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Matemática
JOSÉ AUGUSTO DE MELO
M
Matemática I
Trigonometria ......................................................... 3
Números Complexos ............................................ 21
Equações Algébricas ........................................... 28
Matemática II
Estudo Analítico da Reta ..................................... 32
Estudo Analítico da Circunferência ...................... 40
Limite ................................................................... 46
Derivada .............................................................. 51
Anotações
4 Matemática M
3 UM PEQUENO COMENTÁRIO
As razões trigonométricas definidas até agora são válidas apenas para ângulos agudos de um triângulo retângulo.
Necessidades práticas exigem que definamos essas razões para ângulos arbitrários e até mesmo para números
reais quaisquer. Para que isso seja possível, definiremos novamente essas razões, substituindo o ângulo por
um arco e o triângulo retângulo por uma circunferência. Veja a seguir.
4 MEDIDA DE ARCOS
Chama se arco a cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.
B B
A
A
A = B A = B
Observação:
Se A = B obtemos dois arcos: o arco nulo e o arco de uma volta.
A medida de um arco AB na unidade PQ é por definição:
comprimento PQ
comprimentoAB med. AB=
Unidades mais usadas
a) Grau: arco unitário equivalente a 360
da circunferência.
b) Radiano: arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém.
Observação:
Para converter uma unidade de medida em outra lembres e que 180° = prad.
Comprimento de um arco
Seja a a medida em radianos do arco AB (ou do ângulo central AÔB).
Comprimentodo raio
ComprimentoAB med. AB(rad)=
r
l a =
l = r. a (a em rad.)
5 A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Seja x0y um sistema de coordenadas no plano. Com centro em O,
tracemos uma circunferência de raio 1. Consideramos o ponto A como
a origem de todos os arcos tomados sobre essa circunferência. Arcos
percorridos no sentido antih orário serão considerados como tendo
medida algébrica positiva e arcos percorridos no sentido horário serão
considerados negativos. A uma tal circunferência, denominamos de
circunferência trigonométrica.
6 ARCO TRIGONOMÉTRICO
Se P é um ponto da circunferência trigonométrica, ele determina uma
infinidade de arcos com origem A e extremidade P. Se O £ a< 2 pé a
medida de AP em radianos, chamamos de arco trigonométrico AP ao
conjunto de valores do tipo a + 2Kp, com K inteiro. A a chamaremos
de 1ª determinação positiva de AP.
r
Matemática M3 5
Obs.: Se
o 0 £ a< 360 , o arco trigonométrico será representado por
o a+K. 360
Observe que um arco trigonométrico é uma família de arcos com origem A e extremidade P que são obtidos
dando se voltas na circunferência no sentido positivo ou negativo. No que se segue, procuramos sempre trabalhar
com a 1ª determinação positiva do arco trigonométrico.
7 SENO E COSSENO
Podemos agora definir o seno e o cosseno de qualquer arco.
Seja a a primeira determinação positiva do arco trigonométrico AP. Como P está num sistema de coordenadas,
ele tem uma abscissa (OQ) e uma ordenada (OR).
Definição:
a) cos a = OQ (abscissa de P)
b) sen a = OR (ordenada de P)
Observe que:
a) 1 £^ cos a£^1
1 £ sen a£ 1
b) Sinal do seno
c) Sinal do Cosseno
d) O seno é crescente no 1º e no 4º quadrantes e
decrescente no 2º e 3º quadrantes.
e) O cosseno é crescente no 3º e no 4º quadrantes e
decrescente no 1º e 2º quadrantes.
f) No triângulo OPQ temos:
PQ = sen x, OQ = cos x e OP = 1
Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos
sen
2 x + cos
2 x = 1.
8 TANGENTE E COTANGENTE
tg x = AT
cotg x = BS
Veja que os triângulos OPP 1 e OAT são semelhantes.
Logo, podemos dizer que:
1
1
OP
PP
OA
AT
= e substituindo cosx
senx
tgx
Com um raciocínio semelhante, você mostra que:
cotg x = senx
cosx
Matemática M3 7
Exemplos:
Reduza ao 1º quadrante.
a) sen 110º
Solução:
110º está no 2º quadrante. Seu simétrico será
Como no 2º quadrante o seno é positivo teremos:
sen 110º = sen 70º
b) cos 874º
Solução:
Então, cos 874º = cos 154º
Simétrico de 154º = 180º 154º = 26º
No 2º quadrante, o cosseno é negativo. Logo, cos 874º = cos 154º = – cos 26º.
c)
3
tg
p
Solução:
2 p está no 2º quadrante, seu simétrico é 3 3
2 p
p p-
No 2º quadrante, a tangente é negativa, logo: 3
tg 3
tg
p =-
p
B) Arcos do 3º quadrante
Se x está no 3º quadrante, use o seu simétrico em relação à origem, calculando x 180° ou x p.
Exemplo:
Reduza ao primeiro quadrante: sec 220°
Solução:
220° está no 3º quadrante.
Seu simétrico será 220° 180° = 40°.
No 3º quadrante a secante é negativa, logo:
sec 220° = s ec 40°.
C) Arcos do 4º quadrante.
Exemplo:
Reduza ao 1º quadrante: sen 310°.
Solução:
310° está no 4º quadrante. Seu simétrico é 360° 310° = 50°.
No 4º quadrante o seno é negativo. Logo:
sen 310° = s en 50°.
8 Matemática M
11 ARCOS OPOSTOS
cos (x ) = cos x
sen (x ) = s en x
tg (x ) = t g x
cotg (x ) = co tg(x)
sec (x ) = sec x
cossec (x ) = co ssec x
12 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
As definições dadas anteriormente nos permitem deduzir uma série de relações entre o seno, o cosseno, a
tangente e as outras funções circulares. Dentre essas, nos interessam mais de perto um grupo de oito relações
independentes, que denominaremos de relações fundamentais.
R.1)
cosx
senx tgx = (^) R.4) cosx
sec x= R.7) 1 + tg 2 x = sec 2 x
R.2) cotg x = senx
cos x R.5) senx
cos secx= (^) R.8) 1 + cotg^2 x = cossec^2 x
R.3) cotg x = tgx
R.6) sen
2 x + cos
2 x = 1
As relações R.1, R.2, R.4 e R.5 são provadas facilmente usando
semelhança de triângulos. Como exemplo, provemos R.4.
Os triângulos OPB e OAB são semelhantes, pois:
PB ˆO= OAˆ B(retos)
O B
OB A
P = (comuns)
Logo:
OA
OB
OB
OP
= e substituindo, cosx
sec x
ou cosx
sec x=
A relação R.3 é conseqüência imediata de R.1 e R.2. Provemos R.6.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OAB, obtemos: sen 2 x + cos 2 x = 1.
Para provar R.7, partimos de sen
2 x + cos
2 x = 1. Para cos x π 0, obtemos:
cos x
cos x
cos x
cos x
sen x
2 2
2
2
2
- = e daí: tg 2 x + 1 = sec 2 x
De modo análogo, prova se R.8.
Fique atento às seguintes observações:
a) Apenas a relação sen 2 x + cos 2 x = 1 é válida para todo x. As demais possuem restrições. Por exemplo,
1 + tg 2 x = sec 2 x só vale para + p
p π k 2
x , pois para esses valores existe a tg x e a sec x. Procure achar
os valores de x para os quais as demais relações são válidas.
b) É importante que você saiba que o x pode representar qualquer arco. Assim, podemos dizer que:
sen 2 50º + cos 2 50º = 1
1 + tg 2 3a = sec 2 3a e assim por diante.
c) De cada relação você pode tirar outras. Assim, por exemplo, de sen 2 x + cos 2 x = 1, concluis e que
1 sen 2 x = cos 2 x.
1 0 Matemática M
y = sec 2 x. cossec 2 x
- Calcule m para que se tenha simultaneamente
sen x = m 1 e cos x = m. 3
Solução:
sen
2 x + cos
2 x = 1
(m 1) 2
m 2 2m + 1 + 3m 2 = 1
4m
2 2m = 0, que resolvida dá m = 0 ou m = 2
Como ambos satisfazem à condição (^) - 1 £senx£ 1 e - 1 £cosx£ 1 , teremos:
Resposta: m = 0 ou m = 2
13 FÓRMULAS DE ADIÇÃO
Daremos a seguir um conjunto de fórmulas que vão nos possibilitar calcular as funções trigonométricas de
arcos do tipo a + b e a b. As demonstrações serão omitidas.
sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a
sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a
cos (a + b) = cos a. cos b sen a. sen b
sen (a b) = cos a. cos b + sen a. sen b
1 tga.tg b
tga tgb tag( a b)
1 tga.tgb
tga tgb tag( a b)
- Calcule sen 15°.
Solução:
y = sen 15° = sen (45° 30°)
y = sen 45°. cos 30° sen 30°. cos 45°
y 2
y
= - fi =
- Sendo a b = 3
p , calcule o valor da expressão:
y = (sen a + cos b) 2
Solução:
y = sen
2 a + 2sen a cos b + cos
2 b + sen
2 b 2sen b cos a + cos
2 a
y = (sen
2 a + cos
2 a) + (sen
2 b + cos
2 b) + 2(sen a cos b sen b cos a)
y = 1 + 1 + 2 sen (a b), e como a b = 3
p ,
y = 2 + 2 sen 3
p ; y = 2 + 2. 2
; y = 2 + 3
Matemática M3 1 1
- (SANTA CASA SP) Se sen 61º = m, o valor da expressão y = sen 16º + cos 16º é:
a) m b) 2m c) 2 m d) 2 m e) 2 m
Solução:
61º = 45º + 16º. Portanto, se sen 61º = m, vem:
sen (45º + 16º) = m
sen 45º cos 16º + sen 16º. cos 45º = m
cos 16º + 2
sen 16º = m
(cos 16º + sen 16º) = m
cos 16º + sen 16º = 2
2 m Æ y = 2. m
Resposta: c
14 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES COM ARCOS DO TIPO K p±X E X
K
p
Com o uso das fórmulas de adição, podes e deduzir algumas regras que nos permitem simplificar expressões
com arcos do tipo K p±x ou (^) x 2
K
p
. Assim teremos:
A) Arcos da forma K p±x
Regra prática:
A função é mantida
Suponha x no 1º quadrante.
Localize o quadrante do arco K p ±xe dê o sinal conveniente.
Exemplos:
a) sen (p x )
Solução:
Como estamos supondo x no 1º quadrante p^ x estará no 2º quadrante, onde o seno é positivo; logo,
sen (p x) = sen x
b) tg (p^ x)
Solução:
p (^) x “está” no 2º quadrante onde a tangente é negativa. Logo tg (p x) = tg x
c) Cos (p^ + x)
Solução:
Se x está no 1º quadrante, p + x está no 3º quadrante, onde o cosseno é negativo. Portanto,
Cos (p^ + x) = Cos x
d) Cotg (2p^ x)
Solução:
2 p^ x será um arco do 4º quadrante, concorda? No 4º quadrante, a cotangente é negativa e então
cotg (2p x) = cotg x
Matemática M3 1 3
- (FATECSP) Se S = sen ( p x). cos ( 2
p x) + tg (x 2
p ). cos ( 2
p
- x). cos (2 p x) então para todo x real,
x π K p,^ K^ Œ^ Z, S é igual a:
a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
Solução:
Observe que:
sen ( p x) = sen x
cos ( 2
p x) = sen x
tg (x 2
p ) = t g ( 2
p x) = cotg x
cos ( 2
p
cos (2 p x) = cos x
15 FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO
Usando as fórmulas de adição, provas e que:
a) sen 2x = 2 sen x cos x
b) cos 2x = cos
2 x sen
2 x
cos 2x = 1 2 sen
2 x
cos 2x = 2 cos
2 x 1
c) tg 2x = 1 tgx
2 tgx
2
Como sugestão para você, vamos provar a fórmula sen 2x = 2 sen x cos x. Para isso, façamos na
fórmula sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a, a = b = x. Obteremos:
sen (x + x) = sen x. cos x + sen x. cos x
sen 2x = 2 sen x cos x
Atenção: Essas fórmulas podem aparecer sob diversas formas. O importante é que o arco que aparece no
primeiro membro seja o dobro do arco que aparece no 2º membro. Assim é correto afirmar que:
sen 6x = 2 sen 3x cos 3x
cos 4x = cos 2 2x sen 2 2x
sen x = 2 sen 2
x cos 2
x
- Se sen x cos x = 5
, calcule:
a) sen 2x
b) sen x + cos x
Solução:
a) De sen x cos x = 5
, obtemos:
(sen x cos x)
2
25
sen 2 x + cos 2 x 2 sen x cos x = 25
1 sen 2x = 25
; sen 2x = 25
Portanto:
S = sen x. sen x + (co tg x). (s en x). cos x
S = sen 2 x + senx
cos x
. sen x. cos x
S = sen
2 x + cos
2 x ; S = 1
Resposta: d
b) Seja y = sen x + cos x. Então:
y
2 =sen
2 x + cos
2 x + 2 sen x cos x
y 2 = 1 + sen 2x
y
2 = 1 + 25
; y
2
25
; y = 5
1 4 Matemática M
- (FUVEST SP) O valor de (sen 22º30’ + cos 22º30’) 2 é:
a) 2
b) 2
c) 2
d) 1 e) 2
Solução:
y = (sen 22º30’ + cos 22º30’)
2
y = sen
2 22º30’ + cos
2 22º30’ + 2 sen 22º30’. cos 22º30’
y = 1 + sen 45º
y = 1 + 2
; y = 2
Resposta: c
16 FÓRMULAS DE DIVISÃO
Como vimos, cos 2a = 1 2 sen
2 a. Logo, fazendo a = x/2, obtemos:
cos x = 1 2 sen 2
2
x e daí:
sen 2
x
2
1 - cosx ±
Para decidir sobre qual sinal usar, localize o quadrante no qual se localiza o arco 2
x .
De modo semelhante, provas e que:
cos 2
x
2
1 +cosx ± (^) e 1 cosx
1 cosx
x tg
- Calcule cos 22°30’
Solução:
Como 22°30’ é um arco do 1º quadrante, teremos:
cos 22°30’ = 2
1 cos 45
o
cos 22°30’ = 2
cos 22°30’ = 2
cos 22°30’ = 4
Em determinados problemas, é muito útil sabermos expressar o seno, o cosseno e a tangente de um arco
como função do arco metade. Isso pode ser feito usandos e as fórmulas a seguir:
sen x =
x 1 tg
x 2 tg
2
cos x =
x 1 tg
x 1 tg
2
2
tg x =
x 1 tg
x 2 tg
2
1 6 Matemática M
b) y = sen x + sen ( p / 2 - x)
Á
Ë
Ê - p + ˜ ¯
Á
Ë
Ê +p -
2
x / 2 x cos 2
x / 2 x y 2 sen
Á
Ë
Ê p
p
4
cos x 4
y 2 sen e como sen 2
p
Á
Ë
Ê p = - 4
y 2 cos x
Se quisermos transformar um produto em soma, usamos as fórmulas de reversões.
a) sen a. sen b = 2
[sen (a + b) + sen (a b)]
b) cos a. cos b = 2
[cos (a + b) + cos(a b)]
18 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para resolver uma equação trigonométrica, tente reduzil a a uma das equações fundamentais dadas a seguir.
a) Equação do tipo sen x = sen a
Como se vê no diagrama abaixo, todos os arcos com extremidades em a ou p a , satisfazem à equação.
Logo, a solução procurada é:
x = a + 2k p ou
x = p a + 2k p
b) Equação do tipo cos x = cos a
A solução é:
x = a + 2k p
ou
x = a + 2k p
c) Equação do tipo tg x = tg a
A solução é:
x = a + k p
a
a
Observações:
Essas equações são as equações fundamentais. Qualquer outra equação para ser resolvida deve ser
transformada em uma equivalente a uma das equações fundamentais.
Das relações vistas até agora decorre que uma resposta de uma equação pode apresentar várias formas.
Não se esqueça de verificar o domínio de validade da equação.
Matemática M3 1 7
- Resolva a equação 2 sen x 1 = 0
Solução:
2 sen x 1 = 0; sen x = 2
; sen x = sen 6
p e então:
x = 6
p
p
5 p
Resp.: x = 6
p
5 p
- Resolva a equação 4 cos x + 3 sec x = 8, no intervalo
2
0 x
p £ £
Solução:
4 cos x + 3 sec x = 8
4 cos x +
cosx
= 8; 4cos 2 x + 3 = 8 cos x e daí:
4 cos
2 x 8 cos x + 3 = 0
D = 64 48 = 16
cos x = 8
; cos x = 2
ou cos x = 2
se cos x = 2
, x = 3
p
se cos x = 2
, não existe x, pois -^1 £cosx£^1
- Resolva a equação cotg 2x = cotg (x + 4
p )
Solução:
A solução da equação cotg x = cotg a é a mesma da equação tg x = tg a, ou seja, x = a + k p. Logo:
2x = x + 4
p
p
- Resolva a equação 3 sen x + cos x = 3 , no intervalo (0, 2 p ).
Solução:
Da equação dada tiramos que cos x = 3 3 sen x.
Substituindo na igualdade sen
2 x + cos
2 x = 1, obtemos:
sen 2 x + ( 3 3 sen x) 2 = 1
sen
2 x + 3 6 sen x + 3 sen
2 x = 1
4 sen 2 x 6 sen x + 2 = 0 ou
2 sen 2 x 3 sen x + 1 = 0
D = 9 8 = 1
sen x = 4
; sen x = 1 ou sen x = 2
Se sen x = 1, x = 2
p
Se sen x = 2
; x = 6
p ou x = 6
5 p
Resposta: S = {^ } 6
,^5
p p p
Matemática M3 1 9
Exemplo:
Ache o período de y = cos 4x. tg 3
2 x
Solução:
Período de f(x) = cos 4x; 4 2
P
1
p
p
Período de g(x) = tg 3
2 x ; 2
P
2
p
p
P
P
P
P
2
1
2
1 Æ = p
p =. Portanto, o período procurado é: p = 3P 1 = 1P 2 =^ 2
3 p
20 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Como você já sabe, uma função só admite inversa se for bijetora, e as funções trigonométricas não são
bijetoras. No entanto, se restringirmos seus domínios convenientemente, obteremos funções bijetoras nesses
domínios.
A) A função arco seno
Seja a função f: D Æ A, definida por f(x) = sen x, onde
D =
Í
Î
È p p
e A = [1 , 1]
Nessas condições f é bijetora, e então tem inversa, que
denominaremos de função arco seno e será a função
f 1 : A Æ D, para a qual f 1 (x) = arc sen x.
Exemplo:
Se y = arc sen x, então arc sen ( 2
) é o arco do intervalo ˙ ˚
Í
Î
È p p
, cujo seno vale 2
Logo arc sen ( 2
p .
B) A função arcoc osseno
Seja a função f: D Æ A, definida por f(x) = cos x, com
D = [0, p ] e A = [1 , 1]. Nessas condições, f é bijetora.
Sua inversa, que chamaremos de função arco cosseno é
a função f 1 : A Æ D, definida por f 1 (x) = arc cos x,
onde arc cos x é o arco cujo cosseno é x.
Exemplo:
Seja y = arc cos x. Calcule y = arc cos ( 2
Solução:
y = arc cos ( 2
- ) é o arco do intervalo [0, p] cujo cosseno vale 2
-. Logo arc cos ( 2
5 p
p
2
y
p x
p
2
p
2
y
2 0 Matemática M
C) A função arcot angente
Seja a função f: D Æ R, definida por f(x) = tg x, com D = (^) ˙ ˚
Í
Î
È p p
. Então f é bijetora. Sua inversa, que
chamaremos de função arcot angente é a função f
1 : R Æ D, definida por f
1 (x) = arctg x onde arctg x é o
arco cuja tangente vale x.
Exemplo: Calcule arctg (1 )
Solução:
arctg (1 ) é o arco do intervalo ˙ ˚
Í
Î
È p p
, cuja
tangente vale 1. Logo, arctg (1 ) = 4
p
- Ache o domínio da função y = arcsen (3x + 1)
Solução:
Como o domínio de f(x) = arcsen x é - 1 £x£ 1 , deveremos ter:
- 1 £ 3 x+ 1 £ 1 ;^ - 2 £ 3 x£ 0 ;^ x^0 3
Resposta: (^) x 0 3
- (PUCSP) Um dos valores de sen (arcsen 3/5 + arcsen 2/3) é:
a) 16
b) 17
c) 14
d) 12
e) 15
Solução:
Observe que se arcsen x = a, então sen a = x.
Então, teremos arcsen ( 5
) = a Æ sen a = 5
e 2
a 2
p £ £
p
arcsen ( 3
) = b Æ sen b = 3
e 2
b 2
p £ £
p
O que se pede então é achar y = sen (a + b), logo: y = sen a cos b + sen b cos a (I)
Usando a relação sen 2 x + cos 2 x = 1, e observando os quadrantes onde estão a e b, você encontra que
cos a = 5
e cos b = 5 3 ; substituindo em (I), você terá: 15
y 5
y
= + Æ =.
Resposta : e
p 2
y
-^0 x
p
2
