunas s˜ao estes 3 vectores) ´e tal que S−^1 AS = J.
portanto a 1 = 2 e portanto a 3 = 3, a 4 = 3, .... Logo b 1 = 2, b 2 = 1, b 3 = 0, pelo que a tabela de Young de λ 1 ´e
(1 cadeia de Jordan comprimento 2 e 1 cadeia de Jordan de comprimento 1 para λ 1 ). Como ma(λ 2 ) = 1, a sucess˜ao das dimens˜eos dos espa¸cos pr´oprios generalizados de λ 2 ´e a 1 = 1, a 2 = 1, ..., logo b 1 = 1, b 2 = 0; assim a tabela de Young de λ 2 ´e
pelo que temos 1 cadeia de Jordan de comprimento 1 de λ 2. A matriz na forma de can´onica de Jordan ´e
J =
Falta determinar uma matriz invert´ıvel tal que S−^1 AS = J. Ora, {(1, 0 , 0 , 0), (0, 1 , 0 , 0)} ´e uma base de G(λ 1 , 1), enquanto que { 1 , 0 , 0 , 0), (0, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0)} ´e uma base de G(λ 1 , 2). Agora temos que escolher 1 vector v 2 ∈ G(λ 2 , 2) tal que v 2 6 ∈ G(λ 1 , 1). Por exemplo v 2 = (0, 0 , 0 , 1), como
(A − 2 I)
temos que v 1 , v 2 ´e uma cadeia de Jordan de comprimento 2 de λ 2 onde v 1 = (1, 10 , 0 , 0) e v 2 = (0, 0 , 0 , 1). Para a cadeia de Jordan w 1 de comprimento 1 de λ 1 temos que encontrar w 1 ∈ G(λ 1 , 1) que seja linearmente independente de v 1 ; por exemplo w 1 = (1, 0 , 0 , 0). Falta determinar um vector pr´oprio z ∈ G(λ 2 , 1). Ora
A − 3 I =
pelo que {(− 3 , 4 , 0 , 1)} ´e uma base de G(λ 2 , 1). Portanto {v 1 , v 2 , w 1 , z} ´e uma base de R^4 formada por vectores pr´oprios generalizados de A e
S =
satifaz a rela¸c˜ao pretendida S−^1 AS = J.
Exemplo 1.
Vamos usar o algoritmo descrito em cima para encontar uma matriz S invert´ıvel e J na forma can´onica de Jordan, tais que S−^1 AS = J onde
A =
O polin´omio caracter´ıstico de A ´e p(λ) = −(λ − 2)^5 (note que temos blocos de matrizes 2 × 2 e 1 × 1 ao longo da diagonal principal de A e, por cima destes blocos, as entradas de A s˜ao nulas). Como
A − 2 I =
e (A − 2 I)^2 =
temos a 1 = 3, a 2 = 5, a 3 = 5,... portanto b 1 = 3, b 2 = 2, b 3 = 0, b 4 = 0, ... pelo que a tabela de Young ´e
(2 cadeias de Jordan de comprimento 2 e 1 cadeia de Jordan de comprimento 1) e a matriz na forma de can´onica de Jordan ´e
J =
E claro que^ ´ {(− 1 , 1 , 0 , 0 , 0), (0, 0 , − 1 , 1 , 0), (0, 0 , 0 , 0 , 1)} ´e uma base de G(2, 1) = N (A − 2 I) e a base can´onica de R^5 ´e uma base de G(2, 2) = N (A − 2 I)^2. Escolhemos v 2 , w 2 ∈ G(2, 2) tais que v 2 , w 2 ∈/ G(2, 1) e v 2 , w 2 possam ser inclu´ıdos numa base de G(2, 2), que inclua uma base de G(2, 1); portanto tais que {(− 1 , 1 , 0 , 0 , 0), (0, 0 , − 1 , 1 , 0), (0, 0 , 0 , 0 , 1), v 2 , w 2 } seja uma base de G(2, 2). Por exemplo v 2 = (1, 0 , 0 , 0 , 0) e w 2 = (0, 0 , 1 , 0 , 0). Ent˜ao v 1 , v 2 ´e uma cadeia de Jordan onde v 1 = (A − 2 I)v 2 e w 1 , w 2 ´e outra cadeia de Jordan onde w 1 = (A − 2 I)w 2. Para determinar v 1 e w 1 calculamos
(A − 2 I)
(A − 2 I)
portanto v 1 = (1, − 1 , 1 , − 1 , 0) e w 1 = (0, 0 , 1 , − 1 , 0). Falta-nos escolher a cadeia de comprimento 1; para tal, temos que escolher z ∈ G(2, 1) tal que v 1 , w 1 , z sejam linearmente independentes. Por ex., seja z = (0, 0 , 0 , 0 , 1). Logo {v 1 , v 2 , w 1 , w 2 , z} ´e uma base de R^5 e a matriz
S =
´e tal que S−^1 AS = J.
´Indice alfab´etico
- ´ındice de vector pr´oprio generalizado,
- bloco de Jordan,
- cadeia de Jordan,
- complemento de um subespa¸co linear,
- espa¸co pr´oprio generalizado,
- forma can´onica de Jordan,
- ind´ıce do valor pr´oprio,
- subespa¸co invariante,
- tabela de Young,
- vectores pr´oprios generalizados,
