Funções inversas, Notas de estudo de Cálculo

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Funções inversas

Cálculo diferencial e integral 1

Prof.a^ Dr.a^ Priscila Savulski Ferreira

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Funções inversas

t (h) N = f (t) 0 100 1 259 2 358 3 550

Tabela: População no instante t

t (h) N = f (t) 100 0 259 1 358 2 550 3

Tabela: tempo para atingir N bactérias

Funções inversas - função injetora

Nem todas as funções possuem inversa.

Definição - função injetora

Uma função é injetora quando ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é,

f (x 1 ) 6 = f (x 2 ) sempre que x 1 6 = x 2. Se f é crescente ou decrescente em Df , então f é injetora.

Funções inversas - função injetora

Teste da reta horizontal

Uma função é injetora quando nenhuma reta horizontal intercepta o seu gráfico mais de uma vez.

f (x) = x^2 f (− 1 ) = 1 e f ( 1 ) = 1 , logo não é injetora.

Funções inversas

Definição - função inversa

Seja f uma função injetora com domínio A = Df e imagem B = Imf. Então f admite inversa e a sua função inversa f −^1 tem domínio B e imagem A e é definida por

f −^1 (y) = x ⇔ f (x) = y, ∀y ∈ B.

Funções inversas - notas

Domínio de f −^1 = imagem de f Imagem de f −^1 = domínio de f.

Funções inversas - notas

Domínio de f −^1 = imagem de f Imagem de f −^1 = domínio de f. NÃO confunda: f −^1 (x) (função inversa de f ) com o expoente [f (x)]−^1 =

f (x)

E se f não for injetora ou sobrejetora?

Funções inversas - gráfico

O gráfico de f −^1 é o gráfico de f refletido com relação a identidade y = x.

x

y

Funções inversas

Como encontrar a função inversa de uma função f bijetora

Escreva y = f (x) (y = x^5 ) Troque x por y (x = y^5 ) Isole y ( y = 5

x) Expresse f −^1 (x) = y. (f −^1 (x) = 5

x)

Funções inversas

Como encontrar a função inversa de uma função f bijetora

Escreva y = f (x) (y = x^5 ) Troque x por y (x = y^5 ) Isole y ( y = 5

x) Expresse f −^1 (x) = y. (f −^1 (x) = 5

x)

Ex. Encontre a função inversa da função f (x) = x^3 − 7.

Funções inversas

Como encontrar a função inversa de uma função f bijetora

Escreva y = f (x) (y = x^5 ) Troque x por y (x = y^5 ) Isole y ( y = 5

x) Expresse f −^1 (x) = y. (f −^1 (x) = 5

x)

Ex. Encontre a função inversa da função f (x) = x^3 − 7. y = x^3 − 7 x = y^3 − 7

Funções inversas

Como encontrar a função inversa de uma função f bijetora

Escreva y = f (x) (y = x^5 ) Troque x por y (x = y^5 ) Isole y ( y = 5

x) Expresse f −^1 (x) = y. (f −^1 (x) = 5

x)

Ex. Encontre a função inversa da função f (x) = x^3 − 7. y = x^3 − 7 x = y^3 − 7 y = 3

x + 7

Exercício

Determine o domínio, a imagem de f. Veja se é possível calcular sua inversa, caso sim, defina f −^1 e esboce os gráficos de f e f −^1. f (x) =

− 8 − 2 x

Exercício

Determine um domínio de modo que f (x) = x^2 − 4 x + 4 possua inversa.

x

y