Análise de Funções Racionais: Domínio, Assimptotas e Derivações, Resumos de Matemática

Baixe Análise de Funções Racionais: Domínio, Assimptotas e Derivações e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!

FUNÇÕES II

Matemática A – 11º ano

Professora: Cátia Rosa

Função Racional:

Uma Função Racional é uma função real de variável real definida por:

Domínio de uma Função Racional:

onde n ( x ) e d ( x ) são polinómios e d ( x )  0.

O domínio de uma função racional é o conjunto dos números reais

que não anulam o denominador:

Exemplo: Determina o domínio da seguinte função racional:

 

( )

( )

n x

f x

d x



   

: 0

f

D  x   d x 

 

2

3

f x

x





 

: 3 0

f

D  x   x  

n ( x )

d ( x )

x  3   0 x  3

 

\ 3

f

D 

Então:

Assimptotas do gráfico de uma

Função Racional:

Assimptota Vertical:

A recta x = a é uma assimptota vertical do gráfico da função f se

f x ( )   ou f x ( )  

quando x tende para a pela direita ou pela esquerda.

Assímptotas do gráfico de uma

Função Racional:

Assimptota Vertical:

Seja f uma função racional definida por:.

Se a é um número real tal que d(a)=0, e n(a)  0, então a recta x=a é uma

assimptota vertical do gráfico y=f(x)****.

De uma forma mais simples: as assimptotas verticais, numa função racional, estão associadas aos

zeros do denominador.

 

n x

f x

d x

Assimptotas do gráfico de uma

Função Racional:

Assimptota Horizontal:

Seja f uma função racional definida por:.

1. Se n<m , a recta y=0 é uma assimptota horizontal do gráfico de f****.

Ou seja, se o grau do polinómio do numerador for menor do que o grau do polinómio do

denominador, a função tem uma assimptota de equação y=0.

 

1

1 0

1

1 0

n n

n n

m m

m m

a x a x a

f x

b x b x b









Ou seja, se o grau do polinómio do numerador for igual ao grau do polinómio do denominador, a

função tem uma assimptota de equação igual ao quociente entre os coeficientes dos termos de

maior grau.

2. Se n=m , a recta é uma assimptota horizontal do gráfico de f****.

n

m

a

y

b

1. Se n>m , o gráfico da função não tem assimptota horizontal.

Ou seja, se o grau do polinómio do numerador for maior do que o grau do polinómio do

denominador, a função não tem assimptota horizontal.

Assimptotas do gráfico de uma

Função Racional:

Assimptota Oblíqua:

Seja f uma função racional definida por:

E o grau do numerador é maior uma unidade que o grau do

denominador, então f(x) pode ser escrita na forma:

Onde o grau de r(x) é menor do que o grau de d(x)****.

r x

f x ax b

d x

Então a recta y=ax+b é uma assimptota oblíqua do gráfico da função, ou

seja,

Para escrever a função na forma acima referida podemos utilizar a regra de Ruffini ou

simplesmente dividir o numerador pelo denominador.

 

n x

f x

d x

   

lim lim

x x

f x ax b ou f x ax b

    

Quociente

Resto

Divisor

Gráfico de uma Função Racional:

Para representar graficamente uma função racional deve-se:

Determinar o Domínio e os pontos de intersecção do

gráfico com os eixos coordenados.

1º

Determinar as assimptotas.

2º

Usando a calculadora gráfica, completar o gráfico da

função.

3º

Exemplo:

Representa graficamente a função racional definida por:

 

2

x x

f x

x x

Gráfico de uma Função Racional:

 

2

x x

f x

x x

• Domínio:

 

:( 3)( 1) 0

f

D  x   x  x  

( 3)( 1) 0 3 0 1 0

3 1

x x x x

x x

         

   

 

\ 3, 1

f

D  

Então:

Aplicando Lei do Anulamento do

Produto

• Intersecção com eixos coordenados: - Intersecção com eixo das ordenadas:

2

0 4 0 4 4 4

0

(0 3)(0 1) 3 1 3

x y

  

    

   

Ponto de Intersecção

4

0,

3

 



 

 

- Intersecção com eixo das abcissas:

2

2

2

4 4

0 0 4 4 0 ( 3)( 1) 0

( 3)( 1)

4 4 4 1 4

( 3)( 1) 0

2 1

2 ( 3)( 1) 0

x x

y x x x x

x x

x x x

x x x

 

           

 

  

      



     

Ponto de Intersecção

 

2, 0

Gráfico de uma Função Racional:

 

2

x x

f x

x x

• Gráfico:

Aplicações das Funções Racionais:

Exemplo:

Uma empresa de fabrico de computadores conclui que, em média, um

novo empregado, após t dias de prática, pode montar, por dia, um

número N de certos componentes, sendo:

 

t

N t t

t

- Determina as assimptotas vertical e horizontal do gráfico de N.

Assimptota vertical:

Como o enunciado refere que t ≥0, o d omínio da função é [0,+  [, logo -2 não será assimptota

vertical, assim podemos concluir que a função não tem assimptotas verticais.

 

: 2 0 0

N

D  t   t    t 

t  2   0 t  2

N 0

D





Então:

Assimptota horizontal:

Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador podemos logo concluir que a função tem

uma assimptota horizontal de equação:

 

t

N t

t

y  20

Funções Irracionais:

Radicais:

n

a  b

Raiz de Índice n : se

n

b  a

Se n é par:

n n

b  a  b  a a 

Se n é impar:

n n

b  a  b  a a  

Radicais como potência:

m

n m

n

m

a a a n

n

Se n é par:

n n

a  a

Se n é impar:

n n

a  a

Nota:

Simplificação de Radicais:

n n n

b a  c a  b  c a

n n n

a  b  a  b

n

n

n

a a

b b

 

1

p

p

p

n p n

n n

a a a a

m n m n

a a



n p

m p n m

a a





n n

n

a  b  a  b

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Funções Irracionais:

y  x

Uma função é irracional se a variável independente x está sob o

símbolo do radical, isto é, uma Função Irracional é uma função real de

variável real definida por:

• Exemplos de Funções Irracionais:

y  x

3

y  x  3

• Domínio de uma Função Irracional:

O domínio de uma função irracional é o conjunto dos números reais

maiores ou iguais a zero:

Exemplo: Determina o domínio da seguinte função irracional:

   

: 0

f

D  x   r x 

 

3

f x  x  4

 

: 4 0

f

D  x   x  

r ( x )

x  4   0 x  4

 

4,

f

D   

Então:

 

n

f x  r x

onde r ( x ) ≥ 0.

Soma, Diferença, Produto e Quociente

de Funções:

Exemplos:

Soma:

 

1

f x

x

Considera as funções  e  

2

1

x

g x

x





2 2

2 2

( 1) ( )

1 2 1 ( 1) 2 1 2 2 1

( ) ( )

1 ( 1) ( 1)

x x

x x x x x x x x

f x g x

x x x x x x x x x x

  

      

      

      

Diferença:

2 2

2 2

( 1) ( )

1 2 1 ( 1) 2 1 2 2 1

( ) ( )

1 ( 1) ( 1)

x x

x x x x x x x x

f x g x

x x x x x x x x x x

  

       

      

      

Produto:

1 2 1 2 2

( ) ( )

1 ( 1) 1

x x

f x g x

x x x x x



    

   

Quociente:

2

1

( ) 1 ( 1) 1

2

( ) 2 2

1

f x x x

x

x

g x x x x

x

  

  





Soma, Diferença, Produto e Quociente

de Funções:

Exemplos:

Soma:

 

f x  4  x Considera as funções e  

g x  5  x

f ( ) x  g x ( )  4  x  5  x

Diferença:

f ( ) x  g x ( )  4  x  5  x

Produto:

2 2

f ( ) x  g x ( )  4  x  5  x  (4  x ) (5  x )  20  4 x  5 x  x   x  x  20

Quociente:

( ) 4 4

( ) 5 5

f x x x

g x x x

 

 

 