Baixe Fundamentos de Controle Clássico e outras Notas de estudo em PDF para Eletrônica, somente na Docsity!
FUNDAMENTOS DE CONTROLE CLÁSSICO
Richard M. Stephan – Março 2008
1 INTRODUÇÃO
O controle de um processo só se dá definitivamente após as etapas de modelagem e análise. Esta seqüência está esquematizada na Fig. 1 e apresenta o procedimento regular adotado em projetos de engenharia. Quando a análise não fornece resultados compatíveis com a realidade, o modelo precisa ser aprimorado através de métodos de identificação. Quando o comando ou controle implementado não funciona, deve-se suspeitar de uma análise superficial ou de um modelo inadequado. Estas reavaliações estão sugeridas na figura através das linhas de retorno.
Fig. 1 - Procedimento de projetos em engenharia
Os sistemas de comando ou controle à malha aberta exigem um conhecimento muito preciso do processo em estudo. Já os sistemas de controle à malha fechada apresentam como vantagens:
- Rejeição de perturbações externas.
- Compensação de variações dos parâmetros do processo.
- Imposição de uma dinâmica diferente da apresentada pelo processo original.
Fig. 2 Sistema de controle à malha fechada
Como ponto negativo, os sistemas à malha fechada são mais caros uma vez que, para sua implementação, são necessárias:
- Sensores (transdutores).
- Controladores.
- Atuadores, que convertem os sinais de baixa potência dos controladores em entradas do processo.
e u Saída
FORNECIMENTO DE POTÊNCIA
PERTURBAÇÃO
CONTROLADOR ATUADOR PROCESSO
SENSOR
Referência
IDENTIFICAÇÃO / MODELO
ANÁLISE
COMANDO / CONTROLE
O projeto do controlador também exige técnicas especiais. Intuitivamente, percebe-se que o
sinal de erro obtido pela diferença entre um sinal de referência desejado e a atual saída do
processo, indicado por " e " na Fig. 2, permitirá que se tomem as ações adequadas para obter os
sinais de entrada do processo. No entanto, o processamento do sinal de erro, se não for
corretamente escolhido, pode ser catastrófico para o desempenho do sistema realimentado.
Vários exemplos da vida cotidiana servem para ilustrar estes inter-relacionamentos. Por
exemplo, basta pensar nas ações tomadas por um pai quando percebe que o comportamento de
determinado filho está se distanciando de uma referência desejada. A forma como este desvio é
processado e as ações daí resultantes podem fazer com que o filho se recupere ou se perca
totalmente. Este exemplo figurativo mostra também que o conhecimento do processo a ser
controlado (no caso, o filho) facilita muito as ações do controlador (no caso, o pai).
Para os processos industriais, o processamento do sinal de erro através de ações proporcional,
integral e derivativa costuma ser suficiente. Este tipo de controlador é conhecido como PID e
sua função de transferência dada por:
= + + T s Ts
K
Es
U s D I
p
, (1)
onde
K (^) p - Ganho proporcional, TI - Tempo integral, TD - Tempo derivativo.
No domínio do tempo, tem-se:
( ) ( ) ( )
( )
= + ∫ +
t (^) t t D I
t p t dt
de e dt T T
u K e ο
. (2)
A parcela proporcional fornece uma resposta imediata para sinais de erro.
A parcela derivativa reage em função da taxa de variação do erro e influencia principalmente os
instantes transitórios.
A parcela integral garante erro zero em condições de regime permanente com referências e
perturbações constantes. Isto porque, a saída do integrador só fornece um sinal constante se sua
entrada for nula. Naturalmente, estas conclusões partem do princípio que o sistema realimentado
é estável, o que nem sempre acontece. Por isto mesmo, a escolha do controlador precisa se
apoiar em métodos de projeto.
Além da condição de estabilidade que se impõe como pré-requisito de qualquer projeto, outras
características permitem definir o comportamento dinâmico de um sistema linear. Usualmente,
para uma entrada em degrau, quantifica-se a resposta dinâmica através do tempo de subida ( tr ),
do tempo de assentamento ( ts ), do tempo de pico ( tp ) e do sobrepasso ( Mp ), apresentados na Fig.
3 para um sistema com erro de regime zero.
Um breve exemplo servirá para ilustrar esta ferramenta. Tomando ( 2 )
ss
G s , a função de
transferência à malha fechada vale: s s K
K
GMF s
Os pólos desta função de transferência encontram-se em:
s (^) 1 , 2 = − 1 ± 1 − K.
Para 0 ≤ K ≤ 1, as raízes são s (^) 1 , 2 = − 1 ± 1 − K.
Para K > 1, as raízes são s 1 (^) , 2 = − 1 ± j K − 1.
Este resultado está apresentado graficamente na Fig. 5.
Fig. 5 Exemplo de Lugar das Raízes
As raízes do sistema à malha fechada assumem posições diferentes no plano complexo em
função do valor de K. Chama-se Lugar das Raízes (LR) o diagrama que apresenta o lugar que as
raízes do sistema realimentado ocupam no plano complexo em função de K.
Evans estabeleceu uma série de regras para o traçado deste lugar geométrico sem a necessidade
do cálculo das raízes, como foi feito no exemplo anterior. Atualmente, existem vários
programas de computador que fazem este cálculo. No entanto, é útil conhecer as regras mais
simples, uma vez que a partir delas já se torna possível esboçar algumas curvas.
Considerando G ( s )= N ( s )/ D ( s ), as raízes de 1 + KG ( s )= 0 são as raízes de
D ( s )+ KN ( s )= 0.
Assim, para K= 0, esta igualdade reduz-se a D ( s )= 0. Os valores de " s " que atendem esta
condição são os pólos do sistema à malha aberta (REGRA 1).
Para K →∞, a igualdade será satisfeita se N ( s )= 0. Os valores de “s” que satisfazem esta
igualdade são os zeros do sistema à malha aberta (REGRA 2).
Concluí-se, assim, que o LR inicia nos pólos do sistema à malha aberta e termina nos zeros e
que existem tantos ramos quantos são os pólos.
x x
K=0 K=
+j
-j
K=
K=
Como usualmente o número de pólos de um sistema é o maior do que o número de zeros, as
regras 1 e 2 sugerem que alguns ramos devem tender a infinito quando K →∞, pois esta seria
uma forma de também atender à equação D ( s )+ KN ( s )= 0.
Demonstra-se que estes ramos se encontram em um ponto do eixo real dado por:
p z
n i
n i
n n
p z
p z
∑ 1 ∑ 1
α (REGRA 3),
onde pi são os pólos do sistema à malha aberta e zi seus zeros, np o número de pólos e nz o
número de zeros.
Estas n (^) p − nz assíntotas formam com o eixo real ângulos dados por
( )
p z
j n n
j
−
φ , j = 1 , 2 ,...,( np − nz )(REGRA 4).
Para os demais valores de K , considerando K > 0 , verifica-se que:
∠ G ( s ) =∠− 1 =− 180 º.
Esta simples relação permite concluir que existirão raízes sobre o eixo real sempre que existir
um número ímpar de pólos mais zeros à direita do ponto considerado (REGRA 5).
Por outro lado, se ∠ G ( s )=− 180 º então ∠ G ( s *)= 360 º−∠ G ( s )=− 180 º.
Portanto, o LR é simétrico em relação ao eixo real (REGRA 6).
Quando dois ramos do LR se encontram em um ponto do eixo real, os ramos explodem para o
plano complexo com ângulos de ± 90 º. O exemplo anterior ilustrou este fato (REGRA 7).
2.2 Posição de pólos e resposta no tempo
Numerosos processos podem ser aproximados como possuindo dois pólos dominantes. A
função de transferência parametrizada em termos do coeficiente de amortecimento ( ξ )e da
freqüência natural não amortecida ( ω (^) n )permite o estabelecimento de critérios de projeto com
base no LR. Assim, para H ( s )dado por:
2 2
2
n n
n s s
H s ξω ω
ω
pode-se obter a resposta ao degrau unitário e apresentá-la com o tempo normalizado ( ω (^) nt )e
parametrizada em função de ξ (Fig. 6).
Os pólos deste sistema são dados por:
2
s 1 , 2 =−ξω n ±ω n ξ − (5)
e apresentados no plano complexo na Fig. 7 para ξ ≤ 1.
Deste conjunto de observações, percebe-se que a resposta no tempo pode ser inferida a partir do
posicionamento dos pólos dominantes. Por exemplo, para coeficientes de amortecimento
maiores que 0,7, o ângulo θ (Fig. 7) deve ser menor que 45º. Os tempos de assentamento estão
intimamente relacionados à parte real das raizes, portanto ao produto ξω n. Por sua vez, o
sobrepasso M p (Fig. 3) depende de ξ.
2.3 Procedimentos para projeto
A partir de determinada especificação dada em termos de sobrepasso ou tempo de assentamento,
pode-se delimitar uma região do plano complexo onde devem se situar as raízes dominantes do
sistema realimentado.
As seguintes relações são bastantes úteis:
n
ts
1 % |parte real dos polos| > t s
.
5 % 0 , 7 cos 45 º
1 = ⇒ = ⇒ = =
− M (^) p ξ θ ξ.
15 % 0 , 5 cos 60 º
1 = ⇒ = ⇒ = =
− M (^) p ξ θ ξ.
Uma vez delimitada esta região, cabe ao projetista, engenhosamente, encontra o compensador e
o ganho da malha de controle de modo que as raízes fornecidas pelo traçado do LR se
encontrem na região pré-estabelecida.
Para esta tarefa, o auxílio propiciado por programas de computador facilita extremamente o
trabalho. Por exemplo, no MATLAB, existem disponíveis as ferramentas RLTOOL e
SISOTOOL. Diferentes tipos de compensadores podem ser testados, o valor do ganho variado e
a resposta no tempo observada.
O projetista, no entanto, precisa de uma boa noção do que está sendo calculado. Assim, o
conhecimento das regras básicas do LR ajuda bastante. Por exemplo, se for necessário trazer as
raízes do sistema realimentado para a esquerda do plano complexo, a REGRA 2 ensina que
deve-se introduzir um zero na malha aberta. Em outras palavras, isto significa um compensador
PD, cuja função de transferência é dada por:
G (^) R^ (^ s )^ = K ( 1 + TDs ). (6)
O compensador lead, dado por:
( ) T s
T s G s K D
D c
, (7)
com α<1, fornece uma realização da operação Proporcionalmente Derivativa com atenuação da
ação derivativa em altas freqüencias, portanto, mais realista.
3 RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
3.1 Conceituação
Os métodos por freqüência são provavelmente os mais empregados em projetos industriais.
Apresentam como vantagem o fato de poderem ser empregados sem a necessidade do
conhecimento dos pólos e zeros do sistema a ser controlado (conhecimento indispensável no
caso do método pelo Lugar da Raízes) e de fornecerem bons resultados mesmo em face de
incertezas no modelo da planta em estudo.
Dado um sistema G ( s )estável, linear e invariante no tempo, a resposta em regime permanente
para uma excitação senoidal representada por:
u ( t )= A sen ω t , (8)
vale
y ( t ) = A | G ( j ω )|sen[ω t +∠ G ( j ω )]. (9)
Asen ω t G^ (^ s ) A | G ( j ω )|sen[( ω t )+∠ G ( j ω)]
Fig. 9 Resposta em freqüência para um sistema linear invariante no tempo.
Ou seja, a saída, em regime permanente, tem a mesma freqüência da excitação, porém com uma
alteração de amplitude e fase que só dependem de G ( s )para s = j ω.
A forma de representação de G ( j ω), que será enfatizada neste texto, chama-se diagrama de
Bode. Existe o diagrama de Bode de amplitude e o diagrama de Bode de fase. Ambos colocam
as freqüências em escala logarítmica no eixo das abcissas. No diagrama de amplitude, o módulo
de G ( j ω)ocupa o eixo das ordenadas também em escala logarítmica, na forma:
20 log G ( j ω). (10)
Valores apresentados pela Eq. (10) levam a unidade decibel (dB).
No diagrama de fase, o ângulo de G ( j ω), ∠ G ( j ω), usualmente em graus, é colocado no eixo
das ordenadas em uma escala linear.
Esta representação facilita muito o traçado das curvas de resposta em freqüência. Da mesma
forma que existem regras simples para o traçado do LR, existem também procedimentos rápidos
para o traçado dos diagramas de Bode, que não serão discutidos neste texto. Atualmente, com
diversos programas que se encarregam desta tarefa, o trabalho não é tão grande, mas esta
situação apresentava-se de forma muito diferente em meados dos anos 40, quando estabeleceu-
se esta técnica.
Diagramas de Bode para o sistema descrito pela Eq. 4 estão apresentados na Fig. 10.
3.2 Estabilidade
Os diagramas de Bode não são úteis apenas para informar as mudanças de amplitude e fase em
condições de regime permanente e excitação senoidal. Eles servem principalmente para
determinar o comportamento dinâmico de sistemas realimentados, segundo a topologia dada na
Fig. 4, a partir do conhecimento da resposta em freqüência de G ( s ).
Tomando-se o caso de um sistema para o qual o aumento do ganho leva à instabilidade do
sistema realimentado, o LR ensinou que o valor crítico de ganho K (^) c ocorre quando as raízes
encontram-se sobre o eixo imaginário (Fig. 11). Nesta situação, s = ± j ω c. Além disso, a
condição 1 + KG ( s )= 0 tem que ser satisfeita. Ou seja, KcG ( j ω) =− 1. A amplitude do
sistema à malha aberta é unitária ou, segundo a Eq. (10), 0dB. A fase, em ω c , por seu lado, vale
-180º.
Para valores de K< Kc , o LR mostra que o sistema realimentado é estável, e para K> Kc ,
instável.
Pode-se assim estabelecer um critério de estabilidade do sistema à malha fechada a partir curvas
de resposta em freqüência do sistema à malha aberta.
Se, na freqüência onde ∠ G ( j ω) =− 180 º, KG ( j ω) < 1 então o sistema realimentado será
estável, uma vez que há uma margem para se aumentar o ganho antes de se atingir a situação
limítrofe de estabilidade.
Se, no entanto, na freqüência onde ∠ G ( j ω) =− 180 , o ganho da malha aberta KG ( j ω)for
maior do que 1, o sistema realimentado será instável, uma vez que já se ultrapassou o ganho da
situação limítrofe de estabilidade.
Há casos em que o aumento de ganho pode levar o sistema da instabilidade para a estabilidade.
Em outros casos, podem ocorrer mais de um cruzamento com a linha de -180º ou com a linha de
0dB (ganho unitário). Nestes casos, o simples critério enunciado acima e baseado nos diagramas
de Bode, não é válido. Pode-se então recorrer ao critério de Nyquist, que é uma ferramenta de
resposta em freqüência mais elaborada. Como estes casos são menos comuns, eles ultrapassam
o objetivo deste texto. Além do que, através do método do LR, já se dispõe de uma ferramenta
de análise.
3.3 Procedimentos para projeto
No item anterior, foi estabelecido um relacionamento entre a resposta em freqüência do sistema
à malha aberta e a estabilidade do sistema realimentado. Admitindo-se um sistema G ( s )dado
por:
( (^) n )
n s s
Gs
2
O sistema realimentado com K = 1 , vale
2 2
2
(^1 2) n n
n G s s
G
. (12)
Chama-se Margem de Fase (MF) o quanto de fase está disponível na freqüência em que o ganho
do sistema for unitário. Chama-se Margem de Ganho (MG) o quanto de ganho está disponível
na freqüência em que a fase for -180º. A Fig. 12 ilustra estas definições.
O cálculo da MF, para o sistema descrito pela Eq. (11), permite chegar à relação aproximada.
MF ( emgraus )
válida para MF < 70º.
Os resultados apresentados na Fig. 6 também estabeleceram, para o sistema descrito pela Eq.
(12), uma ligação entre o sobrepasso (Mp) e o amortecimento. Assim:
M MF
M MF
p
p
Fig. 12 Margens de fase (MF) e ganho (MG).
Por outro lado, a freqüência ω = ω c , para a qual G ( j ω)tem módulo unitário, pode ser
diretamente determinada.
2 2
2 1 1 4 2 ( 2 )
c n c c n
n
j j
(14)
A Tabela 1 apresenta alguns valores da Eq. (14).
Tabela 1 Freqüência de corte da malha aberta em função da freqüência natural não amortecida da malha fechada
ξ ω n
0,
ω c
0,2 (^) 1,
ω c
0,5 1,046 ω c
0,7 1,161 ω c
0,9 1,508 ω c
1,0 (^) 2,
ω c
Portanto, a freqüência natural não amortecida ( ω n ) situa-se aproximadamente entre ω c e 2 ω c ,
sendo muito próxima de ω c para ξ < 0,7.
O relacionamento com o tempo de assentamento ( t (^) s )já foi apresentado no item 2.3.
n
ts
( 1 %)=^.^ (15)
Naturalmente, estas relações foram todas obtidas a partir da Eq. (11). No entanto, de uma forma
geral, pode-se associar a margem de fase ao sobrepasso do sistema à malha fechada e a
freqüência de corte à freqüência natural não amortecida do sistema à malha fechada. Estas são
0dB
0 MF
1/MG ω
ω
|G|
∠G
Fig. 14 Problema da integração seguida de limitador
Admitindo-se que o sinal de entrada assuma os valores:
1
t t
t t
−
e e
e e
a saída do integrador (u) será uma rampa crescente até t = t 1 e decrescente a partir deste
instante. O problema surge pelo fato da saída do limitador só perceber a variação ocorrida no
instante (^) " t 1 "algum tempo depois, como indicado na figura com o tempo (^) " t (^) 2 ". Este atraso é
tanto maior quanto maior for a capacidade de integração do controlador.
Se a integração for realizada eletronicamente, com amplificadores operacionais, a capacidade
de integração fica limitada aos valores das tensões de alimentação, no entanto, no caso de uma
realização numérica, em computador, os limites são elevados e os retardos significativos.
Para resolver este problema, é preciso bloquear a integração assim que o limite do atuador for
atingido. Chama-se de "anti-reset wind up" esta solução e diversas são as estratégias propostas,
principalmente no caso de reguladores analógicos. Com esta simples providência, o
comportamento (Fig. 15) não apresenta mais retardo.
Fig. 15 Anti-reset windup
e (^) u y
e+
e-
t 1
t 1
e u
t 1 t 2
y
e (^) u y
e+
e-
t 1
t 1
e u
t 1 t 2
y
anti reset wind-up
6 AMOSTRADORES APÓS DERIVADORES
Atuadores que só percebem alterações da entrada amostradamente, como são os circuitos retificadores ou inversores largamente empregados em circuitos chaveados de eletrônica de potência, não devem ser precedidos de controladores com ação derivativa. A origem deste erro encontra-se ilustrada na Fig. 16. Para um sinal de entrada com variação em degrau no instante
" t 1 ", a saída do derivador fornece um impulso no mesmo instante. Se não houver amostragem
em " t 1 ", a saída do atuador será indiferente ao ocorrido. Portanto, a ação derivativa torna-se
inócua nestas situações.
Fig. 16 Problema da derivada seguida de atuação amostrada
7 CONCLUSÃO
Neste capítulo, foram revistos os fundamentos de Controle Clássico para Sistema Lineares e Invariantes no Tempo. Não foram abordadas situações especiais como as oriundas da influência dos zeros na dinâmica do sistema, em particular, dos sistemas com zeros de parte real positiva, conhecidos como sistemas de fase não mínima, ou as peculiaridades dos sistemas para os quais o aumento do ganho não implica necessariamente em instabilidade, chamados de condicionalmente estáveis. Para os sistemas eletromecânicos, que são o foco deste texto, estas condições raramente acontecem. Existe uma vasta bibliografia de controle, onde os interessados podem encontrar subsídios para aprofundamento [e.g. Franklin et al., 2002].
REFERÊNCIAS
Evans, W.R. (1948), Graphical Analysis of Control Systems. Trans. Am. Inst. Electr. Eng. , vol. 67,
pp.547-551.
Franklin,G.; Powell,J.; Naeini,A., Feedback Control of Dynamic Systems, Prentice Hall, 2002.
Kessler,C.(1955), Über die Vorausberechnung optimal abgestimmter Regelkreise.
Regelungstechnik, 3, pp. 40-48.
Kessler, C. (1958), Das Symmestrische Optimun. Regelungstechnik, 6, pp. 395-400, 432-436.
Umland, J.W.; Safuddin, M. (1990), Magnitude and Symmetric Optimum criterion for the design of
linear control systems: What is it and how does it compare with the others?, IEEE Trans. On Ind. Appl. , 26, pp. 489-497.
e (^) u y
t 1
t 1
e u
t 1
dt^ y
d
2.1) ( ) s
G s
, ( ) s
A
U s =
( ) s
A
s
A
s
A
s
Y s τ
τ
τ +
( ) ( )
t τ y t A t Ae
− = ⋅ 1 −
2.2) ( )
( )
( s )
s Gs 2
1 1
= , ( ) s
A
U s =
( )
( )
( )
( )
s
A
s
A
s
A
s
s Ys 2
2 1
2
1 1 1
( ) 1 ( ) ( 2 1 ) 1
τ
t y t A t A e
− = ⋅ − −
Verifica-se que se τ 2 ≈ τ 1 , a amplitude da parte exponencial é muito pequena.
2
n n
n
s s
Gs
= , ( ) s
A
U s = , com ξ < 1.
( ) 2 2 2 2 2 2 2 2
2
n n
n
n n n n
n
n n
n s s
A
s s
As
s
A
s s
As
s
A
s
A
s s
Y s
( ) ( ) ( ) (ω θ)
ξω ξω
−
− − e sen t
A
y t A t Ae t sen t A t d
t d d
nt^ n 2 2 1
1 cos
com
2 ω (^) d = ω n 1 − ξ
2 1 arctg
ANEXO 2
IMPLEMENTAÇÃO DE REGULADORES COM AMPLIFICADORES OPERACIONAIS
Tipo Realização com Amplificador
Operacional
Função de Transferência
Diagramas de Bode
I
Es Ts
U s
I
TI = RC
PI
Ts
K
Es
U s
I
p
TI = RC
Kp = R/R 1
C
R
C
R 1
R
log ω
log ω
GdB
1 /TI
∠G
-90o
log ω
log ω
GdB
0 1 /TI
∠G
o
20log Kp
0 1 /10TI^10 /TI
o
Lead
PD-real
Ts
Ts
Es
U s
0<α<
T=RC 2
α T=RC 1
α = C 1 / C 2
α θM 3 30
0
5 42
0
10 55
0
15 62
0
Lag
Ts
Ts
Es
U s
α>
T=RC 2
α T=RC 1 α = C 1 / C 2
α θm 3 -
0
5 -
0
10 -
0
15 -
0
Obs: Para sistemas estáveis e de fase mínima (i.e. todos os pólos e zeros posicionados no semi-plano da esquerda), o diagrama de fase pode ser deduzido diretamente do diagrama de amplitude. Por exemplo, inclinações de –20dB/dec por mais de uma década correspondem a ângulos de aproximadamente -
o
. Este fato pode ser comprovado nos diagramas acima apresentados.
R
R
C 1
C 2
R
R
C 1
C 2
log ω
GdB
+20dB/dec 0
1 / α T
∠G
θM
log ω
-20log α
1 / α T
0 o
1 /T
GdB
1 /T
∠G
θm
-20log α log ω
0 o^1 /^ α^ T
1 / α T
log ω
