Propriedades da Derivação de Funções Holomorfas: Teoremas e Exemplos, Notas de aula de Cálculo Avançado

Baixe Propriedades da Derivação de Funções Holomorfas: Teoremas e Exemplos e outras Notas de aula em PDF para Cálculo Avançado, somente na Docsity!

Propriedades da derivac¸ ˜ao. Exemplos de func¸ ˜oes holomorfas

Propriedades da derivação

Formuladas diretamente para funções holomorfas:

A soma de duas funções holomorfas definidas no mesmo domínio D é holomorfa e sua derivada é a soma das derivadas dos dois termos:

p f gq^1 pzq “ f 1 pzq g^1 pzq, @z P D.

Derivada do produto de uma função holomorfa por um escalar complexo: pc f q^1 pzq “ c f 1 pzq. Derivada do produto de duas funções holomorfas definidas no mesmo domínio:

p f ¨ gq^1 pzq “ f 1 pzq ¨ gpzq ` f pzq ¨ g 1 pzq.

Regra da Cadeia 1. Ilustração

A

x

y

� z (^0)

f

B

u

v

w � 0 “ f pz 0 q

f pAq

ξ

ζ

� gpw 0 q

g ˝ f

gpBq pg ˝ f qpz 0 q “ gp f pz 0 qq pg ˝ f q^1 pz 0 q “ g^1 p f pz 0 qq f 1 pz 0 q

g

Regra da Cadeia 2

Regra da Cadeia 2: f : I Ă R Ñ C diferenciável em I, intervalo aberto não vazio e g : B Ă C Ñ C holomorfa, tais que f pIq Ă B, então a função composta g ˝ f : I Ñ C é diferenciável e @ t 0 P I

pg ˝ f q^1 pt 0 q “ g 1 p f pt 0 qq f 1 pt 0 q.

t (^0) � I

f

B

x

y

� z 0 “ f pt 0 q g

ξ

ζ

�

(^) gpBq

w 0 “ gpz 0 q

Função exponencial complexa ez^ “ exppzq

Procuramos uma função inteira f : C Ñ C que coincida com e x^ @x P R. É natural usar a mesma notação ez^ “ e xiy^ o que imediatamente também sugere que e xiy^ “ e x^ eiy^ e a expressão fica separada em dois fatores, um deles que só depende de x e o outro de y. O que devemos atribuir então a eiy^? Para respeitar as equações de Cauchy-Riemann:

Bu Bx px,^ yq “

Bv By px,^ yq^ e^

Bu By px,^ yq “ ´

Bv Bx px,^ yq,^ @px,^ yq P^ R

devemos ter:

Be x^ Repeiy^ q Bx “^ e^

x (^) Repeiy (^) q “ Be^ x^ Impeiy^ q By “^ e^

x (^) Impeiy (^) q (^1) ,

por outro lado,

Be x^ Repeiy^ q By “^ e^

x (^) Repeiy (^) q (^1) “ ´ Be^ x^ Impeiy^ q Bx “ ´e^

x (^) Impeiy (^) q.

Função e z^ “ exppzq. Continuão

Após dividir por e x^ � 0 obtemos um sistema de EDOs de primeira ordem nas funções incôgnitas Repeiy^ q e Impeiy^ q que dependem de y P R:

Repeiy^ q “ Impeiy^ q^1

e

Repeiy^ q^1 “ ´Impeiy^ q.

Ainda, para y “ 0 esperamos ei^0 “ 1, isto é: Repei^0 q “ 1 e Impei^0 q “ 0. Chame de φpyq “ Repeiy^ q, φp 0 q “ 1 e de ψpyq “ Impeiy^ q, ψp 0 q “ 0, desta forma temos: (^) # ψ^1 “ φ, ψp 0 q “ 0 φ 1 “ ´ψ, φp 0 q “ 1 ,

cuja única solução é ψpyq “ senpyq e φpyq “ cospyq. Finalmente,

ez^ “ e xiy^ “ e x^ cospyq ie x^ senpyq.

A derivada de ez^ é a própria e z

Obtivemos uma função inteira ez^ , portanto, podemos calcular pez^ q^1 derivando parcialmente com relação a x as funções parte real e imaginária.

d f dz pzq “

Bu Bx px,^ yq `^ i^

Bv Bx px,^ yq,

Exercício: confiram que dez dz pzq “^ e

z (^).

Além disso, peiy^ q^1 “ i eiy^. Por quê?

Observação: no processo provamos a Fórmula de Euler

eiθ^ “ cospθq ` i senpθq,

avaliada em θ “ y, y P R.

Funções periódicas. Periodicidade da função ez

Seja f tal que f pz ` cq “ f pzq para todo z P C, c � 0 , c P C. Dizemos que f é periódica de período c. Sabemos que e x^ não é uma função periódica na reta. Vejamos o que acontece no caso complexo com sua extensão ez^. Note que

e^2 πki^ “ cosp 2 πkq ` i senp 2 πkq “ 1 , @k P Z.

Para c “ 2 πki temos ez`c^ “ e z^ ec^ “ e z^ ñ a função ez^ é periódica de período 2πki, para k � 0. (^) y

x

2 πi

2 πi

2 πi

Outras propriedades da função ez

Verifique que 1 ez^ “^ e^ ´z^ ,^ @^ z^ P^ C e ezz^12 “ ez 1 ´z (^2) , @ z 1 , z 2 P C

pez^ qn^ “ e nz^ , @ z P C, n P Z

Formas polar e exponencial de um n ´umero complexo

Forma polar: z “ |z|pcospθq ` i senpθqq Forma exponencial: z “ |z| e iθ

As n raízes complexas da unidade z : zn^ “ 1 são dadas por

1 , ω, ω^2 ,... , ω n´^1 ,

onde ω “

`

cos

` (^2) π n

` i sen

` (^2) π n

“ e 2 nπ^ i.

Func¸ ˜oes inversas para ez^ ser˜ao estudadas oportunamente com detalhe.

Funções sen, cos e hiperbólicas

Também são funções holomorfas em C (funções inteiras) porque podem ser definidas a partir da função exp da seguinte forma:

senpzq “ eiz^ ´ 2 ei´iz cospzq “ eiz^ 2 e´iz senhpzq “ ez^ ´ 2 e´z coshpzq “ ez^ 2 e´z

Exercício: Verifique que para z “ x P R as funções de variável complexa sen e cos coincidem com as funções reais sen e cos, respectivamente. Exercício: Calcule a derivada de cada uma das funções especificada acima. Exercício: Prove que sen^2 pzq ` cos^2 pzq “ 1 @z P C. Por que esta propriedade não mais garante limitação das funções sen e cos?

Vejam também o Capítulo 3 do livro de Churchill e Brown, por exemplo.