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Aula 5
A tividade 1
Suponha que seja um número racional, isto é, que existem tais que. Sem perda de generalidade, vamos supor que é uma fração irredutível, ou seja, não existe nenhum número inteiro que divide e ao mesmo tempo. Assim,
isso mostra que 3 divide , conseqüentemente 3 divide (*). Logo, existe tal que Substituindo em (1) temos:
Disso, temos que 3 divide , conseqüentemente, 3 divide (**). O que contradiz o fato de ser irredutível. Portanto, d é irracional.
Observe que em () e em (*) Usamos o fato de que se é um número primo e divide então divide ou divide.
A tividade 2
Observe que , assim. Logo podemos dizer que como. Fazendo , , temos
Note que para temos enquanto que para temos
. Logo 7 é o maior valor de para que a desigualdade acima seja verdadeira. Dessa forma podemos dizer que 1,7 é o maior número decimal que é menor que e que tem uma casa decimal. Faremos agora,
Assim,
Observe que para , temos enquanto que para temos. Logo 3 é o maior valor de para que a desigualdade acima seja verdadeira. Dessa forma podemos dizer que 1,73 é o maior número decimal que é menor que e que tem duas casas decimais. Fazendo termos que ter
observe que para temos enquanto que para temos. Logo 2 é o maior valor de para que a desigualdade acima seja verdadeira. Dessa forma podemos dizer que 1,732 é o maior número decimal que é menor que e que tem três casas decimais. Finalmente, fazendo teremos,
Observe que para , temos. Logo 0 é o maior valor de para que a desigualdade acima seja verdadeira. Dessa forma podemos dizer que 1,7320 é o maior número decimal que é menor que e que tem três casas decimais. Portanto.
A tividade 3
Observando ate a quinta casa decimal, vemos que:
2,7182 897534...< 2,7182 94765... e 2,7182 889123...< 2,7182 94765...
e olhando para sexta casa decimal, como 8<9, teremos:
Logo,
Para achar um número entre 2,7182 889123... e 2,7182 897534... basta tomar um que tenha a parte inteira igual a 2 e as 6 primeiras casas decimais iguais a 718289 e a sétima casa decimal maior ou igual a 1 e menor do que 7, o restante das casas decimais é livre (pode ser qualquer número), por exemplo, podemos pegar o número 2,718289 228...
De forma análoga achamos um número entre 2,7182 897534... e 2,7182 94765..., ou seja, basta tomar um que tenha a parte inteira igual a 2 e as 5 primeiras casas decimais iguais a 71829 e a sexta casa decimal maior ou igual a 1 e menor do que 4, o restante das casas decimais é livre (pode ser qualquer número), por exemplo, podemos pegar o número 2,71829 123...
Observe que essa não é a única maneira de encontrar esses números e que existem infinitos números que satisfazem essas condições.
A tividade 4
Tracemos uma semi reta e origem O e sobre ela marque os pontos A e C tal que AO e OC tenham medida respectivamente igual a e 1.Observe que o ponto C ficara entre O e A se. Tracemos agora uma outra semi reta com origem em O, não colinear a. Sobre marquemos o ponto D tal que OD tenha medida 1. Fica assim determinado o segmento AD.Assim, se traça pelo ponto C a reta paralela a AD, obtemos assim o ponto B de interseção dessa com a reta , determinando assim os triângulos OBC e ODA que são semelhantes.
