Fundamentos da Matemática, Resumos de Lógica Matemática

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Christian Q. Pinedo

ii Fundamentos da Matemática

iv Fundamentos da Matemática

Título do original Fundamentos da Matemática

Primeira Edição, janeiro de 2008

Direitos exclusivos para língua portuguesa: GEPEM UFT - CAMPUS DE ARAGUAÍNA

Pinedo. Christian Quintana, 1954 - Fundamentos da Matemática/ Christian José Quintana Pinedo : Uni- versidade Federal do Tocantins. Campus de Araguaína, Curso de Ciências - Habilitação plena em Matemática, 2007. 250 p. il. 297 mm I. Lógica matemática. Christian Q. Pinedo. II. Série. III. Título CDD 519. 5 ed. CDU

Araguaína - TO - 2007

SUMÁRIO

Notações.................................................................. x

x Fundamentos da Matemática

NOTAÇÕES

• 1 LÓGICA MATEMÁTICA Prefácio xi
  • 1.1 EVOLUÇÃO DA LÓGICA
    • 1.1.1 Introdução.
    • 1.1.2 Evolução da lógica.
  • 1.2 UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA
    • 1.2.1 Lógica Indutiva.
    • 1.2.2 Lógica Dedutiva.
    • 1.2.3 O que a lógica não é.
    • 1.2.4 O que é a lógica matemática?
  • 1.3 ENUNCIADOS. PROPOSIÇÕES
    • 1.3.1 Noção de raciocínio.
    • 1.3.2 Noção de verdade.
    • 1.3.3 Enunciados abertos.
    • 1.3.4 Composição de proposições.
    • 1.3.5 Conectivos lógicos.
    • 1.3.6 Argumento: Indutivo. Dedutivo.
    • 1.3.7 Tabela-verdade de uma proposição composta.
    • 1.3.8 Construção de uma tabela − verdade.
    • Exercícios 1-1
  • 1.4 TAUTOLOGIA
    • 1.4.1 Tautologias elementares.
    • 1.4.2 Implicação lógica.
    • 1.4.3 Equivalência lógica.
    • Exercícios 1-2
  • 1.5 ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES
    • 1.5.1 Propriedades da conjunção.
    • 1.5.2 Propriedades da disjunção.
    • 1.5.3 Propriedades da disjunção e conjunção.
    • 1.5.4 Método dedutivo.
    • 1.5.5 Redução do número de conectivos. vi Fundamentos da Matemática
    • 1.5.6 Princípio de dualidade.
    • Exercícios 1-3
    • Miscelânea 1-1
• 2 TEORIA DA DEMONSTRAÇÃO
  • 2.1 ARGUMENTO
    • 2.1.1 Argumento: Dedutivo. Indutivo.
    • 2.1.2 Premissas.
    • 2.1.3 Inferência.
    • 2.1.4 Conclusão.
    • 2.1.5 A Implicação em detalhes.
    • 2.1.6 Validade de um argumento.
    • 2.1.7 Condicional associada a um argumento.
    • 2.1.8 Reconhecendo Argumentos.
    • 2.1.9 Argumentos consistentes fundamentais.
  • 2.2 INFERÊNCIA LÓGICA
    • 2.2.1 Regras de inferência.
    • 2.2.2 Principais regras de inferência lógica.
    • 2.2.3 Verificação com o uso de tabela-verdade.
    • 2.2.4 Verificação sem o uso de tabela-verdade.
    • Exercícios 2-1
  • 2.3 DEMONSTRAÇÃO
    • 2.3.1 Demonstrações diretas.
    • 2.3.2 Demonstrações indiretas.
  • 2.4 FUNÇÕES PROPOSICIONAIS
    • 2.4.1 Função proposicional.
    • 2.4.2 Raiz de uma função proposicional.
  • 2.5 QUANTIFICADORES
    • 2.5.1 Negação de quantificadores.
    • 2.5.2 Ambigüidades
    • Exercícios 2-2
    • Miscelânea 2-1
• 3 CONJUNTOS
  • 3.1 ESTUDO AXIOMÁTICO DA TEORIA DE CONJUNTOS
    • 3.1.1 Conceitos primitivos.
    • 3.1.2 Axioma de extensão.
    • 3.1.3 Axioma de especificação.
    • 3.1.4 Definições de classes.
    • 3.1.5 Conjunto Infinito.
    • 3.1.6 Classe: Vazia. Universal
    • 3.1.7 Axioma do par não ordenado. Christian José Quintana Pinedo vii
    • 3.1.8 Inclusão de conjuntos.
    • 3.1.9 Axioma das potências.
    • 3.1.10 Conjunto: Potência. Disjunto.
    • 3.1.11 Diagramas: De Venn-Euler. Linear.
    • 3.1.12 Complemento de um conjunto.
    • Exercícios 3-1
  • 3.2 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
    • 3.2.1 União de conjuntos.
    • 3.2.2 Interseção de conjuntos.
    • 3.2.3 Diferença de conjuntos.
    • 3.2.4 Diferença simétrica de conjuntos.
  • 3.3 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
    • 3.3.1 Leis da álgebra de conjuntos.
    • 3.3.2 Princípio de dualidade.
    • 3.3.3 Família de conjuntos.
    • 3.3.4 Axioma das uniões.
    • 3.3.5 Operações generalizadas.
    • 3.3.6 Axioma do conjunto vazio.
    • Exercícios 3-2
• 4 RELAÇÕES
  • 4.1 OUTRAS CLASSES DE CONJUNTOS
    • 4.1.1 Propriedade definida sobre um conjunto.
    • 4.1.2 Quantificadores.
  • 4.2 CONJUNTO PRODUTO
    • 4.2.1 Par ordenado.
    • 4.2.2 Produto cartesiano.
    • 4.2.3 Diagonal de um produto cartesiano.
    • 4.2.4 Relações.
    • 4.2.5 Domínio e Imagem de uma relação.
    • 4.2.6 Diagramas de coordenadas.
    • 4.2.7 Gráfico de uma relação.
  • 4.3 TIPOS DE RELAÇÕES
    • 4.3.1 Relação binária.
    • 4.3.2 Relação reflexiva.
    • 4.3.3 Relação simétrica.
    • 4.3.4 Relação anti-simétrica.
    • 4.3.5 Relação transitiva.
    • 4.3.6 Relação de equivalência.
    • 4.3.7 Relação inversa.
    • Exercícios 4-1
  • 4.4 CLASSES DE EQUIVALÊNCIA viii Fundamentos da Matemática
    • 4.4.1 Conjunto quociente.
    • 4.4.2 Partição de um conjunto.
  • 4.5 APLICAÇÃO
    • 4.5.1 Domínio e Imagem de uma aplicação.
    • 4.5.2 Axioma de substituição.
    • 4.5.3 Gráfico de uma aplicação.
    • 4.5.4 Definição formal de aplicação.
    • 4.5.5 Aplicação biunívoca, sobrejetiva e bijetiva.
    • 4.5.6 Composição de aplicações.
    • 4.5.7 Imagem inversa de uma aplicação.
    • 4.5.8 Aplicação inversa.
  • 4.6 CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO
    • 4.6.1 Conjuntos enumeráveis.
    • 4.6.2 Paradoxo de Cantor.
    • Exercícios 4-2
    • Miscelânea 4-1
• 5 NÚMEROS NATURAIS
  • 5.1 CONJUNTO INDUTIVO
    • 5.1.1 Axioma de Infinitude.
  • 5.2 NÚMEROS NATURAIS
    • 5.2.1 Indução matemática.
    • 5.2.2 Adição de números naturais.
    • 5.2.3 Relação de ordem em N
    • 5.2.4 Multiplicação de números naturais.
    • 5.2.5 Potência inteira de um número natural.
    • Exercícios 5-1
  • 5.3 PROPRIEDADES ADICIONAIS EM N
    • 5.3.1 Multiplicidade.
    • 5.3.2 Divisibilidade.
    • 5.3.3 Relação entre o m.m.c. e m.d.c..
    • 5.3.4 Propriedades adicionais de divisibilidade.
    • Exercícios 5-2
    • Miscelânea 5-1
• 6 OPERAÇÕES BINÁRIAS
  • 6.1 RELAÇÃO DE ORDEM
    • 6.1.1 Relação de ordem parcial.
    • 6.1.2 Relação de ordem total.
  • 6.2 LIMITES: Superior. Inferior.
    • 6.2.1 Supremo. Ínfimo.
  • 6.2.2 Elementos: Maximal. Minimal. Christian José Quintana Pinedo ix
• 6.3 LEIS DE COMPOSIÇÃO
  • 6.3.1 Lei de composição interna.
  • 6.3.2 Isomorfismo.
  • 6.3.3 Lei de composição externa.
• 6.4 OPERAÇÕES BINÁRIAS
  • 6.4.1 Operação binária univocamente definida.
  • 6.4.2 Sistema matemático.
  • 6.4.3 Classificação dos sistemas matemáticos.
  • Exercícios 6-1
• Índice - ∼ negação 1.3. Seção - ∧ conjunção 1.3. - ∨ disjunção inclusiva 1.3. - Y disjunção exclusiva 1.3. - ⇒ condicional 1.3. - ⇔ bicondicional. 1.3.
• p 1 , p 2 , · · · , pn ` q argumento de premissas p 1 , p 2 , · · · , pn e conclusão q 2.1. - ∀ quantificador universal 2. - ∃ quantificador existencial 2. - N conjunto dos números inteiros 3.1. - Z conjunto dos números inteiros 3.1. - Q conjunto dos números racionais 3.1. - R conjunto dos números reais 3.1. - C conjunto dos números complexos 3.1. - ∅ classe vazia 3.1. - U classe universal 3.1. - ⊆ inclusão de conjuntos 3. - ⊂ inclusão própria de conjuntos 3. - P(A) conjunto potência de A 3. - CUA complemento de A em U 3. - ∪ união de conjuntos 3. - ∩ interseção de conjuntos 3. - 4 diferença simétrica de conjuntos 3.2. - A × B produto cartesiano de A com B 4.
  • R : A −→ B aplicação R de A em B 4. - m | n m divide n 5.3. - m - n m não divide a n 5.3.
    • A ' B A isomorfo com B 6.3.

PREFÁCIO

Considerando que a matemática é uma ciência formal não empírica, os fatores que incidem no problema do conhecimento para o aprendizado da matemática é muito complexo, este tema na verdade é um dos grandes desafios para os pesquisadores da “didática geral”.

A maioria dos estudantes de todos os níveis do ensino, dizem que aprender matemática é “difícil”, não obstante poucas vezes busca-se uma explicação do porque não aprendem as ciências exatas os alunos?

Os alunos não aprendem matemática, porque não sabem relacionar conhecimentos que se ensinam na escola com os problemas que se apresentam na vida real. Além disto, a maioria dos estudantes optaram por aprender matemática pelo modo “mecanicista” que é o pior de todos os métodos.

Outro grave problema é que o aprendizado não é significativo. Estas notas pretendem motivar aos estudantes para que, com a ajuda da “lógica matemática” ele seja capaz de achar estes relacionamentos entre os diferentes esquemas do aprendizado, e deste modo tenha uma boa estrutura cognitiva.

Uma inquietude bastante natural no aluno interessado em um curso de lógica matemática é a de aprender a demonstrar. Porém demora em entender o que é uma demonstração em matemática, isto se deve ao fato que o aluno não tem claro o que é demonstrar nesta ciência. Somente tem a preparação regular na manipulação mecânica de alguns conceitos matemáticos; o estudante carece de espírito analítico.

Confunde os desenvolvimentos formalistas, mecanicistas e a memorização com o raciocínio correto. Precisamente essa falta de espírito analítico é o que provoca um rechaço à análise de conceitos e métodos básicos da matemática, como por exemplo, o método da redução ao absurdo, o conceito de limite e o principio da indução matemática.

Considero que se uma pessoa aprende lógica matemática, saberá relacionar estes conhecimen- tos, com as outras áreas para deste modo criar conhecimento.

Esta obra representa o esforço de sínteses na seleção de um conjunto de notas de aula de

xi

Capítulo 1

LÓGICA MATEMÁTICA

Aristóteles

Aristóteles nasceu em Estagira em 384 a.C. e faleceu em Calcis (Eubea), em 322 a.C. Estudou com Platão durante vinte anos e lecionou na Academia que Platão fundou. Depois de viajar por vários países, voltou a Atenas, onde abriu uma escola de Filosofia, que competiu com seriedade e exito com a Academia de seu mestre. Esteve bastante ligado com Alexandre o Grande ( 356 − 323 a.C.), de quem havia sido conselheiro, razão pela qual, à morte de este, teve que abandonar Atenas, onde não pode mais ingressar. Aristóteles representa o ponto máximo da ciência e filosofia clássica, as quais contribuiu como pensador excepcional e como pesquisador audacioso e sistemático. É daí que praticamente todas suas obras estão relacionadas com a ciência da natureza, além da lóg- ica, da metafísica, da ética, da política, da retórica e da poética, algo assim como uma enciclopédia do saber de sua época.

1.1 EVOLUÇÃO DA LÓGICA

1.1.1 Introdução.

Podemos pensar a lógica como o estudo do raciocínio correto. O raciocínio é o processo de obter conclusões a partir de suposições ou fatos. O raciocínio correto é o raciocínio onde as conclusões seguem-se necessária e inevitavelmente das suposições ou fatos. A lógica procura estudar as coisas da mente, e não as coisas reais. Por exemplo, quando dize- mos: arco-íris bonito, sol distante, praia suave são classificações que damos às coisas. Aplicamos lógica na filosofia, matemática, computação, física entre outros. Na filosofia para determinar se um certo raciocínio é válido ou não, pois uma frase pode ter diferentes interpretações, não obstante a lógica permite saber o significado correto. Nas matemáticas para demonstrar teoremas e inferir resultados corretos que podam ser aplicados nas pesquisas. Na computação para determinar se um determinado “programa” é correto ou não, na física para obter conclusões de experimentos. Em geral a lógica aplicamos nas tarefas do dia-dia,

1

2 Fundamentos da Matemática

qualquer trabalho que realizarmos tem um procedimento lógico. A lógica é somente mais uma teoria do pensamento; Aristóteles é considerado o criador da lógica, porem o nome “lógica” veio bem depois. No início ela não tinha um nome. Para Aristóteles, a lógica seria um modo a ser usado para as pessoas poderem raciocinar com segurança (evitando errar). Observe um exemplo da lógica dedutiva de Aristóteles:

• Todo planeta é quadrado.
• A Terra é um planeta.
• Logo, a Terra é quadrada.

É lógica dedutiva pelo fato que ao começar com algumas informações, pode-se chegar a uma conclusão (deduzir!); esta investigação é chamada de Silogismo. Esta lógica não se preocupa com o fato de a Terra ser quadrada, mesmo que se saiba que ela é redonda. Pouco importa, ela aceita a informação que lhe foi dada. Mas exige que o raciocínio esteja correto. Preocupa-se com a forma: A = B, então, B = A. Ela não presta atenção ao conteúdo: A ou B podem ser planetas, burros, plantas, etc. Por isso, esta lógica é formal (de forma) e dedutiva (de dedução). A nossa lógica formal dedutiva funciona assim: a partir de uma seqüência de orações ver- dadeiras chegamos a uma conclusão verdadeira; a lógica sempre utiliza uma linguagem exata (símbolos, sinais). Isso simplifica e facilita seu estudo. Aristóteles também elaborou a argumentação lógica indutiva.

• A baleia, o homem e o cãozinho são mamíferos.
• A baleia, o homem e o cãozinho mamam.
• Logo, os mamíferos mamam. Ou seja, de enunciados singulares chegamos a um universal. Mais tarde, Bacon e Stuart Mill aprofundaram esses ensinamentos e dividiram a lógica em três áreas:

1. Formal: Aquela que acabamos de explicar.
2. Transcendental: Esta lógica estuda as condições que dão base ao nosso conhecimento. Kant explicou que o intelecto tende a colocar todo em ordem, cada tijolinho no lugar. Aliás, cada pessoa já possui uma lógica natural ao interpretar e classificar o que ela vivencia.
3. Matemática: Os filósofos desenvolveram a lógica matemática há pouco tempo (Frege, Peano, Russell e outros). Ela origina fórmulas de outras fórmulas, é puro raciocinio. São regras e mais regras inventadas, como jogos de cartas. Hegel, no entanto, achava que a lógica referia-se ao pensamento e à realidade; disse que: “todo o que é racional é real, e todo o que é real é racional”.

4 Fundamentos da Matemática

“Organon” ( “Instrumento da Ciência”). Na Grécia, distinguiram-se duas grandes escolas de lógica, a:

Peripatética que derivava da escola fundada por Aristóteles, e a;

Estóica fundada por Zenão ( 326 − 264 a.C.).

A escola Estóica foi desenvolvida por Crisipo ( 280 − 250 a.C.) a partir da escola Megária fundada por Euclides, (seguidor de Sócrates). Segundo Kneale (“O Desenvolvimento da lógica”), houve durante muitos anos certa rivalidade entre os Peripatéticos e os Megários, isto talvez tenha prejudicado o desenvolvimento da lógica, embora na verdade as teorias destas escolas fossem complementares. Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 − 1716 ) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX.

1.1.2.2 Período Booleano (± 1840 a ± 1910 )

Inicia-se com George Boole ( 1815 − 1864 ) e Augustus de Morgam ( 1806 − 1871 ). Publicaram os fundamentos da chamada “Álgebra da lógica”, respectivamente com “Mathematical Analysis of Logic” e “Formal Logic”. Gotlob Frege ( 1848 − 1925 ) um grande passo no desenvolvimento da lógica com a obra “Begriffsschrift” de 1879. As idéias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se seguiu. Giuseppe Peano ( 1858 − 1932 ) e sua escola com Burali Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda a simbologia da matemática se deve a essa escola italiana.

1.1.2.3 Período Atual (1910 − · · · )

Com Bertrand Russell ( 1872 − 1970 ) e Alfred North Whitehead (1861-1947) se inicia o período atual da lógica, com a obra “Principia Mathematica”. David Hilbert ( 1862 − 1943 ) e sua escola alemã com Von Neuman, Bernays, Ackerman e outros. Kurt Gödel (1906-1978) e Alfred Tarski ( 1902 − 1983 ) com suas importantes contribuições. Surgem as lógicas não-clássicas: N.C.A. da Costa (Universidade de São Paulo) com as lógicas paraconsistentes, L. A. Zadeh (Universidade de Berkeley-USA) com a lógica “fuzzy” e as contribuições dessas lógicas para a Informática, no campo da “Inteligência Artificial” com os “Sistemas Especialistas”. Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em lógica englobam muitas áreas do conhecimento.

1.2 UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA

1.2.1 Lógica Indutiva.

Útil no estudo da teoria da probabilidade, não será abordada.

Christian José Quintana Pinedo 5

1.2.2 Lógica Dedutiva.

Que pode ser dividida em :

• Lógica Clássica: Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. É o que chamamos hoje de “Cálculo de predicados de primeira ordem” com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas. Três princípios (entre outros) regem a lógica clássica: Da identidade. Da contradição; e. Do terceiro excluído os quais serão abordados mais adiante.
• Lógicas Complementares da Clássica: Complementam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu domínio. Estas são: lógica modal, lógica deôntica, lógica epistêmica entre outras.
• Lógicas Não-clássicas: Assim caracterizadas por desconsiderar algum ou alguns dos princípios da lógica clássica. Sendo estas: lógica paracompleta e lógica intuicionista (des- consideram o princípio do terceiro excluído); lógica paraconsistente (desconsidera o princí- pio da contradição); lógica não-alética (desconsidera o terceiro excluído e o da contradição); lógica não-reflexiva (desconsidera o princípio da identidade); lógica probabilística , lógica polivalente, lógica fuzzy entre outras.

1.2.3 O que a lógica não é.

Vale fazer alguns comentários sobre o que a lógica não é.

Primeiro: A lógica não é uma lei absoluta que governa o universo. Muitas pessoas, no passado, concluíram que se algo era logicamente impossível (dada a ciência da época), então seria sempre literalmente impossível. Acreditava-se também que a geometria euclidiana era uma lei universal; afinal, era logicamente consistente. Mas sabemos que tais regras geométricas não são universais.

Segundo: A lógica não é um conjunto de regras que governa o comportamento humano. Pessoas podem possuir objetivos logicamente conflitantes. Por exemplo:

• Pedro quer falar com o Coordenador do Curso de Matemática.
• O Coordenador é Carlos.
• Logo, Pedro quer falar com Carlos. Infelizmente, pode ser que Pedro também deseje, por outros motivos, evitar contato com Carlos, tornando seu objetivo conflitante. Isso significa que a resposta lógica nem sempre é praticável.

1.2.4 O que é a lógica matemática?

Tem-se tentado caracterizar a matemática ao longo dos tempos, quer quanto a seu conteúdo, ou a sua forma e métodos; acontece que a matemática constantemente está evoluindo com novas teorias, assim é mais proveitoso caracterizar estes conhecimentos matemáticos quanto à natureza de seus conteúdos.

Christian José Quintana Pinedo 7

Esse foi um exemplo simples da utilização da lógica. Muitos outros poderiam ser listados. O que os matemáticos fizeram foi dar um aspecto matemático à lógica, além de aprimorá-la. Mas a idéia fundamental é antiga. As, pessoas, em geral, pretendem raciocinar agir “logicamente”, no dia-dia, nos estudos, falando de política, futebol, de seus projetos ou do futuro da humanidade. No entanto, a lógica que fundamenta os raciocínios e as ações raramente é explicada ou submetida a críticas. Ela é incorporada de forma inconsciente a partir, sobretudo, do aprendizado da língua natural e parece tão bem partilhado por todos que poucos se julguem carentes de lógica ou considerem necessário estudá-la. Por outro lado, é muito freqüente ouvirmos dizer que estudar matemática desenvolve o raciocínio lógico. Apesar de esta relação não ser totalmente certa, a percepção da estreita relação entre a matemática e lógica, entre a lógica e linguagem, entre a linguagem e o pensamento con- tribui bastante para esclarecer muitas razões pelas quais estudamos certos assuntos sobre todo matemática. Na linguagem natural utilizamos frases de vários tipos:

Declarativas:

• Fredy é escritor.
• Todos os gatos são pardos.
• Existem estrelas maiores que o Sol.

Imperativas:

• Segure firme!
• Não faça isso.
• Procure a entrada.

Interrogativas:

• Quando será a prova de Fundamentos?
• Quantos peruanos trabalham na Coordenação de Matemática?

Exclamativas:

• Que loira bem gelada!
• Parabéns a você! Não serão objeto de estudo as sentenças imperativas, interrogativas ou exclamativas.

1.3.1 Noção de raciocínio.

A noção de raciocínio está presente em todos os estudos da lógica Freqüentemente quando falamos de lógica, pensamos em razão. Segundo a definição de nossa linguagem, a razão é a faculdade que tem o ser humano de avaliar, julgar e ponderar idéias universais.

8 Fundamentos da Matemática

Entendemos como raciocinar ao fato de utilizar da razão para conhecer, para julgar da relação das coisas. Assim, raciocínio é o ato ou efeito de raciocinar. O raciocínio argúi as premissas que inferem resultados exatos e coincidentes com elas, e pretende, no melhor dos casos, ser o resultado de um processo orgânico de “isso” que chamamos cérebro humano.

1.3.2 Noção de verdade.

O método que usamos para saber se uma situação é verdadeira é o que chamamos de linguagem veritativo, é a parte da linguagem clássico que utiliza os termos de verdade, falsidade, etc. Existe duvidas entre os mesmos especialistas, quais as regras que deve-se utilizar em nossa própria linguagem. Por isso não deveremos desvalorizar ou negar o critério que tem as pessoas em comum do conceito de verdade. Ao perguntar a uma pessoa o que é verdade? com certeza será uma pergunta bastante difícil de responder, isto devido ao fato que o conceito de verdade é uma tarefa de análise filosófica e não de levantamento de dados. Para a verdade, não existe um critério geral que a obtenha como aplicável a todos os casos, porém que são sempre parciais e confiáveis. Estamos interessados somente na pergunta do verdadeiro aplicado a o que dizemos, e não a objetos, pessoas, etc. Deste modo a verdade sim podemos defini-la e teorizar-la. Não depende de conhecimentos necessários (embora sim vice-versa)

Definição 1.2. Enunciado. Um enunciado é qualquer frase ou oração.

Exemplo 1.2.

a) A Lua é um satélite da Terra. b) 3 + 2 = 1 + 4 c) x + 3 = 5 d) Sócrates é o mestre de Platão. e) 8 é um número primo. f) O rio Paraná. Aqui estamos utilizando o conceito de identidade, expresso pelo símbolo de igualdade (=); isto é claro no exemplo b). Nos enunciados a), d) e e) o “é” não é predicativo como quando dizemos “Sócrates é mortal”, mas sim um “é idêntica a.. .”, podendo escrever na forma: a) A Lua = um satélite da Terra. d) Sócrates = mestre de Platão. e) 8 = um número primo.

1.3.2.1 Classificação da pergunta: O que é verdade?

1 o^ Quais são os enunciados que são verdadeiros ou falsos?

Aqui, os enunciados são os portadores da verdade.