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Luiza Amalia Pinto Cantão: http://www.sorocaba.unesp.br/professor/luiza Renato Fernandes Cantão: http://www.sorocaba.unesp.br/professor/cantao
Tipologia: Notas de estudo
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Luiza Amalia Pinto Cantão & Renato Fernandes Cantão
http://www.sorocaba.unesp.br/professor/luiza http://www.sorocaba.unesp.br/professor/cantao 2006
Funções Hiperbólicas
Análogas de muitas formas às funções trigonométricas; Relacionam-se com as hipérboles, ao passo que as funções trigonométricas relacionam-se com o círculo.
Cosseno Hiperbólico: cosh x = e
x (^) + e− x 2 Seno Hiperbólico: senh x = e x^ − 2 e− x Tangente Hiperbólico: tgh x = senh cosh^ xx = e e xx^ −+ ee−− xx
Cotangente Hiperbólico: cotgh x = cosh senh^ xx = (^) ee xx^ +−^ ee−− xx
Secante Hiperbólica: sech x = (^) cosh^1 x = (^) e x (^) +^2 e− x Cossecante Hiperbólica: cossech x = (^) senh^1 x = (^) e x (^) −^2 e− x
senh (− x ) = − senh x cosh (− x ) = cosh ( x ) senh 2 x = 2 senh x cosh x cosh 2 x = cosh^2 x + senh^2 x senh ( x + y ) = senh x cosh y + cosh x senh y cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + senh x senh x cosh^2 x = cosh 2 2 x^ +^1 senh^2 x = cosh 2 2 x^ −^1 cosh^2 x − senh^2 x = 1 tgh^2 x = 1 − sech^2 x cotgh^2 x = 1 + cossech^2 x
Funções Tangente e Cotangente Hiperbólicos
Funções Secante e Cossecante Hiperbólicos
As outras funções Hiperbólicas
d dx (senh^ x )^ =^ cosh^ x d dx
(cosh x ) = senh x d dx (tgh^ x )^ =^ sech
(^2) x
d dx
(cossech x ) = − cossech x cotgh x d dx (sech^ x )^ =^ −^ sech^ x^ tgh^ x d dx (cotgh^ x )^ =^ −^ cossech
(^2) x
Derivadas
Sabendo que: Cosseno Hiperbólico: cosh x = e
x (^) + e− x 2 Seno Hiperbólico: senh x = e
x (^) − e− x 2
Definição
y = arc senh x ⇐⇒ senh y = x y = arc cosh x ⇐⇒ cosh y = x y = arc tgh x ⇐⇒ tgh y = x y = arc cossech x ⇐⇒ cossech y = x y = arc sech x ⇐⇒ sech y = x y = arc cotgh x ⇐⇒ cotgh y = x
Estude o domínio e a imagem das funções hiperbólicas inversas
Funções Hiperbólicas Inversas de Seno e Cossecante
Funções Hiperbólicas Inversas de Tangente e Cotangente
Definição
d dx (^ arc senh^ u ( x ) )^ =^ √^1 1 + u^2
d dx u ( x ) d dx (^ arc cosh^ u ( x ) )^ =^ √^1 u^2 − 1
d dx u ( x )^ u ( x )^ >^1 d dx (^ arc tgh^ u ( x ) )^ =^
1 1 − u^2
d dx u ( x )^ | u ( x )|^ <^1 d dx (^ arc cossech^ u ( x ) )^ =^ −^
1 | u |
√ u^2 + 1
d dx u ( x )^ u ( x )^6 =^0 d dx (^ arc sech^ u ( x ) )^ =^ −^
1 u
√ 1 − u^2
d dx u ( x )^0 <^ u ( x )^ <^1 d dx (^ arc cotgh^ u ( x ) )^ =^
1 1 − u^2
d dx u ( x )^ | u ( x )|^ >^1
Definição
senh u du = cosh u + C ∫ cosh u du = senh u + C ∫ sech^2 u du = tgh u + C ∫ cossech^2 u du = − cotgh u + C ∫ sech u tgh u du = − sech u + C ∫ cossech u cotgh u du = − cossech u + C
Definição
∫ (^) du √ a^2 + u^2
= arc senh
( (^) u a
)
= arc cosh
( (^) u a
)
∫ (^) du a^2 − u^2 =
1 a arc tgh^
u a +^ C , 1 a arc cotgh^
u a +^ C ,
se u^2 < a^2
se u^2 > a^2 ∫ (^) du u
√ a^2 − u^2
= − (^1) a arc sech
( (^) u a
)
√ a^2 + u^2
= − (^1) a arc cossech
∣∣ ∣ ua
∣∣ ∣ + C , a 6 = 0
