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FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Introdução:
A função exponencial é uma das mais importantes para a explicação e estudos de muitos fenômenos naturais e também para o projeto de muitas máquinas, é ferramenta indispensável para físicos, químicos, biólogos e também para engenheiros, que devem sabê-la muito bem para aplicá-la em seus trabalhos tanto na pesquisas, caso dos físicos, químicos e biólogos, como também na engenharia, caso dos engenheiros.
Para exemplificar como a função exponencial está presente no dia-a-dia dos estudos dos cientistas, vamos analisar um pequeno exemplo de árvore genealógica. Gustavo e Karina formam um casal que em suas famílias as pessoas vivem muito tempo. Vamos calcular quantos avós e bisavós têm em conjunto Gustavo e Karina. para iniciarmos contamos quantos os pais de cada um e depois somamos, depois os avós e por último os bisavós. Assim temos:
pais → 2 + 2 = 4 = 2^2 avôs/avós → 4 + 4 = 8 = 2^3 bisavôs/bisavós → 8 + 8 = 16 = 2^4
Observamos assim que a cada passo o número de pessoas dobra. Se continuássemos calculando o número de pessoas na quinta geração (trisavôs / trisavós), teríamos:
16 + 16 = 32 = 2^5
Notamos assim que para cada geração x que se escolha há um número f(x) de ascendentes em função de x, e a lei que expressa f(x) em função de x é f(x) = 2x, que é um caso particular de função exponencial.
Esse pequeno exemplo expressa o número de pais, avôs e avós, bisavôs e bisavós, etc... de Gustavo e Karina. No estudo de muitos casos que envolva as gerações de populações animais, por exemplo, os biólogos fazem uso da função exponencial para estudar o comportamento de tais populações, por exemplo o crescimento de uma cultura de peixes numa lagoa, a evolução de uma população de bactérias em certo organismo, o estudo do Caos de uma população animal é um excelente exemplo de estudo utilizando a função exponencial.
DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL:
Uma função exponencial qualquer função f de R em R dada pela lei da forma f(x) = ax, onde a é um número real e, a > 0 e a ≠ 1. A é chamado de base da função.
GRÁFICO:
Os gráficos da função exponencial podem ser crescentes ou decrescentes, dependendo do valor de a ou do sinal do expoente. Vejamos alguns casos:
a > 1 a < 1, ou expoente negativo
PROPRIEDADES:
Vamos analisar algumas propriedades do gráfico da função exponencial f(x) = ax
se x = 0 → f(x) = 1, pois a^0 = 1, todo número elevado a zero resulta em 1. Isso quer dizer que o gráfico de qualquer função exponencial do tipo f(x) = ax^ corta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada igual a 1, par (01).
Se a > 1, então a função f(x) = ax^ é crescente.
Se 0 < a < 1, então a função f(x) = ax^ é decrescente. São decrescentes por exemplo as funções exponenciais:
( )
x f x
, ( )
x f x
, ( )
x f x
- Para todo a > 0 e todo x real, temos ax^ > 0; portanto, o gráfico da função f(x) = ax^ está sempre acima do eixo das abscissas.
Se a > 1, então ax^ aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez menores.
Se 0 < a < 1, então ax^ aproxima-se de zero quando x assume calores positivos cada vez maiores.
- Se tivermos no expoente o sinal de menos, f(x) = a-x, o gráfico da função será decrescente também.
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS:
Equações exponenciais são as equações que apresentam a incógnita no expoente de pelo menos uma potência. São exemplos de equações exponenciais:
2 x^ = 16 , 81 8
x , 4 x − 2 x = 12
Um método muito utilizado para se resolver equações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros da equação a potência de mesma base a (0< a ≠ 1), e depois aplicar a propriedade:
Dispare o botão de iniciar o experimento.
Ligue a chave liga-desliga de modo que o circuito se feche, ou seja, de modo que a fonte faça fluir corrente pelo circuito.Nesse instante pode-se notar o processo de carga do capacitor pelo aumento da tensão no mesmo. Esse processo pode ser visualizado no gráfico do Excel.
Quando a tensão atingir seu valor máximo, desligue a fonte. Nesse momento pode-se notar o processo de descarga do capacitor mostrado no gráfico do Excel.
Resultados:
O experimento teve como resultado o gráfico da figura seguinte
Conclusões/Comentários:
Pode-se notar que, como foi utilizado o sensor de tensão, o processo de carga não obedece a uma exponencial, mas sim se parece com uma função logarítmica, se fosse utilizado o sensor de corrente, tal processo obedeceria a uma função exponencial decrescente, como a função matemática anteriormente citada mostra. Quando a tensão atinge um valor próximo ao da fonte, 9 volts, perto de 7 volts, a inclinação do gráfico começa a se atenuar, pois o capacitor, nessas condições, já está quase completamente carregado. Tal tensão no capacitor não atinge o valor da fonte, 9 volts, pois no circuito há um resistor de 10 KΩ que provoca uma queda de tensão em seus terminais.A parte descendente do gráfico corresponde ao processo de descarga do capacitor, quando a tensão começa a cair até atingir seu valor mínimo. Esta se parece muito com uma exponencial decrescente, como se fosse utilizado o sensor de corrente.
Exercícios Resolvidos
1) Construa o gráfico da seguinte função exponencial: (^ )^
x f x = 2
- Construa o gráfico da seguinte função exponencial: ( )^
x f x
2
1
- Resolver as seguintes equações exponenciais:
a-) 2 =^16
x
b-) 81
x
c-) (^2 )^ =^64
x
- Resolver as seguintes equações exponenciais:
a-) (^3 )^729
1
x x^ +
b-) 2 1 3 1 1 2 4 8
- Resolva a equação exponencial 4 −^2 =^12
x x
Resolver a seguinte equação exponencial: 9 4 3 69 0 1 − ∗ − = x + x
Para exemplificar a resolução de uma inequação exponencial vamos resolver as seguintes inequações:
a-)
x (^2) > 64
b-) 27 3
1 ≤
x
c-) (^2 )^ ≥^42
x
d-) (^0 ,^56 )^1
2 3 >
x +
- Resolver as seguintes inequações exponenciais:
c-)
2 1 3 1 8 4
d-)
= x
6) Resolva as seguintes equações exponenciais:
a-) 2 2 6
1 3 − = x + − x
b-) (^) x
x 2
8 2 63 3
7) Resolva as seguintes inequações exponenciais:
a-) (^ )^
9
1 (^3 3) ≤ x
b-) (^ )^3
16
1 2 >
x
c-) 4 ≥^8
x
9.8) Resolva as seguintes inequações exponenciais:
a-) (^ )^ (^ )^
2 1 1 3 27 9 − + + − ≥ x x x x
b-)
3 2 2 1 3
− + −
^ ≤
^ ∗
x x x
- Qual a soma das raízes da equação: 9
5625 5
(^221)
x − x +
10) Quais os valores de x que tornam válida a desigualdade: (^ )^ (^ )^
4 3 ( 1 ) 0 , 8 0 , 8
(^2) − + >
x x x
