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Módulo 01
Fundamentos de
Lógica Matemática
Objetivos
Compreender a lógica em seu contexto histórico; Reconhecer e trabalhar com os símbolos que são usados nas lógicas proposicional e de predicados; Determinar o valor lógico de uma expressão na lógica proposicional; Verificar se argumento sentencial é válido; Manipular tabelas-verdade; Verificar se uma sentença é tautologia, contradição ou contingência; Utilizar a lógica de predicados para representar sentenças; Determinar o valor lógico de alguma interpretação de uma expressão na lógica de predicados; Utilizar o método dedutivo para demonstrar a validade de argumentos na lógica proposicional e na lógica de predicados.
Conteúdo
Introdução ao Estudo da Lógica Formal Lógica Proposicional Lógica de Predicados
P á g i n a | 2
O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor os prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. (Celina Abar, 1999)
Por ter relação direta com a Ciência da Computação, o estudo da Lógica mostra-se indispensável ao estudante da área de Informática. São várias as possibilidades de aplicações diretas do raciocínio lógico-matemático: desde linguagens de programação mais simples até resolução de problemas com Inteligência Artificial. Todo o fundamento da computação tem suas raízes na matemática, uma vez que esta é quem possibilita à Ciência a formalização de vocabulários e notações com alto poder de definição. Também é graças à matemática que podemos fazer abstrações e raciocínios precisos e rigorosos. Tudo isto só é possível devido ao uso da lógica para entendimento do raciocínio matemático, sendo utilizados princípios que possibilitam a distinção entre raciocínios válidos e outros não válidos. Neste capitulo serão apresentados os conceitos básicos da lógica matemática, cujo domínio é essencial para estudos futuros sobre linguagens de programação, teoria da computação, sistemas digitais e inteligência artificial.
1.1. Caracterização e Histórico da Lógica
Há na literatura inúmeras definições para a Lógica, dentre as quais destacamos:
“a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do
pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar.”
(WIKIPEDIA, 2009)
Capítulo 1
Introdução ao Estudo da Lógica Formal
1650). Bacon lançou as bases para a formalização do método na obtenção de uma conclusão geral a partir de um conjunto de fatos conhecidos, mediante observação. Em outras palavras, a indução consiste em afirmar acerca de todos, aquilo que foi observado em alguns. Nesta época, a lógica formal um período de descrédito, mas, apesar disso, continuou motivando muitas pesquisas, a partir das quais surgiram novas teorias sobre o raciocínio. A maior revolução sofrida pela lógica ocorreu em meados do século XIX, quando estudiosos como Boole converter a lógica numa álgebra. Tendo a matemática como modelo, eles formalizaram uma linguagem simbólica para expressar o pensamento lógico. Foi o surgimento da lógica matemática ou simbólica. A partir de então a ser visto como cálculo matemático. Ao longo do século XX Atualmente, já dispomos de um poderoso sistema de símbolos e regras de combinação de símbolos que nos possibilita obter conclusões válidas (FONTES, 2008).
1.2. Conceito de Proposição
O primeiro conceito que é preciso dominar para compreender as estruturas da lógica formal é o de proposição, também chamada de
Para saber mais sobre a história da lógica acess
1650). Bacon lançou as bases para a formalização do método indutivo, que consiste na obtenção de uma conclusão geral a partir de um conjunto de fatos conhecidos, mediante observação. Em outras palavras, a indução consiste em afirmar acerca de todos, aquilo que foi observado em alguns. Nesta época, a lógica formal um período de descrédito, mas, apesar disso, continuou motivando muitas pesquisas, a partir das quais surgiram novas teorias sobre o raciocínio. A maior revolução sofrida pela lógica ocorreu em meados do século XIX, quando estudiosos como Boole e Bertrand Russel conceberam uma maneira de converter a lógica numa álgebra. Tendo a matemática como modelo, eles formalizaram uma linguagem simbólica para expressar o pensamento lógico. Foi o surgimento da lógica matemática ou simbólica. A partir de então, a ser visto como cálculo matemático. Ao longo do século XX, a lógica atingiu elevado grau de formalização. Atualmente, já dispomos de um poderoso sistema de símbolos e regras de combinação de símbolos que nos possibilita obter conclusões válidas (FONTES,
Conceito de Proposição
O primeiro conceito que é preciso dominar para compreender as estruturas da lógica formal é o de proposição, também chamada de sentença
Acesse o PORTAL DE LÓGICA da Wikipedia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Portal:Lógica
Para saber mais sobre a história da lógica acess
http://afilosofia.no.sapo.pt/Hist.htm
indutivo, que consiste na obtenção de uma conclusão geral a partir de um conjunto de fatos conhecidos, mediante observação. Em outras palavras, a indução consiste em afirmar acerca de todos, aquilo que foi observado em alguns. Nesta época, a lógica formal passa por um período de descrédito, mas, apesar disso, continuou motivando muitas pesquisas, a partir das quais surgiram novas teorias sobre o raciocínio. A maior revolução sofrida pela lógica ocorreu em meados do século XIX, e Bertrand Russel conceberam uma maneira de converter a lógica numa álgebra. Tendo a matemática como modelo, eles formalizaram uma linguagem simbólica para expressar o pensamento lógico. Foi o , o raciocínio passou
a lógica atingiu elevado grau de formalização. Atualmente, já dispomos de um poderoso sistema de símbolos e regras de combinação de símbolos que nos possibilita obter conclusões válidas (FONTES,
O primeiro conceito que é preciso dominar para compreender as estruturas sentença.
Acesse o PORTAL DE LÓGICA da Wikipedia
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Para saber mais sobre a história da lógica acesse
http://afilosofia.no.sapo.pt/Hist.htm
As proposições constituem o alicerce das estruturas fundamentais da Lógica Matemática, que, por sua vez, é fundamentada em dois princípios básicos (ou axiomas) (ALENCAR FILHO, 2002):
1º) PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO: uma proposição nunca será verdadeira e falsa simultaneamente. 2º) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição sempre assume um dos valores lógicos: ou é verdadeira ou é falsa.
Além desses princípios básicos, podemos afirmar que toda proposição, por ser uma oração, possui sujeito e predicado, além de sempre ser uma oração declarativa (IEZZI; MURAKAMI, 1993).
Exemplo 1.1 – Proposições
Considere as seguintes orações:
a) Cinco é menor que oito. b) Como é o seu nome? c) Ai, que susto! d) Sete menos três. e) Vá dormir.
A frase (a) é uma proposição, pois é possível definir que ela é verdadeira. As frases (b) e (c) não podem ser avaliadas como verdadeira ou falsa, portanto não são proposições. Note que a frase (b) é uma pergunta e a frase (c) é uma exclamação. Quanto à frase (d), nota-se que ela não possui predicado, por isso ela também não constitui uma proposição. A frase (e) também não assume nenhum valor lógico e, portanto, não é uma proposição.
Uma proposição ou sentença é qualquer oração que pode ser avaliada
como verdadeira ou falsa.
1.4. Classificação das Proposições
As proposições do Exemplo 1.2 são ditas proposições simples ou atômicas , uma vez que não é possível decompô-las em proposições mais simples. Existem, ainda, proposições mais complexas, chamadas de proposições compostas ou moleculares , formadas por duas ou mais proposições simples ligadas por meio de conectivos lógicos.
Exemplo 1.3 – Proposições Compostas
Nas proposições seguintes, os conectivos estão destacados.
a) Pelé é brasileiro e Maradona é argentino. b) Windows não é um software livre. c) Vou à praia ou ao cinema. d) Se eu estudar, então serei aprovado em Matemática para Computação. e) Serei aprovado em Matemática para Computação se, e somente se, eu estudar.
São cinco os conectivos lógicos: E – OU – NÃO – SE ... ENTÃO – SE, E SOMENTE SE
Auto Avaliação 1.
Determine o valor lógico de cada uma das proposições seguintes.
- A cor do cavalo branco de Napoleão é branca.
- Imperatriz é a Capital do Maranhão.
- A raiz quadrada de 16 é menor que a metade de 10.
- O Brasil é uma República Presidencialista.
- A metade de 5 menos 2 é um número inteiro positivo.
Em geral, as proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas e as proposições compostas por letras latinas maiúsculas. Assim, podemos representar a proposição Maradona é argentino pela letra brasileiro e Maradona é argentino seguinte maneira: A: Pelé é brasileiro e Maradona é argentino Antes de passar para o próx
1.5. Valor Lógico de Proposições Compostas
Sabemos, pelo princípio do terceiro excluído, que uma proposição simples p ou é verdadeira ou é falsa. Os possíveis valores lógicos de uma proposição simples podem ser representados possibilidades, conforme ilustração a seguir.
O valor lógico de uma proposição composta é definido em função dos valores lógicos das proposições simples que a compõe e levando consideração os conectivos empregados. Para facilitar este cálculo, utiliza estrutura conhecida como
Em geral, as proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas e as proposições compostas por letras latinas maiúsculas. Assim, representar a proposição Pelé é brasileiro pela letra pela letra b , por exemplo. A proposição composta Maradona é argentino , pode ser representada pela letra Pelé é brasileiro e Maradona é argentino. Antes de passar para o próximo tópico, tente responder a pergunta abaixo.
Valor Lógico de Proposições Compostas
, pelo princípio do terceiro excluído, que uma proposição simples p ou é verdadeira ou é falsa. Os possíveis valores lógicos de uma proposição simples podem ser representados por meio de uma tabela ou como uma árvore de possibilidades, conforme ilustração a seguir.
p V F
O valor lógico de uma proposição composta é definido em função dos valores lógicos das proposições simples que a compõe e levando consideração os conectivos empregados. Para facilitar este cálculo, utiliza estrutura conhecida como tabela-verdade.
Pare e Reflita
Como determinar o valor lógico de uma
proposição composta?
Em geral, as proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas e as proposições compostas por letras latinas maiúsculas. Assim, pela letra a e a proposição , por exemplo. A proposição composta Pelé é , pode ser representada pela letra A e escrita da
imo tópico, tente responder a pergunta abaixo.
, pelo princípio do terceiro excluído, que uma proposição simples p ou é verdadeira ou é falsa. Os possíveis valores lógicos de uma proposição simples por meio de uma tabela ou como uma árvore de
O valor lógico de uma proposição composta é definido em função dos valores lógicos das proposições simples que a compõe e levando-se em consideração os conectivos empregados. Para facilitar este cálculo, utiliza-se uma
Como determinar o valor lógico de uma
Agora que você já sabe como representar numa tabela-verdade as possíveis combinações de valores lógicos para um conjunto de proposições simples, podemos prosseguir e analisar de que forma os conectivos interferem na definição do valor lógico de uma proposição composta. Os conectivos estão associados a operações lógicas, as quais são realizadas sobre as proposições e obedecem a algumas regras. Na Tabela 1, são mostradas as operações lógicas, com seus respectivos operadores (conectivos) e símbolos.
Tabela 1.1: Operações e Operadores Lógicos Operação Operador Símbolo Negação NÃO (^) ¬
Conjunção E ∧
Disjunção OU ∨
Condicional SE ... ENTÃO (^) → Bicondicional SE, E SOMENTE SE (^) ↔
O detalhamento de cada uma dessas operações é dado a seguir e o seu entendimento é essencial para o estudo e compreensão da Lógica Matemática.
Auto Avaliação 1.
Considere as seguintes proposições simples:
p: A raiz quadrada de 9 é igual 3. q: 5 menos 2 é igual a 3. r: O dobro de 1,5 é igual a 3.
Deseja-se formar uma proposição composta S utilizando-se as proposições p, q e r. Monte uma árvore de possibilidades e escreva a tabela-verdade com todas as combinações possíveis de valores lógicos para p, q e r.
1.6. Operações Lógicas
1.6.1. Negação
Podemos utilizar o conectivo NÃO (¬) para formar uma nova proposição, cujo valor lógico é oposto ao da proposição original. Se tivermos uma proposição p, sua negação será ¬p. Caso o valor lógico de p seja V, o valor de ¬p será F, e vice versa. A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte:
p ¬p V F F V
Exemplo 1.5 – Negação
Sejam as proposições:
a: A capital do Maranhão é São Luís. b: Todos os alunos de Licenciatura em Informática aprenderão Lógica. c: Existem alunos estudiosos.
A negação da proposição (a) é definida com o uso do advérbio NÃO. Desta forma: ¬a: A capital do Maranhão não é São Luís. É possível, ainda, escrever a negação de (a) da seguinte forma: É falso que a capital do Maranhão é São Luís. As demais proposições deste exemplo exigem um pouco mais de atenção. A negação de b (¬b) seria: Nem todos os alunos de Licenciatura em Informática aprenderão Lógica ou Existem alunos de Licenciatura em Informática que não aprenderão Lógica, ou, ainda, Há alunos de Licenciatura em Informática que não aprenderão Lógica. Quanto a proposição (c), sua negação (¬c) pode ser escrita da seguinte forma: Não existem alunos estudiosos ou Todos os alunos não são estudiosos.
O operador NÃO inverte o valor lógico da proposição original.
da conjunção é possível determinar, com exatidão, quem será contratado pela empresa. Assim, temos:
p Q p ∧ q
João V V V Marcos V F F Ari F V F Simone F F F
João, que sabe programar em C (p = V) e sabe programar em Java (q = V),
poderá ser contratado, pois atende simultaneamente às duas exigências (p ∧ q = V).
Marcos, que sabe programar em C (p = V) e não sabe programar em Java (q = F),
não pode ficar com a vaga, pois só atende a uma das exigências (p ∧ q = F). Da
mesma forma, Ari não será contratado, pois não sabe programar em C (p = F), mesmo sabendo programar em Java (q = V). Simone também não poderá ser contratada, pois não programa nem em C (p = F) nem em Java (q = F).
Uma conjunção só é verdade quando ambas as proposições que a compõe forem simultaneamente verdade.
1.6.3. Disjunção
Quando usamos o conectivo OU (∨) é possível ligar duas proposições para
formar uma terceira proposição denominada disjunção , cujo valor lógico é a falsidade quando ambas as proposições que a compõe forem simultaneamente
falsas. Assim, p ∨∨∨∨ q (lê-se “p ou q”) é disjunção das proposições p e q e tem como
valor lógico a falsidade se p e q assim o forem simultaneamente. A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte:
p q p ∨∨∨∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Exemplo 1.6 – Conjunção
Sejam as proposições:
a: Lula é brasileiro. b: O Maranhão pertence ao Paraguai.
a ∧ b: Lula é brasileiro e o Maranhão pertence ao Paraguai.
c: 5 – 3 = 2 d: 10 é um número par.
c ∧ d: 5 – 3 = 2 e 10 é um número par.
A conjunção a ∧ b tem como valor lógico a falsidade. Observe:
V(a) = V e V(b) = F, portanto V(a ∧ b) = V(a) ∧ V(b) = V ∧ F = F
A conjunção c ∧ d tem como valor lógico a verdade. Observe:
V(c) = V e V(d) = V, portanto V(c ∧d) = V(c) ∧ V(d) = V ∧ V = V
1.6.4. Condição
Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova proposição p → q (lê-se “se p então q” ou “p implica q”), chamada condição ou implicação , onde p é chamado antecedente e q consequente, e cujo valor verdade é a falsidade quando p for uma verdade e q uma falsidade. Existem outras maneiras de expressar p → q em linguagem natural, como: “p é condição suficiente para q”, “p somente se q”, “q é condição necessária para p” ou “p é consequência de q”. Por exemplo, a proposição “Uma alimentação equilibrada é uma condição necessária para uma vida saudável” pode ser reescrita da seguinte maneira “Uma vida saudável é consequência de uma alimentação equilibrada” ou ainda, “Se tens uma vida saudável, então tens uma alimentação equilibrada”. Note que o antecedente é “uma vida saudável” e o consequente é “uma alimentação equilibrada”.
Exemplo 1.7 – Disjunção
Sejam as proposições:
a: Gonçalves Dias é um poeta maranhense. b: A lua é quadrada. a ∨ b: Gonçalves Dias é um poeta maranhense ou a lua é quadrada. c: 5 – 3 > 2 d: 10 é um número primo. c ∨ d: 5 – 3 > 2 ou 10 é um número primo.
A disjunção a ∨ b tem como valor lógico a verdade. Observe:
V(a) = V e V(b) = F, portanto V(a ∨ b) = V(a) ∨ V(b) = V ∨ F = V
A disjunção c ∨ d tem como valor lógico a falsidade. Observe:
V(c) = F e V(d) = F, portanto V(c ∨ d) = V(c) ∨ V(d) = F ∨ F = F
A tabela-verdade da condição é a seguinte:
p q (^) p →→→→ q V V V V F F F V V F F V
Para o entendimento desta operação, considere que um amigo de faculdade fez a seguinte afirmação: “Se eu passar em todas as disciplinas que estou cursando este semestre, vou para Barreirinhas curtir as férias.” Desta afirmação, podem ser retiradas duas proposições:
p: Se eu passar em todas as disciplinas que estou cursando este semestre. q: Vou para Barreirinhas curtir as férias.
Caso seu amigo realmente seja aprovado em todas as disciplinas do semestre (p = V) e viaje para Barreirinhas (q = V), a afirmação foi uma verdade (p q = V). Se ele, entretanto, for aprovado em todas as disciplinas (p = V) e não viajar (q = F), a afirmação consistiu numa falsidade (p q = F). Agora, supondo que ele tenha ficado reprovado (p = F), independente de ele ter ido (q = V) ou não (q = F) a Barreirinhas, não podemos dizer que a afirmação é falsa, pois ele nada afirmou quanto a ficar reprovado. Em qualquer destes casos a afirmação é tida como verdade (p → q = V).
A proposição p → q, é uma verdade se p e q forem simultaneamente verdade ou se p for uma falsidade. Caso p seja uma verdade e q uma falsidade, p → q será uma falsidade.
1.6.5. Bicondição
Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova proposição p ↔ q (lê-se “p se, e somente se, q”), chamada bicondição , cujo valor verdade é a verdade quando p e q forem simultaneamente uma verdade ou uma falsidade. Perceba que a bicondição é uma implicação válida “nos dois sentidos”, ou seja, são duas condições simultâneas. No sentido da ida, p é o antecedente e q é o consequente e no sentido da volta, q é o antecedente e p o consequente (MENEZES, 2008). A tabela-verdade da bicondição é seguinte:
p q p ↔↔↔↔ q V V V V F F F V F F F V
Antes de prosseguir, tente responder a pergunta abaixo:
Pare e Reflita
Como se chegou a esta tabela-verdade para
p ↔ q?
O que uma condicional afirma é somente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do consequente. (ALENCAR FILHO, 2002)
A tabela-verdade da bicondição foi construída levando-se em consideração
que ela é, na verdade, uma conjunção de duas implicações: (p → q) ∧ (q → p).
Podemos, portanto, construir uma tabela-verdade para a conjunção das duas implicações, como segue:
p q p →→→→ q q →→→→ p (p →→→→ q) ∧ (q →→→→ p)
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
Uma bicondição é verdadeira quando as proposições que a compõe possuem o mesmo valor lógico.
