Funções Reais, Notas de estudo de Matemática

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Curso: Licenciatura em Matemática

Professor MsC: José Alves de Oliveira Neto

0 1 2 2 3 2 2 2 3

T M C

T M C i C C i T M C i i C i C i i C i T M C i i C i C i i C i

T  n  M (^) n  C (1  i ) n^ ^1   i C (1  i ) n^ ^1  C (1  i ) n^ ^1  (1  i )  C (1  i ) n

Exemplo Preliminar

Um aplicador investe um capital C corrigido mensalmente em

regime de juros composto a uma taxa de i% a mês. Qual o modelo

matemático que fornece o montante no n-ésimo mês?

Temos:

No mês n o montante será:

Na definição acima, os conjuntos A e B são chamados,

respectivamente, domínio e contradomínio da função f. Além disso,

para expressar o fato de que y depende (é função) de x, escrevemos:

y  f ( ) x

x: é a variável independente;

y: é a variável dependente;

f: é a regra ou lei que faz associar a cada x  A um único (^) y  B.

Em que:

Observações: i) Note que existem sempre 3 ingredientes em uma função: um domínio, um contradomínio e uma lei de associação; ii) Não pode haver exceções: a regra deve ser aplicável a todos os elementos.

iii) Não pode haver ambiguidades: cada está associado a um único

pela regra f.

x  A x  A y  B

O conjunto imagem de uma função é constituído pelos elementos do contradomínio (B) que estão associados a pelo menos um elemento do domínio (A) de f.

f : A  B

3) Seja R o conjunto dos números reais e f a função tal que

f : 

f ( ) x  x^2  3 x  1

Temos:^2

2 2 2 2 2 2 2

1 (1)^1 3 1^1

x y f x x x f f f f f f f

Gráfico de uma função

O gráfico de uma função é uma figura que exibe o

comportamento da variável dependente (y) à medida que a variável

independente (x) assume valores no domínio A.

f : A  B

Matematicamente,

O gráfico de uma função é o subconjunto do produto

cartesiano formado pelos pares ordenados , onde e

f : A  B G f ( )

A  B ( , x f ( )) x x  A

y  f ( ) x  B

Exemplos:

Exemplos:

Construir os gráficos das seguintes funções:

a)

b)

f : , tal que f ( ) x^12 x  ^ 

g :  , tal que g( ) x  0,5  x^3  5 x

Tipos de Funções

iv) Funções transcendentes: são funções nas quais a variável

independente aparece submetida a alguma das operações

trigonométrica, exponencial ou logarítmica.

Exemplos

f x ( )  2  3 senx g x ( )  23 x ^5  8 h x ( )  x^2  log( x 1)

Propriedades das Funções

i) Função Crescente

ii) Função Decrescente

Propriedades das Funções

v) Função Bijetora

Uma função é bijetora quando é injetora e sobrejetora ao

mesmo tempo.

f : A  B

Exemplos:

Injetora e não sobrejetora Não injetora e não sobrejetora

Sobrejetora e não injetora

Bijetora

5. Faça o que se pede:

a) Mostre que a função (^) f :  , f x ( )  3 x  5 , é bijetora.

b) Mostre que a função , dada por , não é injetora e nem sobrejetora.

g : ^ g( ) x^^ ^ x^2 ^5

Raiz ou zero de uma função

Raiz ou zero de uma função f : A  B é qualquer valor (^) a  A tal que

f a ( ) 0.

Para se determinar a raiz de

uma função , impomos a

condição e resolvemos

a equação obtida.

f ( ) x

f ( ) x  0

Graficamente, as raízes de

uma função representam os

pontos nos quais o gráfico da

função intersecta (corta) o

eixo das abscissa.

Função Composta

Para calcular o preço de custo de uma encomenda de certo tipo

de panfleto, uma gráfica utiliza a fórmula , em que c é

o custo e n é a quantidade de panfletos encomendados. Por outro lado,

para calcular o preço de venda a gráfica faz uso da fórmula.

c n ( )  20 0,04 n

v c ( ) 1, 4 c

Observando que a função custo depende de n e, por sua vez, a função preço de venda depende da função custo, podemos criar uma função preço de venda que dependa de n, e assim não precisaremos calcular, primeiro o custo e depois o preço de venda. A nova função vai calcular o preço de venda diretamente a partir da quantidade n de panfletos encomendados. Temos:

 

I , ( ) 28 0, 05.

c n n (^) v c c n n v c c sto é v n n