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Formulas JUROS
- Juros (J)
- Taxa de juros (i)
- Valor futuro (VF)
- Prazo em anos (n)
- Valor presente (VP)
Fórmula básica e fundamental da matemática financeira VF= VP + Juros - Ou seja, montante = capital + juros
Fórmula Juros Simples J = C.i.t
Cálculo para a identificação da taxa de juros do período em % (VF - VP) / VP / 100 = % | (5600 – 5000) / 5000 = 0,12, ou seja, 12% ao ano.
Cálculo para identificação dos Juros em Valor ( Baseando-se em VF e VP) Juros = (VF) - (VP) | Juros = 2050 – 2000 = 50
Cálculo para identificação dos Juros de um Período (Baseando-se em VP e Juros (i)) Juros = VP x i | Juros = 5000 x 0,012 = 60 (500x12%) Juros = valor presente da operação x taxa de juros
Cálculo determinar a TAXA DE JUROS mensal dessa aplicação (Juros Simples) Juros = (VF) - (VP) | Juros = 2050 – 2000 = 50 Taxa de juros = Juros / VP = x / 100 % | Taxa de juros = 50/2000 = 0, A taxa de juros dessa aplicação foi de 2,5% ao mês.
Cálculo determinar o valor do montante da aplicação Juros = VP x (i) | Juros = 5000 x 0,012 = 60 Montante = VP + Juros | Montante = 5000 + 60 = 5060
OBS.: Para Transformar número decimal em % (Divide por 100) OBS.: Para Transformar % em um numero decimal (Multiplica por 100)
Valor presente (VP) = 5000 Taxa de juros (i) = 1,2% ao mês Montante (VF) =?
CONVERÇÃO DIAS, HORAS, SEGUNDOS.
- um ano comercial equivale a 12 meses;
- um mês comercial equivale a 30 dias;
- um ano comercial equivale a (12 x 30 dias), ou 360 dias
Dias em Meses Fórmula: 1 dia = 1_ Meses 30
Dias em Horas Quant de Dias x 1 dia
Dias em Minutos Quant de min x 1 dia em min
Dias em Segundos 1 dia x 1h x 60 min Resultado de 1 dia em segundos 24x60x60 =86.400 seg Quant de Seg x 1 dia em seg
Ex.: 60 Dias em Meses 60 = 1_ = 60 = 2 Meses, Ou seja 60 dias é igual a 2 meses 30 30
Ex.: 1400 Dias em Horas 1 Dia = 24h 1400 x 24 = 3600 Horas
Ex.: 300 Dias em Minutos 1 Dia = 24h x 1h = 60min | 24x60 = 1 dia =1440 min 300x1440min = 432.000 min
Ex.: 60 Dias em Segundos 1 Dia (24h) x 1h (60min) x 60segundos = 1 dia (86.400 seg) 60 x 86400=5.184,000 seg
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
Juros Simples Neste sistema, os juros são proporcionais ao período ou tempo de aplicação. O valor dos juros calculados está sempre associado ao tempo aplicado. J = C.i.n J = juros; C = capital aplicado; i = taxa de juros; n = período da aplicação.
A fórmula de resolução de juro simples é a seguinte: j = C. i. t Na qual: j = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo.
Qual o juro proporcionado pela aplicação de $100, durante 2 meses, à taxa de juros simples de 2% ao mês? C = $100; n = 2 meses; i = 2% ao mês. J = $100 x 2% x 2 = $ Assim, o valor dos juros ( J ) será de $4, ou 4% de $100. A taxa de juros deverá estar associada ao tempo da aplicação, ou seja:
- 2% ao mês, quando o período de aplicação for o mês;
- 2% ao bimestre, quando o período de aplicação for o bimestre (equivale a 1% ao mês);
- 2% ao ano, quando o período for o ano.
Montante no Regime de Juros Simples Consiste em determinar o valor total de juros produzidos, a partir de determinado capital aplicado, após determinado tempo de aplicação. A partir da fórmula (j = c.i.n) , podemos chegar à seguinte fórmula geral de montante no regime de juros simples: 1º. Período J1 = C.i M1 = C + C.i = C(1 + i) M1 = C(1 + i); 2º. Período J2 = C.i M2 = M1 + C.i M2 = C + C.i + C.i M2 = C (1+ 2i); 3º. Período J3 = C.i M3 = M2 + C.i M3 = C(1 + 2i) + C.i M3 = C (1+ 2i + i) M3 = C (1+ 3i)
Podemos perceber que a cada período o novo montante será acrescido de (J = C.i.n) ao capital inicial, tal que: Mt (montante total) = C (capital inicial) + J1 + J2 + J3 + ... + Jn;
Como J1 = J2 = J3 = ... = Jn, podemos deduzir que o total de juros será de (n.J) ou (n.C.i). Assim, a fórmula do Montante a juros simples será: Mn = C. (1 + i. n) Exemplo:
- Calcular o montante produzido pelo capital $100, aplicado por 8 meses, à taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples. C = $100; n = 8 meses; i = 12% ao ano, ou seja, 1% ao mês. M8 = $100 x (1+ 1%x8) = $100 x 1,08 = $108; ou M8 = $100 x (1 + 8/12 x 12%) = $100 x (1+8%) = $100 x 1,08 = $ Assim, o valor do montante M8 será de $108.
Regime de Juros Compostos Juros Compostos Consiste em calcular os juros proporcionados pela incidência de determinada taxa de juros i, composta, sobre o capital inicial no primeiro instante e sobre o montante Mk nos demais instantes, sendo (k = 1 até n períodos), de forma que o montante antecedente seja o capital sobre o qual incidirá a taxa i para cálculo do montante consequente.
Já a fórmula para juros compostos é: S=P(1+i)^n(exponencial)
onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.
1 o. período: J1 = C.i, já que n é igual a 1 M1 = C + C.i = C(1 + i) M1 = C(1 + i); 2 o. período: J2 = M1.i M2 = M1 + J M2 = C(1 + i) + M1.i M2 = C(1 + i) + C(1 + i).i M2 = C(1 + i).(1 + i) M2 = C(1 + i)^2 ; 3 o. período: J3 = M2.i M3 = M2 + J M3 = C(1 + i)^2 + M2.i M3 = C(1 + i)^2 + C(1 + i)^2.i M3 = C(1 + i)^2. (1 + i) M3 = C(1 + i)^
Podemos perceber que a cada período, o novo montante será acrescido do fator (1 + i) ao capital inicial, tal que: Mn (montante total) = C (capital inicial) x (1+i) x (1+i) x (1+i) ... n vezes
Assim, a fórmula do montante a juros compostos será: Mn = C. (1 + i)^n
Para calcularmos o número de períodos da capitalização, fazemos: log Mn = log C.(1 + i)^n log Mn = log C + n.log (1+i) log Mn – log C = n. log(1+i) n = (log Mn - log C) / log (1 + i) n = Log (Mn / C) / Log (1 + i)
Exemplos:
- Qual o montante final do capital inicial $100, aplicado à taxa de juros compostos de 5% ao ano, durante 8 anos? C = $100; i = 5% ao ano; n = 8 anos Mn = 100 x (1 + 5%)^8 = 100 x (1,05)^8 = 100 x 1, Mn = $147,
CALCULO DE JUROS SIMPLES E COMPOSTO
1 – Empréstimo por 20 dias (representa 2/3 de um mês ou, ainda 0,67 mês). Para transformar os dias em mês divide a Quantidade de Dias por 30 - 20/30 = 0,666 ou 0, Vamos fazer os cálculos para ambos os regimes de capitalização.
Juros Simples: Juros Compostos: PV = 40.000 PV = 40. n = 0,67 mês n = 0,67 mês i = 2% ao mês = 0,02 i = 2% ao mês = 0,
FV = PV (1+in) FV = PV (1+i)^n FV = 40.000(1+0,02. 0,67) FV = 40.000(1+0,02)^0, FV = 40.000(1+0,0134) FV = 40.000(1,02)^0, FV = 40.000(1,0134) FV = 40.000. 1, FV = 40.536,00 FV = 40.534,
2 – Empréstimo por 30 dias (representa um mês). Para transformar os dias em mês divide a Quantidade de Dias por 30 - 30/30 = 1 Vamos fazer os cálculos para ambos os regimes de capitalização.
Juros Simples: Juros Compostos: PV = 40.000 PV = 40. n = 1 mês n = 1 mês i = 2% ao mês = 0,02 i = 2% ao mês = 0, FV = PV (1+in) FV = PV (1+i)^n FV = 40.000(1+0,02. 1) FV = 40.000(1+0,02)^ FV = 40.000(1+0,02) FV = 40.000(1,02)^
FV = 40.000(1,02) FV = 40.000. 1, FV = 40.800,00 FV = 40.800,
3 – Empréstimo por 70 dias (representa 7/3 de um Mês ou, 2,33 meses). Para transformar os dias em mês divide a Quantidade de Dias por 30 - 70/30 = 2, Vamos fazer os cálculos para ambos os regimes de capitalização.
Juros Simples: Juros Compostos: PV = 40.000 PV = 40. n = 2,33 meses n = 2,33 meses i = 2% ao mês = 0,02 i = 2% ao mês = 0, FV = PV (1+in) FV = PV (1+i)^n FV = 40.000(1+0,02. 2,33) FV = 40.000(1+0,02)^2, FV = 40.000(1+0,0466) FV = 40.000(1,02)^2, FV = 40.000(1,0466) FV = 40.000. 1, FV = 41.864,00 FV = 41.888,
A conclusão a que chegamos é que, para prazos inferiores á unidade de tempo, a capitalização a juros simples é mais onerosa; para prazos iguais a 1, tanto a capitalização a juros simples quanto a capitalização a juros compostos rendem os mesmos juros; para prazos superiores à unidade de tempo, a capitalização a juros compostos é mais onerosa
