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Respostas da Aula 7
Resposta da atividade 1
Solu¸c˜ao:
a) Para a inequa¸c˜ao − 5 x + 3 ≥ 0, temos
− 5 x + 3 ≥ 0 ⇔ − 5 x ≥ − 3 ⇔ 5 x ≤ 3 ⇔ x ≤
Logo, o conjunto-solu¸c˜ao dessa inequa¸c˜ao ´e S = {x ∈ R; x ≤ 3 / 5 }.
b) Para a inequa¸c˜ao
x + 11 <
, temos
3 4 x + 11 <
x <
x <
⇔ x <
Logo, o conjunto-solu¸c˜ao dessa inequa¸c˜ao ´e S = {x ∈ R; x < − 14 }.
Resposta da atividade 2
Solu¸c˜ao:
a) Para este item, temos
| 4 x − 11 | ≤ 10 ⇔ − 10 ≤ 4 x − 11 ≤ 10 ⇔ −10 + 11 ≤ 4 x ≤ 10 + 11 ⇔ 1 ≤ 4 x ≤ 21 ⇔
≤ x ≤
Logo, o conjunto-solu¸c˜ao dessa inequa¸c˜ao ´e
S =
x ∈ R;
≤ x ≤
b) Para este item, temos
| 2 x + 3| > | 1 − x| ⇔ | 2 x + 3|^2 > | 1 − x|^2 ⇔ (2x + 3)^2 > (1 − x)^2.
Agora, usando a igualdade a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), com a = 2x + 3 e b = 1 − x, temos
(2x + 3)^2 > (1 − x)^2 ⇔ (2x + 3)^2 − (1 − x)^2 > 0 ⇔ [(2x + 3) + (1 − x)][(2x + 3) − (1 − x)] > 0 ⇔ (x + 4)(3x + 2) > 0.
Sabemos que o produto de dois n´umeros reais ´e positivo se, e somente se, eles tˆem o mesmo sinal. Assim, os valores de x para os quais a ´ultima desigualdade ´e verdadeira s˜ao x + 4 > 0 e 3 x + 2 > 0 ou x + 4 < 0 e 3 x + 2 < 0.
No primeiro caso, temos x > −4 e x > − 2 /3 e, no segundo, x < −4 e x < − 2 /3. Logo, o conjunto-solu¸c˜ao dessa inequa¸c˜ao ´e
S = {x ∈ R; x < −4 ou x > − 2 / 3 }.
Sendo sua ´area menor que seu per´ımetro, temos
x^2 < 4 x ⇔ x^2 − 4 x < 0 ⇔ x(x − 4) < 0
⇔
x > 0 e x − 4 < 0 ou x < 0 e x − 4 > 0
x > 0 e x < 4 ou x < 0 e x > 4
0 < x < 4 ou x < 0 e x > 4
Como n˜ao pode ocorrer x < 0 e x > 4, temos que o conjunto-solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao acima ´e S = {x ∈ R; 0 < x < 4 }, ou seja, os poss´ıveis valores da medida dos lados de um quadrado cuja ´area ´e menor que o per´ımetro s˜ao os n´umeros reais entre 0 e 4.
b) Queremos saber que n´umeros reais tˆem o quadrado maior do que o seu dobro, ou seja, para quais valores de x ∈ R se tem x^2 > 2 x. Da´ı,
x^2 > 2 x ⇔ x^2 − 2 x > 0 ⇔ x(x − 2) > 0
⇔
x > 0 e x − 2 > 0 ou x < 0 e x − 2 < 0
x > 0 e x > 2 ou x < 0 e x < 2
x > 2 ou x < 0.
Assim, os n´umeros reais que tˆem quadrado maior do que o dobro s˜ao os elementos do seguinte conjunto: S = {x ∈ R; x < 0 ou x > 2 }.
Resposta da atividade 5
Solu¸c˜ao: Dividiremos a resolu¸c˜ao da inequa¸c˜ao em dois casos: x > 3 e x < 3.
(i) Se x > 3, temos x − 3 > 0. Logo,
2 x^2 + 1 x − 3 < x ⇔ 2 x^2 + 1 < x(x − 3) ⇔ 2 x^2 + 1 < x^2 − 3 x ⇔ 2 x^2 + 1 − x^2 + 3x < 0 ⇔ x^2 + 3x + 1 < 0 ⇔ x^2 + 2 · 3 x 2
x +
x +
∣x^ +
2 <
∣x^ +
< x +
< x <
Mas isso n˜ao cumpre a condi¸c˜ao x > 3.
b) Os conjuntos-solu¸c˜ao das inequa¸c˜oes dos exemplos dados nesta aula usando a nota¸c˜ao de intervalos:
Atividade 1.a)
]
Atividade 1.b) (−∞, −14]. Atividade 2.a)
[ 1
4 ,^
21 4
]
Atividade 2.b) (−∞, −4] ∪
[
]
Atividade 3
]
[
Atividade 4.a) (0, 4). Atividade 4.b) (−∞, 0) ∪ (2, ∞).
Atividade 5)
