Lógica Proposital, Notas de estudo de Informática

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UFU – Universidade Federal de Uberlândia

Faculdade de Computação

Apostila de Lógica Proposicional

(Fundamentos Básicos)

Prof. Luiz Gustavo Almeida Martins

Fundamentos Básicos da Lógica

I NTRODUÇÃO

1.1 Definição de Lógica

A lógica é o estudo sobre a natureza do raciocínio e do conhecimento. Ela é usada para formalizar e justificar os elementos do raciocínio empregados nas demonstrações / provas de teoremas.

A lógica clássica se baseia em um mundo bivalente ou binário (visão restrita do mundo real), onde os conhecimentos são representados por sentenças que só podem assumir dois valores verdade (verdadeiro ou falso). Portanto, nesse contexto, uma demonstração é um meio de descobrir uma verdade pré-existente deste mundo.

1.2 Lógica Proposicional

A lógica proposicional é a forma mais simples de lógica. Nela os fatos do mundo real são representados por sentenças sem argumentos, chamadas de proposições.

Ex:

MUNDO REAL PROPOSIÇÃO LÓGICA

Hoje está chovendo P

A rua está molhada Q

Se está chovendo, então a rua está molhada. P → Q

Definição (proposição): uma proposição é uma sentença, de qualquer natureza, que pode ser qualificada de verdadeiro ou falso.

Ex: 1 + 1 = 2 é uma proposição verdadeira da aritmética.

0 > 1 é uma proposição falsa da aritmética.

Se não é possível definir a interpretação (verdadeiro ou falso) da sentença, esta não é uma proposição. Alguns exemplos deste tipo de sentença são apresentados abaixo:

• Frases Interrogativas (ex: Qual o seu nome? ).
• Frases Imperativas (ex: Preste atenção! ).
• Paradoxos Lógicos (ex: Esta frase é falsa ).

Exercício de Fixação

Verifique se as expressões abaixo são proposições. Justifique sua resposta.

a) Boa sorte!

b) Todas as mulheres possuem sua beleza.

c) Márcio não é irmão do Mário.

4.4. A bi-implicação de P e Q (P ↔ Q) também é uma fórmula;

Nesta definição, as fórmulas mais elementares são os símbolos verdade e proposicionais. A partir destes e utilizando as regras 3 e 4, recursivamente, é possível obter um conjunto infinito de fórmulas.

Note que o conectivo ¬ é unário (aplicado sobre uma única fórmula) e fica na ordem pré-fixa, enquanto que os demais conectivos são binários (aplicado sobre duas fórmulas) e fica na ordem infixa.

Exemplos de Fórmulas Válidas

(P ∨ Q) ( (¬R) → X) ( (P ↔ (¬Y) ) ∨ (Q → (R ∧ V) ) )

As construções acima são fórmulas proposicionais, pois podem ser derivadas a partir da aplicação das regras de construção descritas.

Exemplos de Fórmulas Inválidas

PQR (R True →) ( False ∨∧ (↔ Q P) )

As construções acima não constituem fórmulas proposicionais, pois não é possível derivá-las a partir das regras descritas.

Exercício: Dado os símbolos proposicionais P e Q. Mostre que ( (P ∧ Q) ∨ ( (¬P) → (¬Q) ) ) é uma fórmula proposicional.

Solução: P e Q são fórmulas (aplicando a Regra 2)

(P ∧ Q) é fórmula (aplicando a Regra 4.2)

(¬P) e (¬Q) são fórmulas (aplicando a Regra 3)

( (¬P) ∧ (¬Q) ) é fórmula (aplicando a Regra 4.3)

( (P ∧ Q) ∨ ( (¬P) ∧ (¬Q) ) ) é fórmula (aplicando a Regra 4.2)

2.2 Precedência dos Conectivos

Os símbolos de pontuação (parênteses), assim como na aritmética, são empregados para priorizar um “cálculo proposicional”. Esses símbolos podem ser omitidos quando isto não altera o significado da fórmula proposicional.

Ex: ((¬(¬P)) → Q) ≡ ¬¬P → Q

OBS: A fórmula ¬(X ∧ Y) na pode ser escrita sem parênteses: ¬(X ∧ Y) ≠ ¬X ∧ Y.

Se em uma fórmula, os parênteses não são usados, o cálculo proposicional deve seguir a seguinte ordem de prioridade:

¬ (maior precedência)

→ e ↔ (menor precedência)

∨ e ∧ (precedência intermediária)

Ex: P ∨ Q → R ≡ (P ∨ Q) → R

¬P ∧ Q ↔ R ≡ ((¬P) ∧ Q) ↔ R

Além da precedência, também existem as regras de associatividade, que definem a prioridade no cálculo para conectivos de mesma precedência. São elas:

∨ e ∧ (conectivos associativos à esquerda)

→ e ↔ (conectivos associativos à direita)

Ex: P ∨ Q ∧ R ≡ (P ∨ Q) ∧ R

P → Q ↔ R ≡ P → (Q ↔ R)

Exercício: Elimine o maior número possível de parênteses da fórmula, sem alterar seu significado original: ((¬X) ∨ ((¬(X ∨ Y)) ∨ Z)).

Solução: (¬X) ∨ ((¬(X ∨ Y)) ∨ Z)

¬X ∨ (¬(X ∨ Y) ∨ Z)

Exercício de Fixação

Identifique quais fórmulas pertencem à lógica proposicional. Justifique sua resposta, apresentando as regras de construção utilizadas ou apontando uma concatenação inválida. Para as fórmulas válidas, remova os símbolos de pontuação sem afetar a sua interpretação.

a) (P ∧ Q) → ((Q ↔ P) ∨ (¬(¬R)))

b) ∨ Q → R

c) (P ∨ R) → (Q ↔ ((¬T) ∧ R))

d) (PQ ∨ True)

e) ((¬(¬P)) ↔ ((¬((¬(¬(P ∨ Q))) → R)) ∧ P))

f) (¬P → (Q ∨ R)) ↔ ((P ∧ Q) ↔ (¬¬R ∨ ¬P))

2.3 Comprimento de Fórmula

O comprimento de uma fórmula proposicional H, denotado COMP[H], é definido como segue:

• Se H é um símbolo verdade ou proposicional, então COMP[H] = 1;
• Se ¬H é uma fórmula proposicional, então COMP[¬H] = COMP[H] + 1;
• Se (P  Q) é uma fórmula proposicional, sendo  um dos conectivos binários, então COMP[P  Q] = COMP[P] + COMP[Q] + 1.

Note que o comprimento de uma fórmula é obtido através da contagem dos conectivos e dos símbolos verdade e proposicionais, desconsiderando o símbolo de pontuação.

Ex: COMP[ (P ∧ Q) ↔ R ] = COMP[P ∧ Q] + COMP[R] + 1 = COMP[P] + COMP[Q] + 1 + 1 + 1 =

= 1+ 1+ 1 + 1 + 1 = 5.

3.2 Cálculo Proposicional

O cálculo proposicional define a semântica da fórmula segundo uma interpretação. Ele associa a cada fórmula uma aplicação do tipo:

{T, F} N ⇒ {T, F}

sendo N , o número de símbolos proposicionais e verdade da fórmula.

3.3 Semântica do Alfabeto Proposicional

A definição da interpretação dos símbolos do alfabeto proposicional é dada abaixo:

• Símbolos verdade: sua interpretação é fixa, como segue:

I[True] = T e I[False] = F

• Símbolos proposicionais: dado um símbolo proposicional P , ele pode assumir qualquer valor do contradomínio de I. Assim:

I [P] ∈ {T, F}

• Conectivos proposicionais: não possuem significado isoladamente. Entretanto, por simplificação, a interpretação de uma fórmula poderá ser denotada como significado do conectivo. A descrição da interpretação dos conectivos é apresentada a seguir:

Dadas duas fórmulas proposicionais H e G.

ƒ Negação – Se E = ¬H, então:

I[E] = F, para I[H] = T.

I[E] = T, para I[H] = F.

ƒ Conjunção (∧) – Se E = (H ∧ G), então:

I[E] = F, para I[H] = F e/ou I[G] = F.

I[E] = T, para I[H] = T e I[G] = T.

ƒ Disjunção (∨) – Se E = (H ∨ G), então:

I[E] = F, para I[H] = F e I[G] = F.

I[E] = T, para I[H] = T e/ou I[G] = T.

ƒ Implicação (→) – Se E = (H → G), então:

I[E] = F, para I[H] = T e I[G] = F.

I[E] = T, para I[H] = F e/ou I[G] = T.

OBS: O conectivo → denota o conceito de “necessidade” (o conseqüente (G) indica o

que é necessário para que o antecedente (H) ocorra). Uma condição “necessária” é um pré-requisito para que um fato ocorra, mas sua veracidade não é suficiente para garantir que o fato também seja verdade.

ƒ Equivalência (↔) – Se E = (H ↔ G), então:

I[E] = F, para I[H] ≠ I[G].

I[E] = T, para I[H] = I[G].

OBS: O conectivo ↔ denota o conceito de “suficiência” (o conseqüente (G) indica o que é suficiente para que o antecedente (H) ocorra, ou seja, tudo que é necessário). Uma condição “suficiente” é o conjunto de todos os pré-requisitos necessários para que um fato ocorra. Assim, a veracidade desse conjunto garante a veracidade do fato.

Exercício: Sejam P e Q duas proposições. Demonstrar com a ajuda da definição de interpretação dos conectivos que: (P → Q) ⇔ (Q ∨ ¬P).

Solução: Para I[P → Q] = T ⇒ I[P] = F e/ou I[Q] = T

Se I[P] = F ⇒ I[¬P] = T ⇒ I[Q ∨ ¬P] = T

Se I[Q] = T ⇒ I[Q ∨ ¬P] = T

Para I[P → Q] = F ⇒ I[P] = T e I[Q] = F

Se I[P] = T e I[Q] = F ⇒ I[¬P] = F e I[Q] = F ⇒ I[Q ∨ ¬P] = F

Como para qualquer interpretação I, I[P → Q] = I[Q ∨ ¬P] , então (P → Q) ⇔ (Q ∨ ¬P) é válido.

Exercício de Fixação

Sejam P e Q duas proposições. Demonstrar com a ajuda da definição de interpretação dos conectivos que:

a) P ↔ Q ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P)

b) ¬ (P ↔ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q) ∨ (Q ∧ ¬P)

c) P ∧ Q ⇔ ¬(¬P ∨ ¬Q)

4 Propriedades Semânticas

São relações obtidas no mundo semântico a partir das fórmulas sintáticas. O estudo destas relações entre os elementos sintáticos e semânticos, denominada teoria dos modelos , é uma das principais razões da aplicação da lógica à ciência da computação.

4.1 Tautologia

Uma fórmula H é uma tautologia ou é válida se e somente se ∀ I | I [H] = T.

OBS: Note que validade é muito mais que veracidade. Uma fórmula pode ser verdadeira para uma determinada interpretação, mas não ser válida (existe outra interpretação onde a fórmula é falsa).

Exercício: Demonstrar através da definição do significado dos conectivos que H = X ∨ ¬X é uma

tautologia.

Solução: Se H é uma tautologia, então ∀ I | I [H] = T.

e) (P ∨ ¬P) → (Q ∨ ¬Q)

4.4 Equivalência de Fórmulas

Sejam H e G ∈ L∅. Elas são equivalentes, semanticamente, se e somente se ∀ I | I [H] = I [G].

Notação: H ⇔ G ou H ≡ G.

Exercício: Demonstrar através da definição do significado dos conectivos que H = (¬P ∧ ¬Q) e

G = ¬(P ∨ Q) são equivalentes.

Solução: Se H e G são equivalentes, então ∀ I | I [H] = I [G].

Para I[H] = T ⇒ I[¬P ∧ ¬Q] = T ⇒ I[¬P] = T e I[¬Q] = T ⇒ I[P] = F e I[Q] = F

Se I[P] = F e I[Q] = F ⇒ I[P ∨ Q] = F ⇒ I[¬(P ∨ Q)] = T

Para I[H] = F ⇒ I[¬P ∧ ¬Q] = F ⇒ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F ⇒ I[P] = T e/ou I[Q] = T

Se I[P] = T ⇒ I[P ∨ Q] = T ⇒ I[¬(P ∨ Q)] = F

Se I[Q] = T ⇒ I[P ∨ Q] = T ⇒ I[¬(P ∨ Q)] = F

H e G apresentam o mesmo valor para qualquer interpretação então, elas são equivalentes.

A tabela abaixo apresenta algumas das equivalências clássicas encontradas na literatura:

Tabela 1 - Equivalências Clássicas (H ⇔ G)

Identificação Fórmula H Fórmula G Dupla Negativa ¬(¬E) E

Propriedades de^ E^ ∨^ False^ E Identidade (^) E ∧ True E

Propriedades^ E^ ∨^ ¬ E^ True Complementares (^) E ∧ ¬ E False

¬(E ∧ R) ¬E ∨ ¬R Leis de Morgan ¬(E ∨ R) ¬E ∧ ¬R Contraposição E → R ¬R → ¬E Propriedades de^ E^ →^ R^ ¬E^ ∨^ R Substituição (^) E ↔ R (E → R) ∧ (R → E)

Propriedades^ E^ ∨^ R^ R^ ∨^ E Comutativas (^) E ∧ R R ∧ E

Propriedades^ E^ ∨^ (R^ ∨^ S)^ (E^ ∨^ R)^ ∨^ S Associativas (^) E ∧ (R ∧ S) (E ∧ R) ∧ S

Propriedades^ E^ ∨^ (R^ ∧^ S)^ (E^ ∨^ R)^ ∧^ (E^ ∨^ S) Distributivas (^) E ∧ (R ∨ S) (E ∧ R) ∨ (E ∧ S)

Prova Condicional E → (R → S) (E ∧ R) → S

Exercício: Sejam P e Q ∈ L∅. Demonstre, com o auxílio das equivalências clássicas, que as

fórmulas abaixo são equivalentes: E = Q → (Q ∧ P) e G = (¬Q ∨ Q) ∧ (¬Q ∨ P).

Solução: Q → (Q ∧ P)

⇔ ¬Q ∨ (Q ∧ P) (aplicando a Propriedade de Substituição do → )

⇔ (¬Q ∨ Q) ∧ (¬Q ∨ P) (aplicando a Propriedade Distributiva )

Exercício de Fixação

Demonstre, com auxílio das equivalências clássicas, que as fórmulas abaixo são equivalentes:

a) (E ↔ G) ⇔ (E ∧ G) ∨ (¬E ∧ ¬G)

b) (¬X ∨ ¬ Y) → ¬Z ⇔ (Z → X) ∧ (Z → Y)

c) (¬(P → Q) ∨ S) ∧ ¬P ⇔ (P ∨ S) ∧ ((Q → S) ∧ ¬P)

4.5 Implicação de Fórmulas

Sejam H e G ∈ L∅. H implica em G , se e somente se ∀ I, quando I[H] = T, I[G] = T.

Notação: H ⇒ G ou

G

H

Exercício: Demonstrar pela definição do significado dos conectivos que X implica em Y → X.

Solução: Se X implica em Y → X, então: quando I [X] = T, I [Y → X] = T.

Para I[Y → X] = T ⇒ I[Y] = F e/ou I[X] = T

Isto significa que, sempre que I[X] = T, temos I[Y → X] = T. Logo, X ⇒ Y → X. c.q.d.

O conceito de implicação de fórmulas (G ⇒ H) NÃO quer dizer que ∀ I, I[G] = I[H]; ou que quando I[H] = T, I[G] = T. A implicação semântica só nos permite concluir I[H] = T quanto I[G] = T. Nos demais casos, nada pode ser concluído.

A implicação de fórmulas é usada como mecanismo de inferência na dedução de novos conhecimentos.

Exercício de Fixação

Verifique se as fórmulas abaixo são implicações semânticas:

a) P ⇒ True

b) (X ≠ 0 → X = Y) ∧ (X≠Y) ⇒ (X = 0)

c) P ∨ (Q ∧ R ∧ S ∧ (G → U)) ⇒ P ∧ True

d) (P ↔ Q) ∧ (P ∨ Q) ⇒ Q

OBS: Enquanto → e ↔ são símbolos sintáticos para implicação e equivalência, ⇒ e ⇔ são

elementos da metalinguagem para representar a implicação e equivalência semântica.

Demonstração:

Se β é satisfatível, então ∃ I | I[H 1 ] = I[H 2 ] = … = I[HN] = T.

∃ I | I[H 1 ] = I[H 2 ] = … = I[HN] = T ⇔ ∃ I | I[H 1 ] = T e I[H 2 ] = T e … e I[HN] = T

Se I[H 1 ] = T e I[H 2 ] = T ⇒ I[H 1 ∧ H 2 ] = T

Se ⇔ I[H 1 ∧ H 2 ] = T e I[H 3 ] = T ⇒ I[H 1 ∧ H 2 ∧ H 3 ] = T

e assim sucessivamente até que I [H 1 ∧ H 2 ∧ … ∧ HN] = T.

Logo, (H 1 ∧ H 2 ∧ … ∧ HN) é satisfatível c.q.d.

5 Métodos de Validação de Fórmulas

Os métodos apresentados abaixo são utilizados para verificar a validade das fórmulas proposicionais. Além disso, eles também podem ser empregados na demonstração das demais propriedades apresentadas no capítulo anterior.

5.1 Tabela-Verdade

A tabela-verdade é um método de validação baseada na força bruta. Isso ocorre, porque devemos mapear todas as possíveis combinações dos símbolos/variáveis proposicionais.

Assim, seja P uma fórmula proposicional e α o conjunto de variáveis proposicionais existentes em

P ( α = { X 1 , X 2 , …, XN }). A tabela-verdade de P é uma tabela com pelo menos N+1 colunas e

exatamente 2 N^ linhas. As N primeiras colunas representam as variáveis proposicionais, enquanto a (N+1)-ésima coluna representa a fórmula P. Cada linha representa uma possível combinação de

valores (T ou F) das variáveis pertencentes a α e o valor verdade de P resultante desta

combinação.

T ABELA-VERDADE DOS C ONECTIVOS

G H G ∧ H G ∨ H G → H G ↔ H Q ¬Q F F (^) F F T T F (^) T F T F T T F T F T F F T F F T T T T T T

CONSTRUÇÃO DA T ABELA-V ERDADE

Dependendo do tamanho da fórmula proposicional, a construção direta da sua tabela-verdade não é uma tarefa trivial. Por isso, sugeri-se a sua construção progressiva, através da representação, em colunas auxiliares, das subfórmulas da fórmula trabalhada. Tal artifício, apesar de aumentar o número de colunas, facilita o raciocínio para o preenchimento das linhas.

Exercício: Construa a tabela-verdade da fórmula P = (X ∧ Y) ∨ (¬X ∧ Z).

Solução:

X Y Z ¬X (^) (X ∧ Y) (¬X ∧ Z) P F F F T F F F F F T T F T T F T F T F F F F T T T F T T

T F F F F F F

T F T F F F F

T T F F T F T

T T T F T F T

Exercício de Fixação

Construa a tabela-verdade das fórmulas:

a) (P → Q) ∧ (¬Q ∨ ¬P)

b) (P → R) ↔ (P ∧ Q) ∨ (Q ∧ R)

c) ¬(¬P ∨ ¬Q) → (P ∧ Q)

T ABELA-VERDADE X PROPRIEDADES SEMÂNTICAS

1- Uma fórmula é uma tautologia se a última coluna de sua tabela-verdade contém somente valores T ou 1.

2- Uma fórmula é uma contradição se a última coluna de sua tabela-verdade contém somente valores F ou 0 (zero).

3- Uma fórmula é factível se a última coluna de sua tabela-verdade contém pelo menos um valor T ou 1.

4- Duas fórmulas são equivalentes semanticamente quando, para cada linha da tabela-verdade, suas colunas apresentam o mesmo valor.

5- Uma fórmula G implica semanticamente na fórmula H se, para toda linha cujo valor da coluna de G é verdadeiro, o valor da coluna de H também é verdadeiro.

Exercício de Fixação

Determine, utilizando a tabela-verdade, se as fórmulas abaixo são tautologia, contradição ou factíveis; ou, ainda, se a equivalência e implicação semântica são válidas:

a) E ∨ (G ∧ H) ↔ (E ∨ G) ∧ (E ∨ H)

b) ((P → Q) ∨ R) → (Q → (R ∧ P))

c) ((P ∨ R) ∧ Q) ∧ ((P → R) ∧ ¬Q)

d) (Q ∨ P) → (E ∧ R) ⇔ ((Q → E) ∧ (P → E)) ∧ ((Q → R) ∧ (P → R))

e) (P → (Q ∧ ¬Q)) ∧ P ⇒ (P ∧ ¬Q)

5.2 Árvore Semântica

Este método determina a validade de uma fórmula a partir de uma estrutura denominada árvore. Uma árvore é um conjunto de nós (vértices) ligados por arestas. Os nós finais são chamados “folhas”, o nó inicial é denominado “raiz”, enquanto os demais nós são intermediários.

5- Uma fórmula G implica semanticamente na fórmula H, se a árvore semântica correspondente

à fórmula G → H for uma tautologia.

5.3 Método da Negação ou Absurdo

O método da negação ou absurdo é um método geral de demonstração. Ele consiste em negar a afirmação que se deseja provar e, a partir de um conjunto de deduções, concluir um fato contraditório ou absurdo (ex: I[P] = T e I[P] = F).

A aplicação deste método é recomendada nos casos onde a negação da afirmação nos leva a casos determinísticos, ou seja, com uma única possibilidade de interpretação para a fórmula, pois isto simplifica a demonstração. Tal situação ocorre quando a negação acarreta a falsidade dos conectivos → e ∨ e a veracidade do conectivo ∧.

Exercício: Demonstrar, através do método da negação, a validade da Lei de Transitividade do

conectivo →: H = ((P → Q) ∧ (Q → R)) → (P → R)

Solução: validade = tautologia. Logo, devemos provar que ∀ I | I[H] = T.

Supondo que H NÃO é tautologia, então ∃ I | I[H] = F.

I[((P → Q) ∧ (Q → R)) → (P → R)] = F ⇒ I[((P → Q) ∧ (Q → R))] = T e I[(P → R)] = F

Para I[(P → R)] = F ⇒ I[P] = T e I[R] = F

Para I[((P → Q) ∧ (Q → R))] = T ⇒ I[P → Q] = T e I[Q → R] = T

Se I[P → Q] = T ⇒ I[P] = F e/ou I[Q] = T, mas como I[P] = T, logo:

Se I[Q → R] = T ⇒ I[Q] = F e/ou I[R] = T, mas como I[R] = F, logo:

I[Q] = T

I[Q] = F

ABSURDO : Q NÃO pode assumir dois valores (T e F) no mesmo instante. Portanto, a suposição inicial está errada e H é tautologia. c.q.d.

O objetivo deste método é deduzir uma contradição / absurdo a partir da negação da fórmula em prova. Entretanto, nem sempre isto ocorre. Nestes casos, NADA se pode concluir sobre a veracidade da asserção inicial. Além disso, quando existem mais de uma possibilidade testada, originada de cláusulas e/ou , todas devem gerar uma contradição.

MÉTODO DA NEGAÇÃO OU ABSURDO X PROPRIEDADES SEMÂNTICAS

1- Uma fórmula H é uma tautologia se a suposição ∃ I | I[H] = F gerar contradição.

2- Uma fórmula H é uma contradição se a suposição ∃ I | I[H] = T gerar contradição.

3- Uma fórmula H é factível quando ela não for tautologia, nem contradição. Neste caso, basta apresentar duas interpretações para H (I e J), onde I[H] = T e J[H] = F.

4- Duas fórmulas G e H são equivalentes semanticamente, se for possível provar que a fórmula

G ↔ H for uma tautologia.

5- Uma fórmula G implica semanticamente na fórmula H, se for possível provar que a fórmula

G → H for uma tautologia.

Exercício de Fixação

Demonstre, utilizando os três métodos de validação estudados, que as fórmulas a seguir são tautologias:

a) ((H → G) ∧ (G → H)) → (H → H)

b) (H ∧ (G ∨ E)) ↔ ((H ∧ G) ∨ (H ∧ E))

c) ¬(H → G) ↔ (H ∧ (¬G))

d) ((¬R ∨ Q) ∧ (¬Q ∨ P)) → (R → P)

6 Princípio da Indução Finita

Apesar de não fazer parte da lógica, este princípio é um dos principais métodos utilizados na demonstração de resultados. Na ciência da computação, tal princípio é usado para demonstrar resultados em linguagens formais, teoria de algoritmos, teoria dos códigos, etc.

6.1 Paradigma da Indução

Considere um conjunto de peças de dominó enfileiradas e enumeradas. Elas estão dispostas de modo que, se o dominó 1 é derrubado para direita, então o subseqüente (dominó 2) também cai, e assim sucessivamente.

Diante disto, surge a pergunta: “ O que é suficiente para um dominó N cair? ”

Resposta : que qualquer um dos dominós que o antecede caia para direita, ou seja, existem (N-1) condições suficientes.

Suponhamos que o dominó 1 caia para direita, logo o dominó N também cai. Agora surge outra pergunta: “ Qual é a condição necessária para que o dominó 1 possa cair para direita? ”.

Resposta : que os dominós subseqüentes possam ser derrubados.

A partir deste cenário, observamos que existem várias condições suficientes para que todos os dominós sejam derrubados. Exemplo:

Se o dominó 1 é derrubado para direita, então o dominó N cai, ou simplesmente, D 1 → DN.

Dentre eles, destacamos 2 conjuntos:

1º conjunto:

• Condição básica: O dominó 1 é derrubado para direita.
• Condição indutiva: Seja N um nº arbitrário. Se o dominó N é derrubado para direita, então o dominó N+1 também cai.

2º conjunto:

• Condição básica: O dominó 1 é derrubado para direita.
• Condição indutiva: Seja N um nº arbitrário. Se todos os dominós até N são derrubados para direita, então o dominó N+1 também cai.

7 Relações Semânticas entre os Conectivos

7.1 Conectivos Completos

Um conjunto de conectivos proposicionais ϕ é completo se e somente se, é possível expressar, equivalentemente, os conectivos ¬, ∨, ∧, → e ↔ utilizando apenas os conectivos de ϕ.

Este conceito é muito utilizado em ciência da computação e lógica, como por exemplo, para simplificar os conectivos empregados em um projeto de circuitos lógicos.

Ex: Demonstre que ϕ = {¬, ∨} é um conjunto completo.

Solução: dada uma fórmula H , do tipo (¬P), (P ∨ Q), (P ∧ Q), (P → Q) ou (P ↔ Q). Podemos gerar uma fórmula G , equivalente a H e só contenha conectivos de ϕ.

Para H = (¬P) ou (P ∨ Q) , temos G = H , pois os {¬,∨} ∈ ϕ.

Para H = (P ∧ Q) , temos G = ¬(¬P ∨ ¬Q) , pela aplicação da Lei de Morgan.

Para H = (P → Q) , temos G = (¬P ∨ Q) , pela aplicação da propriedade de substituição do →.

Para H = (P ↔ Q) , temos G = ¬(¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬(¬Q ∨ P)) , pela seqüência explicada abaixo:

(P ↔ Q) ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P), pela aplicação da propriedade de substituição do ↔

⇔ (¬P ∨ Q) ∧ (¬Q ∨ P), pela aplicação da propriedade de substituição do →

⇔ ¬(¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬(¬Q ∨ P)) , pela aplicação da Lei de Morgan.

Logo, ϕ = {¬, ∨} é um conjunto completo c.q.d.

OBS: A demonstração que G equivale a H, através de tabela-verdade, fica como exercício.

7.2 Formas Normais

As fórmulas da lógica proposicional podem ser expressas utilizando vários conjuntos de conectivos completos. Além disso, também podemos representá-las através de estruturas pré- definidas, denominadas formas normais. São elas:

• Forma Normal Disjuntiva (FND): se a fórmula é uma disjunção de conjunções de literais (símbolos proposicionais ou suas negações).
• Forma Normal Conjuntiva (FNC): se a fórmula é uma conjunção de disjunções de literais.

Ex: H = (¬P ∧ Q) ∨ (¬R ∧ ¬Q ∧ P) ∨ (P ∧ S) FND

G = (¬P ∨ Q) ∧ (¬R ∨ ¬Q ∨ P) ∧ (P ∨ S) FNC

OBTENÇÃO DAS F ORMAS NORMAIS

Considere a fórmula: H = (P → Q) ∧ R. Podemos escrever H 1 e H 2 , de modo que H 1 seja H na

FND e H 2 seja H na FNC , com segue:

1º Passo: Construção da tabela-verdade de H.

P Q R H Linha F F F F 1 F F T T 2 F T F F 3 F T T T 4 T F F F 5 T F T F 6 T T F F 7 T T T T 8

2º Passo: Geração de H 1 ( FND ).

• Extrair as linhas da tabela-verdade onde I[H] = T. Para cada linha N , gerar uma fórmula YN , formada apenas pela conjunção de literais, de modo que I[YN] = T, como apresentado abaixo:

2ª linha: I[P] = F, I[Q] = F, I[R] = T ⇒ Y 2 = (¬P ∧ ¬Q ∧ R).

4ª linha: I[P] = F, I[Q] = T, I[R] = T ⇒ Y 2 = (¬P ∧ Q ∧ R).

8ª linha: I[P] = T, I[Q] = T, I[R] = T ⇒ Y 2 = (P ∧ Q ∧ R).

• Gerar H 1 a partir da disjunção das fórmulas geradas no item anterior.

H 1 = (¬P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ Q ∧ R)

3º Passo: Geração de H 2 ( FNC ).

• Extrair as linhas da tabela-verdade onde I[H] = F. Para cada linha N , gerar uma fórmula XN , formada apenas pela disjunção de literais, de modo que I[XN] = T, como apresentado abaixo:

1ª linha: I[P] = F, I[Q] = F, I[R] = F ⇒ X 1 = (P ∨ Q ∨ R).

3ª linha: I[P] = F, I[Q] = T, I[R] = F ⇒ X 3 = (P ∨ ¬Q ∨ R).

5ª linha: I[P] = T, I[Q] = F, I[R] = F ⇒ X 5 = (¬P ∨ Q ∨ R).

6ª linha: I[P] = T, I[Q] = F, I[R] = T ⇒ X 6 = (¬P ∨ Q ∨ ¬R).

7ª linha: I[P] = T, I[Q] = T, I[R] = F ⇒ X 7 = (¬P ∨ ¬Q ∨ R).

• Gerar H 2 a partir da conjunção das fórmulas geradas no item anterior.

H 2 = (P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ ¬Q ∨ R) ∧ (¬P ∨ Q ∨ R) ∧ (¬P ∨ Q ∨ ¬R) ∧ (¬P ∨ ¬Q ∨ R)

Exercício de Fixação

Dada a fórmula H = ((P → Q) ∧ (¬Q ↔ R)) ↔ (¬R ∨ ¬P).

a) Construa a fórmula equivalente utilizando apenas os conectivos do conjunto ϕ = {¬, ∨}.

b) Gere as fórmulas equivalentes na FND e FNC.