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OS NÚMEROS IRRACIONAIS
Hermano Frid Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
F 0 A 8Nível Intermediário.
No texto a seguir fazemos uma breve introdução ao conceito de número irracional. Na sua maior parte o texto será acessível a alunos da última série do primeiro grau. As duas últimas seções talvez requeiram um pouco mais de maturidade embora não exijam nenhum conhecimento prévio adicional. Para simplificar a exposição nos restringiremos a números positivos. A extensão dos fatos abordados ao contexto geral de números positivos, negativos e 0 não requer nenhuma dificuldade adicional. Pode-se imaginar que a idéia de número inteiro positivo tenha surgido num estágio primário da civilização, juntamente com a necessidade da prática da contagem. Por exemplo, era necessário a um pastor saber contar de algum modo o número de animais no seu rebanho. A maneira de representar o resultado dessa contagem era no início bastante diferente da que usamos agora e é provável que no começo cada pessoa tivesse sua maneira própria de fazê-lo. Contar significa estabelecer um modo de comparar quantidades de elementos de conjuntos distintos. Por exemplo, a quantidade de pedrinhas em um saco com a quantidade de animais num rebanho, ou a quantidade de alimentos conseguidos em uma caçada ou em colheita com a quantidade de membros da tribo. Também não é difícil imaginar que a ideia de fração tenha surgido na evolução da civilização humana, primeiramente e de forma mais elementar, com a ocorrência usual da necessidade de um determinado grupo de pessoas partilhar um ou mais bens de propriedade comum entre seus membros. E num estágio mais avançado, dentre outras motivações possíveis, com a necessidade de as pessoas trocarem entre si bens de tipos distintos. Por exemplo, um pastor deseja trocar com um agricultor peles de carneiro por sacos de milho numa razão de 3 peles de carneiro para cada grupo de 7 sacos de milho. Por outro lado, a idéia de um “número” que não seja nem inteiro nem fração é, em princípio, muito menos natural que a daqueles e surge num estágio muito mais avançado da civilização com a necessidade da prática da medição. Por exemplo, medir as dimensões ou a área de um terreno, comparar as distâncias entre pares de pontos distintos, etc. Procuraremos, a seguir, mostrar as propriedades básicas destes números “estranhos” em contraste com as propriedades, na maior parte já bem conhecidas, daqueles mais intuitivos, os inteiros e as frações.
1. BASE DECIMAL; DÍZIMAS
Os números reais positivos podem ser representados no sistema decimal por uma seqüência de algarismos – elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – Separados por uma vírgula. Assim, se são algarismos quaisquer, um número real positivo representado no sistema decimal tem a forma (1) onde Nessa representação, à esquerda da vírgula temos sempre um número finito de algarismos, porém à direita podemos ter uma infinidade de algarismos. Por exemplo, 783,5231 representa o número obtido como resultado da expressão (2)
Por outro lado, a fração tem representação decimal 0, 1545454… com uma infinidade de algarismos à direita. Essa representação se traduz como resultado de uma expressão com infinitas parcelas (3) Essa expressão significa exatamente que se quisermos aproximar no sistema decimal com “precisão de 8 casas decimais, por exemplo, devemos tomar como aproximação o número 0,15454545 que é resultado da expressão
Claro, o número 0, 1545454… é o que chamamos de uma dízima periódica e por isso pode ser obtido como uma fração.
O QUE ACONTECE NO CASO DE UMA DÍZIMA NÃO-PERIÓDICA?
Neste caso, assim como no periódico, temos uma infinidade de algarismos à direita da vírgula e assim só nos é possível escrever a representação decimal até uma certa casa decimal, porém, diferentemente do que acontece no caso periódico, não há repetição indefinidamente de um determinado grupo de algarismos e, assim, o número em questão não pode ser obtido como uma fração com e e q diferente de 0_._ Os números que podem ser obtidos como frações são chamados racionais; os que não podem ser obtidos como frações são chamados irracionais.
2. POR QUE PRECISAMOS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS? Responderemos esta pregunta através de um exemplo. Euclides provou que o número positivo cujo quadrado é 2, isto é, o número positivo x que satisfaz a equação (5) não é racional. Euclides argumentou da seguinte forma: Suponhamos que o número x satisfazendo (5) seja racional. Então existem inteiros positivos p e q ,
primos entre si, tais que ou seja (6) Portanto é par e p também é par; p pode ser escrito na forma p = 2 k. Assim, (7)
Isto significa que podemos dispor os números racionais numa sucessão da forma com uma infinidade de elementos. Podemos interpretar este fato como significando que a quantidade de números racionais, embora sendo infinita, é de uma “ordem de infinitude” equivalente a dos números naturais 1, 2, 3…. O argumento para a demonstração desse fato é devido a Georg Cantor. Como todo racional tem uma representação única como fração com p e q inteiros positivos primos entre si, basta que saibamos enumerar os pares ordenados ( p , q ) de naturais primos entre si. A forma de obter essa enumeração está descrita pela figura abaixo:
A enumeração é obtida seguindo-se o caminho indicado pelas flechas, iniciando a partir de (1,1), tendo o cuidado de descartar os pares de naturais que não são primos entre si, como, por exemplo, (2,2), (4,2), (3,3) etc.. Com isso, teríamos
etc.
5. REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS RACIONAIS
Há pouco dissemos que não era possível pôr uma dízima não periódica em forma de fração com p e q naturais primos entre si. Vamos dar uma explicação para este fato. Fixemos um natural q. Quando dividimos um número qualquer N > q pelo número q. Obtemos como resto da divisão um elemento do conjunto (finito) {0, 1, 2,…, q – 1}. Tomemos como exemplo q = 7 e N = 17; nesse caso os restos possíveis pertencem ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Agora vamos recordar o algoritmo da divisão com esse exemplo específico:
O que acontece é que os restos possíveis são elementos do conjunto finito de q elementos {0, 1,…, q – 1}(no exemplo acima q = 7). Assim, em no máximo q iterações do algoritmo ou acabamos repetindo um elemento do conjunto de restos possíveis (no exemplo acima o primeiro a se repetir foi o 3), ou o 0 ocorre como resto e o processo termina. No primeiro caso, a partir daí passamos a repetir os restos ocorridos anteriormente na mesma ordem (3, 2, 6, 4, 5, 1, no exemplo acima). As casas decimais no quociente por sua vez também se repetem o obtemos então uma dízima periódica. No segundo caso, obtemos simplesmente um número finito de casas decimais.
6. REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS IRRACIONAIS
Todo número irracional positivo possui uma representação decimal única por meio de uma dízima não periódica. Para simplificar vamos nos restringir aos números entre 0 e 1. Já sabemos que um número cuja representação decimal possui uma quantidade finita de casas decimais pertence ao conjunto dos racionais. Da mesma forma aprendemos que um número cuja representação decimal é uma dízima periódica é também um número racional. Por outro lado, vimos no item anterior que as representações decimais de um racional são necessariamente de um dos dois tipos: ou possuem uma quantidade finita de casas decimais, ou “terminam” em uma dízima periódica. Logo, uma representação decimal para um número irracional tem necessariamente que ser uma dízima não- periódica. Afirmamos que essa representação é única. Repare que isso não ocorre em geral com os racionais. Por exemplo, 0, 21 e 0, 20999… representam o mesmo racional. Suponhamos que um irracional x entre 0 e 1 possua duas representações decimais distintas: (10) (11) Se essas representações são distintas certamente existe um p F 0 C EN tal que para e Para fixar idéias vamos assumir então que e por (10) e (11) (12) (13) já que se e é sempre menor ou igual a 9. Mas (12) e (13) implicam que e Porém nesse caso x é racional e chegamos a uma contradição! Chegaríamos a uma contradição semelhante também se tivéssemos assumido argumentando da mesma forma apenas trocando os papéis dos e A contridição tem origem no fato de termos suposto que havia duas representações decimais distintas para o mesmo irracional x. Logo essa possibilidade tem que ser descartada, considerada falsa, e assim concluímos que todo irracional possui uma representação decima única como dízima não-periódica.
7. OS IRRACIONAIS NÃO PODEM SER ENUMERADOS
Isto significa que não podemos dispor os números irracionais numa sucessão mesmo admitindo uma infinidade de elementos. Quer dizer, diferentemente dos racionais, a “ordem de infinitude” da quantidade dos números irracionais é maior que a dos números naturais. Concluímos daí que existem muito mais números irracionais do que racionais! Vamos tentar justificar nossa afirmação sobre a não-enumerabilidade dos irracionais. O argumento é uma adaptação de uma idéia também devida a G. Cantor. Suponhamos que fosse possível dispor os irracionais numa sucessão. Basta considerarmos apenas os irracionais entre 0 e 1. Criamos um número irracional x , também entre 0 e 1, através de uma representação decimal (portanto,
Assim, podemos também definirF 0 7 0como sendo a metade do perímetro do círculo de raio 1. Por outro lado, usando o teorema de Pitágoras que diz que em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos, se denota o comprimento do lado do polígono regular de lados, é fácil mostrar que (14) Para n = 2 temos o polígono regular de 4 lados, quadrado, inscrito no círculo de raio 1, cujo lado, facilmente obtido usando-se o teorema de Pitágoras, é
Por meio de (14) obtemos sucessivamente
Para obter uma boa aproximação deF 0 7 0 calculemos, por exemplo, o valor da metade do perímetro do polígono de lados, inscrito no círculo de raio 1, cujo lado tem comprimento igual a Podemos obter um valor aproximado para executando a seguinte seqüência de operações numa calculadora 2 sqrt + 2 = sqrt + 2 = sqrt + 2 = sqrt
- 2 = sqrt + 2 = sqrt + / – + 2 = sqrt, e obtemos = 0.0245430765714398521588165239020064. Agora, multiplicaremos o resultado obtido para por 256, que é o número de lados da polígono em questão, e em seguida dividimos por 2 o que nos dá
o que fornece uma aproximação com erro menor que 0, 0001 já que é sabido que
3, 1415 <F 0 7 0< 3, 1416.
Considerações finais : Exceto pelas duas últimas seções, o texto acima foi elaborado a partir de um “pedido” de minha filha, Marina, atualmente na 8a. série do primeiro grau, urgida por um trabalho de casa em grupo passado por sua professora. O referido trabalho, felizmente, resultou bastante diferente do que foi exposto acima, que acabou servindo apenas como uma entre várias referências usadas pelo grupo. No entanto, as 7 primeiras seções foram bem compreendidas por ela e seu grupo; as duas últimas foram escritas depois que o prazo para a
entrega do trabalho havia esgotado e, portanto, não chegaram a ser “testadas”. Para concluir gostaria de deixar aqui meus agradecimentos ao estimado professor e colega Elon Lages Lima pelas sugestões sobre uma versão preliminar destas notas.
EXERCÍCIOS:
- Usando o mesmo argumento de Euclides descrito em 2. prove que são irracionais.
- Usando o método de Newton, descrito em 3, obtenha aproximações correspondentes ao do texto para os irracionais e compare com o resultado fornecido pela máquina de calcular.
- Pesquise sobre a vida e a obra dos grandes matemáticos mencionados no texto: Arquimedes, Pitágoras, Euclides, Isaac Newton e Georg Cantor.
- Prove a fórmula (14).
