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PCS 2214
Fund. Eng. Comp. I
1o.Sem. / 2005
Profs: Anna H. R. Costa Jaime S. Sichman Líria M. Sato Romero Tori © 2005
Módulo: Conceitos Fundamentais de Matemática
Autor: Jaime S. Sichman
Versão: 2. Data: 17/02/
PCS 2214 - Fundamentos de
Engenharia de Computação I
Professores:
Anna Helena Reali Costa
Jaime Simão Sichman
Liria Matsumoto Sato
Romero Tori
1o. Semestre 2006
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE
MATEMÁTICA
PCS 2214
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Profs: Anna H. R. Costa Jaime S. Sichman Líria M. Sato Romero Tori © 2005
Módulo: Conceitos Fundamentais de Matemática
Autor: Jaime S. Sichman
Versão: 2. Data: 17/02/
Conteúdo
1. Conjuntos
2. Seqüências e Cadeias
3. Relações
4. Funções
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Módulo: Conceitos Fundamentais de Matemática
Autor: Jaime S. Sichman
Versão: 2. Data: 17/02/
Conjunto: coleção qualquer de objetos.
A = {1, 2, 3, 4}
B = {x | x é inteiro positivo menor do que 5}
C:
D = {2, 1, 4, 3, 1}
Cardinalidade: número de elementos do conjunto
|A| = |B| = |C| = |D| = 4
A = B = C = D
Conjuntos: Definições Básicas
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Autor: Jaime S. Sichman
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Relação de pertinência: 2 ∈ A, 5 ∉ B
X é subconjunto de Y: para todo x ∈ X tem-se x ∈ Y
– A = {1, 2, 3, 4} , E={1, 3}, E ⊆ A, ∅ ⊆ A
– E é subconjunto de A
Conjunto vazio: sem elementos ( ∅ ou {})
– ∅ é subconjunto de qualquer conjunto
Conjuntos: Definições Básicas
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Conjuntos disjuntos: X ∩ Y = ∅
– Exemplo: A = {1, 4, 5} e B = {2, 6} são
disjuntos
Conjunto de conjuntos S disjunto dois a dois:
quaisquer dois de seus conjuntos distintos são
disjuntos
– Exemplo: S = {{1, 4, 5}, {2, 6}, {3}, {7, 8}} é
disjunto dois a dois
Conjuntos Disjuntos
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Conjunto universal ou universo U e Complemento
– A = U - A
Ex : A = {1, 3, 5}
Se U = {1, 2, 3, 4, 5}, então A = {2, 4}
Se U = {1, 3, 5, 7, 9}, então A = {7, 9}
Conjunto Universal
U
A A
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(a)associativa
(A∪B)∪C = A∪(B∪C)
(A∩B) ∩C = A∩ (B∩C)
(b)comutativa
A∪B = B∪A
A∩B = B∩A
(c)distributiva
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
(d)identidades
A∪∅ = A , A∩U = A
(e)complemento
A∪ A=U, A∩A = ∅
Propriedades Básicas de Conjuntos
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(f)idempotência
A∪A = A , A∩A = A
(g)limites
A∪U = U , A∩∅ = ∅
(h)absorção
A∪(A∩B) = A , A∩(A∪B) = A
(i)involução
A = A
(j)0/
∅ = U , U = ∅
(k)De Morgan para conjuntos
A∪B = A∩B
A∩B = A∪B
Conjuntos
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Autor: Jaime S. Sichman
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– Exemplo: Sejam X = {1, 2, 3} e Y = {a, b}
X × Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
Y × X = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
Notar que X × Y ≠ Y × X e que
|X × Y| = |X|. |Y| = |Y × X|
Pares Ordenados e Produto Cartesiano
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N-upla: extensão de par ordenado para n
elementos (a
, a
, ..., a
n
Produto cartesiano de n conjuntos X
, X
, ..., X
n
conjunto das n-uplas (x
, x
, ..., x
n
) onde x
i
∈ X
i
X
× X
×... × X
n
= {(x
, x
, ..., x
n
) | x
i
∈ X
i
, i = 1,...n}
– Exemplo : Sejam X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z = {α, β}
X × Y × Z = {(1, a, α), (1, a, β), (1, b, α), (1, b, β),
(2, a, α), (2, a, β), (2, b, α), (2, b, β)}
– Notar que | X × Y × Z| = |X|. |Y|. |Z|
Pares Ordenados e N-uplas
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Seqüência: coleção ordenada de objetos
– s
, s
, ..., s
n
– n é chamado deíndice da seqüência
– Exemplo : A lista ordenada 2, 4, 6, ... , 2n é
uma seqüência onde s
= 2, s
– Exemplo : A lista ordenada s, a, l, a é uma
seqüência onde t
= s, t
= a, t
= l, e t
= a
Seqüências podem ser finitas ou infinitas
Seqüências
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Subseqüência:
– Exemplo: bc é subsequência de aabcq, cb não é uma
subseqüência da mesma seqüência
– Exemplo: 2, 4, 8, 16, ..., 2
n
,... é subseqüência de 2,
4, 6, 8, ..., 2n, ... onde n
k
k-
Cadeia sobre X: é uma seqüência finita de
elementos de X
– Exemplo: X = {a, b, c}, baac é uma cadeia
Subseqüências e Cadeias
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Relações: conjuntos de pares ordenados.
– Exemplo: relação de parentesco
– R: X → Y ⊆ X × Y
– Caso X = Y, diz-se que R é uma relação em X
Domínio: {x ∈ X | (x,y) ∈ R para algum y ∈ Y}
Imagem: {y ∈ Y | (x,y) ∈ R para algum x ∈ X}
Relações
X
Y
a 1
(a, 1)
(b, 2)
b c
R:
Domínio={a,b} Imagem={1,2}
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Relação um para um Relação um para vários
Relação vários para um
Relação vários para vários
Tipos de Relações
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Aluno Curso
João Computação
Maria Matemática
João Artes
Bete História
Bete Computação
Davi Matemática
Y (Cursos)
X (Alunos)
João
Bete
David
Maria
Computação
Matemática
História
Artes
Relações
R é uma relação entre alunos e cursos
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No exemplo anterior:
• X = {João, Maria, Bete, Davi}
• Y = {Computação, Matemática, História, Artes}
• R = { (João, Computação), (Maria, Matemática),
(João, Artes), (Bete, História),
(Bete, Computação), (Davi, Matemática)}
• Como (João, Artes) ∈R, pode-se escrever João
R Artes.
• O domínio de R é o conjunto X
• A imagem de R é o conjunto Y
Relações
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Exemplo Conjunto Relação
1 {1,2,3,4} {(x,y) | x ≤ y}
2 {a,b,c,d} {(a,a), (b,c), (c,b), (d,d)}
3 {a,b,c} {(a,a), (b,b), (c,c)}
Existem vários modos de representar uma relação:
– descrição da propriedade
– enumeração
– tabelas
– grafos
Cada modo é útil em certas circunstâncias
Relações
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Relações
• Grafos: conjunto de vértices e de arestas
– Vértices: representam elementos do conjunto
– Arestas: aresta de a para b se (a,b) ∈ R
• Ex: R: X → X, X = {1, 2), R = {(1,2)}
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Exemplo 1- a R a, onde a ∈ {1, 2, 3, 4}
– enumeração
– propriedade grafo
{(x,y) | x ≤ y}
– tabela
Relações
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Exemplo 2 - a R a, onde a ∈ {a,b,c,d}
– enumeração
{(a,a), (b,c), (c,b), (d,d)}
grafo
– tabela
a a
b c
c b
d d
Relações
a
b
c
d
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Exemplo Reflexiva Simétrica Anti-Simétrica Transitiva
1 Sim Não Sim Sim
2 Não Sim Não Não
3 Sim Sim Sim Sim
• Numa relação reflexiva, existem laços em todos os
vértices
• Numa relação simétrica, caso exista uma aresta dirigida
de a para b, existirá também uma outra de b para a
• Numa relação anti-simétrica, existe no máximo uma
única aresta dirigida entre dois vértices quaisquer
• Numa relação transitiva, caso haja um caminho de a
para c, existirá também uma aresta dirigida de a para c
Relações
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Relação inversa: Dada R: X → Y, R
: Y → X tal
que R
= {(y,x) | (x,y) ∈ R}
– Exemplo : X = {2, 3, 4}, Y = {3, 4, 5, 6, 7},
R = {(x,y) | y é divisível por x}. Calcule R
Relação composta: Dadas R
: X → Y e R
: Y → Z,
R
• R
: X → Z
R
• R
={(x,z) | existe y ∈ Y, (x,y) ∈ R
e (y,z) ∈ R
Relações Inversas e Compostas
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Ex : Calcule R
• R
, onde:
R
R
= {(2,u), (4,s), (4,t), (6,t), (8,u)}
Exercício:
Seja a seguinte relação R definida no conjunto Z
(x,y) ∈ R se o máximo divisor comum entre x e y é 1
Determine se R é reflexiva, simétrica, anti simétrica,
e transitiva.
Relações Inversas e Compostas
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Sejam Δ
X
uma relação sobre X definida do
seguinte modo:
X
= {(x,x) | x ∈ X}
Certos autores denominam Δ
X
relação
diagonal sobre X
Exercício:
Utilizando o conceito de relação diagonal,
relação inversa e composição de relações,
redefina as seguintes propriedades:
• reflexiva
• simétrica
• anti-simétrica
• transitiva
Relações
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Relações de Equivalência
Cruzeiro
Grêmio Atlético
Internacional
São Paulo
Corinthians Palmeiras
Santos
Flamengo
Fluminense
Vasco
Botafogo
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Pode-se provar o seguinte teorema:
Seja S uma partição do conjunto X. Define-se R
como sendo uma relação R: X → Y de modo
que para algum S
i
∈ S, x e y ∈ S
i
. A relação R é
reflexiva, simétrica e transitiva
Membros de cada S
i
equivalentes no que diz respeito a R.
Relação de equivalência: relação que seja
reflexiva, simétrica e transitiva em um conjunto
X.
Relações de Equivalência
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Versão: 2. Data: 17/02/
Dada uma relação de equivalência num conjunto
X, podem-se considerar os elementos que
pertencem à relação como equivalentes, como
diz o teorema seguinte:
Seja R uma relação de equivalência no conjunto
X. Para cada elemento a ∈ X, define-se
[a] = { x ∈ X | x R a}
O conjunto S = {[a] | a ∈ X} é uma partição de X
Os conjuntos [a] tais como definidos acima são
chamados classes de equivalência de X
Relações de Equivalência
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No exemplo anterior:
[Corinthians]=[Palmeiras]=[São Paulo]=[Santos]= “paulistas”
[Flamengo]=[Vasco]=[Fluminense]=[Botafogo]= “cariocas”
[Grêmio]=[Internacional]= “gaúchos”
[Atlético]=[Cruzeiro]= “mineiros”
– Exemplo: Seja X = {1,2,...,10}. Seja R definida sobre X
tal que se x-y é divisível por 3. Obter as classes de
equivalência de R.
“paulistas”
“cariocas”
“gaúchos” “mineiros”
Relações de Equivalência
