Soluções Ca 12 matematica, Exercícios de Matemática

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PROPOSTAS

DE RESOLUÇÃO

CADERNO DE EXERCÍCIOS

E TESTES

Tema I – Cálculo Combinatório

Páginas 9 a 15

1.1. ( A ∪ B ) ∩ C

1.2. A ∪ ( B ∩ C )

1.3. A ∩ ( B ∪^ C )

1.4. A ∩ ( B \ C )

1.5. C \ ( A ∪ B )

1.6. ( B ∩ C ) \ A

2.1. A ∩ ( A ∩ B ) = A ∩ ( A ^ ∪  B ) = = ( A ∩ A ) ∪ ( A ∩ B ) = = ∅ ∪ ( A ∩ B ) = = A ∩ B ^ = = A \ B

2.2. ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) ∪ ( A ^ ∩ B ) = = [ A ∩ ( B ∪ B )] ∪ ( A ^ ∩ B ) =

U

U

A B

A (^) B

C

U A (^) B

C

U A (^) B

C

U A (^) B

C

U A (^) B

C

B^ U C

U A (^) B

C

U A (^) B

C

U

B U C

A (^) B

C

U A (^) B

C

U A (^) B

C

U A (^) B

C

B^ \ C

U A (^) B

C

U A (^) B

C

U

A U B

A (^) B

C

A U B

U A (^) B

C

U A (^) B

C

B^ U C

U A (^) B

C

U A (^) B

C

4.5. A afirmação é verdadeira. Sejam A ⊂ B e C ⊂ D. A × C = {( x , y ): x  A ∧ y  C } Seja ( a , b ) um elemento qualquer de A × C. Como a  A e A ⊂ B , então a  B. Como b  C e C ⊂ D , então b  D. Então, ( a , b ) é um elemento de B × D. Logo, A × C ⊂ B × D.

×

 = ^6 ×

×

×

4! = ^6 ×

^5 = 10

×

 = ^8 ×

×

×

×

×

×

×

4!= 8 × 7 × 5 = 280

 = ^9 ×

! ×

×

×

×

5!= 9 × 8 × 6 = 432

5.4. 7 C 4 × 3! = 

×

 × 3! =

= ^7 ×^6 ×

^5 ×^ 4!=

= 7 × 6 × 5 =

5.5. 5 A 2 × 3! = ^5

 × 3! = 5 × 4 × 3 × 2 = 120

5.6. 6 C 4 × 4 A 2 = 

×

 × ^4

= ^6 ×^5 ×

×

×

^3 ×^2 =

= 6 × 5 × 3 × 2 =

×

×

×

 = ^5

5 C

^3 = = 

3! × 2

× 4!

× 2

× 4

×

6.1. 16 × 12 = 192

6.2. 16 × 15 + 12 × 11 = 372

6.3. 1 × 27 × 2 = 54

7.2. 3! × 4! × 5 = 720

7.3. 2 × 3! × 4! = 288

7.4. 3! × 4! = 144

8.1. 9 × 20 × 8 = 1440

8.2. 9 × 20 × 8 × 3! = 8640

8.3. 37 A 3 = 46 620 ou 37 C 3 × 3! = 46 620

9.1. 37 C 5 = 435 897

9.2. 15 C 2 × 12 C 2 × 10 C 1 = 69 300

9.3. 15 C 3 × 22 C 2 = 105 105

9.4. 25 C 5 + 25 C 4 × 12 C 1 + 25 C 3 × 12 C 2 = 356 730

10.1. ^ ( n^ + 2)! n

( n^ + 1)!= 120 ( n! ≠ 0, ∀ n  N 0 )

⇔ = 120

⇔ ( n + 2)( n + 1) + n + 1 – 120 = 0 ⇔ n^2 + 2 n + n + 2 + n + 1 – 120 = 0 ⇔ n^2 + 4 n – 117 = 0

⇔ n =

⇔ n = 9 ∨ n = – 13 Como n  N 0 , então n = 9.

10.2. nA 2 = 342 ⇔  ( n

n

 = 342 (( n – 2)! ≠ 0, ∀ n ≥ 2)

⇔ ^ n ( n^ – ( n

n )

⇔ n ( n – 1) – 342 = 0 ⇔ n^2 – n – 342 = 0

⇔ n =

⇔ n = 19 ∨ n = – Como n  N 0 , então n = 19.

10.3. n^ – 1 A 3 = 3 n^ – 2 A 2

⇔ ^ ( (

n n

 = 3^ (

n n

 (( n – 4)! ≠ 0, ∀ n ≥ 4) ⇔ ( n – 1)! = 3( n – 2)! ⇔ ( n – 1)( n – 2)! = 3( n – 2)! ⇔ n – 1 = 3(( n – 2)! ≠ 0, ∀ n ≥ 2) ⇔ n = 4

10.4. n^ C 2 = 136

⇔  2!( n

n

 = 136 (( n – 2)! ≠ 0, ∀ n ≥ 2)

⇔ ^ n ( n 2

!( n

( n 2

⇔ n ( n – 1) = 2 × 136 ⇔ n^2 – n – 272 = 0 ⇔ n =

⇔ n = 17 ∨ n = – Como n  N 0 , então n = 17.

5 A 3

^5

×

( n^ + 2)( n^ + 1) n! + ( n^ + 1) n! n!

–4 ±^ ^16 ^ +^4 ^ ×^11 ^7 

1 ±^ ^1 ^ +^ ^4 ×^ ^34 ^2 

1 ±^ ^1 ^ +^ ^4 ×^ ^27 ^2 

10.5. n^ – 1 C 3 = 3 n^ – 2 C 2

⇔  3

n ( n

 = 3 (( n – 4)! ≠ 0, ∀ n ≥ 4)

⇔ ^ ( n^ – 1) 3

^ n^ – 2)!= 3 ^ ( n^ – 2!

⇔ n – 1 = ^3 × 2!

⇔ n – 1 = 9 ⇔ n = 10

10.6. nC 2 + nA 2 = 360

⇔  2!( n

n

( n

n

 = 360 (( n – 2)! ≠ 0, ∀ n ≥ 2)

⇔ ^ n ( n 2

!( n

( n 2

2)!+ ^ n ( n^ – ( n

n )

⇔ ^ n ( n 2

– 1) + n ( n – 1) = 360

⇔ n^2 – n + 2 n^2 – 2 n – 720 = 0 ⇔ 3 n^2 – 3 n – 720 = 0 ⇔ n^2 – n – 240 = 0

⇔ n =

⇔ n = 16 ∨ n = – Como n  N 0 , então n = 16.

11.1. 2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11

Logo, o número de divisores naturais de 2310 é 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^5 = 32.

11.2. 2700 = 2^2 × 33 × 52 Logo, o número de divisores naturais de 2700 é 3 × 4 × 3 = 36.

12.1. 7 × 8 × 7 × 6 = 2352

12.2. 8 × 7 × 6 × 4 = 1344

12.3. 8 × 7 × 6 × 1 = 336

12.4. Números inferiores a 5000: 4 × 8 × 7 × 6 = 1344 Números entre 5000 e 5800: 1 × 6 × 7 × 6 = 252 Números entre 5800 e 5840: 1 × 1 × 3 × 6 = 18 Assim, 1344 + 252 + 18 = 1614.

13.1. 5 × 4! = 120

13.2. 3! × 4! = 144

13.3. 2 × 3! × 3! = 72

13.5. 2 × 5! – 4! = 216

14.1. 9 × 8 × 7 × 6 × 1 + 8 × 8 × 7 × 6 × 4 = 13 776

14.2. 8 × 7 × 6 + 9 × 8 × 7 × 6 = 3360

15.1. 2! × ( n – 1)! 15.2. n! – 2! × ( n – 1)! = ( n – 2)( n – 1)!

15.3. 3!( n – 2)!

15.4. 3! × 2! × ( n – 3)!

16.1. ^2 ×

16.2. 2 4 × ^4

16.3. 2 × ^4

17.1. 8 C 5 = 56

17.2. 3 C 2 × 5 C 3 = 30

17.3. 8 C 5 – 3 C 2 × 5 C 3 = 56 – 30 = 26

17.4. 3 C 2 × 3 C 2 × 2 = 18

17.5. 8 C 5 – 3 C 2 × 3 C 2 × 2 = 56 – 18 = 38

17.6. 3 C 2 × 5 C 3 + 6 C 4 × 2 – 3 C 2 × 3 C 2 × 2 =

17.7. 8 C 5 – (^3 C 2 × 5 C 3 + 6 C 4 × 2 – 3 C 2 × 3 C 2 × 2) =

18. 1 + n = 33 ⇔ n = 32

18.1. 32 C 3 = 4960

18.2. 32 C 16 = 601 080 390

18.3. 33 C 4 + 33 C 5 = 278 256

18.5. 17 elementos.

19.1. (2 + 3 x )^5 = = 5 C 0 2 5 (3 x )^0 + 5 C 1 24 (3 x )^1 + 5 C 2 23 (3 x )^2 +

• 5 C 3 2 2 (3 x )^3 + 5 C 4 21 (3 x ) 4 + 5 C 5 2 0 (3 x )^5 = = 32 + 5 × 16 × 3 x + 10 × 8 × 9 x^2 + 10 × 4 × × 27 x^3 + 5 × 2 × 81 x^4 + 243 x^5 = = 32 + 240 x + 720 x^2 + 1080 x^3 + 810 x^4 + 243 x^5

1 ±^ ^1 ^ +^ ^4 ×^24 ^0 

( n^ – 2)! 2!( n – 4)! 0 é o último algarismo o último algarismo é 2 ou 4 ou 6 ou 8

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

entre 89 000 e 89 999

entre 90 000 e 99 999

⎧⎪⎨⎪⎩ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

22.5. Tem-se que:

2 x + 4 ≥ 15 ∧ 2 x + 4 ≥ 16 ⇔ x ≥ ^1 2

(^1)  ∧ x ≥ 6

⇔ x ≥ 6

Assim: 2 x + 4 C 15 + 2 x + 4 C 16 = 35 C 16 ⇔ 2 x + 5 C 16 = 35 C 16 ⇔ 2 x + 5 = 35 ⇔ 2 x = 30 ⇔ x = 15 C.S = {15}

22.6. Tem-se que:

2 x + 1 ≥ 21 ∧ 2 x ≥ 20 ⇔ x ≥ 10

Assim: 2 x + 1 C 21 – 2 xC 20 = 40 C 21 ⇔ 2 xC 20 + 2 xC 21 – 2 xC 20 = 40 C 21 ⇔ 2 xC 21 = 40 C 21 ⇔ 2 x = 40 ⇔ x = 20 C.S. = {20}

23.1. 10 C 4 (3 x )^6 ^1 x



4 = 210 × 729 x^6 ×  x

= 153 090 x^2

23.2. Termo geral:

(^10) Cp (3 x ) 10 – p 

x



p = 10 C (^) p 3 10 –^ p^ x 10 –^ p^ x – p^ =

= 10 Cp 3 10 –^ p^ x 10 – 2 p Então:

10 – 2 p = 4 ⇔ –2 p = – ⇔ p = 3

Logo, 10 C 7 37 = 262 440 é o coeficiente de x^4.

23.3. 10 C 5 35 x –10 + 2^ ×^5 = 61 236

23.4.

10 ∑ p = 10

(^10) Cp = 2 (^10) = 1024

24. nC 2 = 105 ⇔ 

2!( n

n

⇔ ^ n ( n 2

× (

n

n 2

⇔ n ( n – 1) = 210 ⇔ n^2 – n – 210 = 0

⇔ n =

⇔ n = –14 ∨ n = 15

15 + 1 = 16 elementos

25. n^ C 0 + nC 1 + n^ C 2 + n^ C 3 = 341

⇔ 1 + n + n^ C 2 + 210 = 341 ⇔ n + nC 2 = 130 ⇔ n^ + 1 C 2 = 130

26.1. 11 C 7 ( x )^4 (2 x )^7 = 330 × x^2 × 128 x^7 = = 42 240 x^9 26.2. Termo geral: (^11) Cp ( x )11 – p (^) (2 x ) p (^) = 11 Cp x 2 p (^) xp (^) =

= 11 C (^) p 2 p^ x

Então:

^1 2

(^1)  +  p 2

 = 8 ⇔ 11 + p = 16

⇔ p = 5 Logo, 11 C 5 25 = 14 784.

26.3. Termo geral: 11 Cp 2 p^ x

Então:

^1 2

(^1)  +  p 2

 = 0 ⇔ 11 + p = 0

⇔ p = – Como –11  N 0 , então não existe termo inde- pendente de x.

27. Termo geral:

n (^) Cp ( 2  x ) n – p –^ 

p

= n^ Cp ( 2 ) n^ –^ p^ ( x ) n^ –^ p^ (–1) p^ ( 2 )–^ p^ ( y )–^ p^ =

= n^ Cp ( 2 ) n^ – 2 p^ (–1) p^ x y

Então:

^ n^ – 2

^ p = 3 n – p = 6 n = 10 ⇔ ⇔

• ^ p 2

 = –2 p = 4 p = 4 Logo, n = 10.

28. As comissões formadas têm de ter alunos de

ambos os sexos. Então, existem duas possibilidades mutuamente exclusivas: escolher duas raparigas e um rapaz ou escolher dois rapazes e uma rapariga. 15 × 13 C 2 é o número de maneiras distintas de escolher aleatoriamente uma das 15 raparigas e, para cada uma destas, escolher aleatoriamente dois dos 13 rapazes. 13 × 15 C 2 é o número de maneiras distintas de escolher aleatoriamente um dos 13 rapazes e, para cada uma destas, escolher aleatoriamente duas das 15 raparigas.

1 ±^ ^1 ^ +^4 ^ ×^21 ^0 

11 –^ p 2 ^ p 2 ^11 2

^ p 2 ^11 2

^1

 2  y 

^ p 2 ^ n^ –^ p 2 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎧⎨⎩  N 0

Assim, 15 × 13 C 2 + 13 × 15 C 2 é uma resposta cor- reta. Por outro lado, 28 C 3 é o número de maneiras de escolher aleatoriamente três dos 28 alunos da turma, independentemente do sexo. (^13) C 3 é o número de maneiras de escolher aleato- riamente três dos 13 rapazes. (^15) C 3 é o número de maneiras de escolher aleato- riamente três das 15 raparigas. Se ao número de maneiras de escolhermos três pessoas retirarmos o número de maneiras de escolher três raparigas e o número de maneiras de escolher três rapazes, obtemos o número de maneiras de escolher comissões de três pessoas formadas por pessoas de ambos os sexos. Assim, 28 C 3 – 13 C 3 – 15 C 3 também é uma resposta correta.

29. 64 C 10 é o número de maneiras de colocar aleato-

riamente as 10 peças brancas em 10 das 64 casas do tabuleiro. Por cada uma destas maneiras, há 54 C 12 maneiras de colocar aleatoriamente as 12 peças pretas em 12 das restantes 54 casas do tabuleiro. Assim, 64 C 10 × 54 C 12 é uma resposta correta. (^64) C 22 é o número de maneiras de escolher aleato- riamente 22 das 64 casas do tabuleiro onde se vão colocar as 22 peças. Para cada uma destas maneiras, há 22 C 10 manei- ras de escolher aleatoriamente 10 das 22 casas para colocar as 10 peças brancas, ficando as peças pretas nas restantes 12 casas. Assim, (^64) C 22 × 22 C 10 é também uma resposta correta.

30.1. A resposta correta é a II. Depois de preenchida a primeira linha com as quatro peças azuis, é preciso colocar as restan- tes 12 peças, das quais nove são amarelas e três têm cores diferentes. (^12) C 3 é o número de maneiras de escolher aleato- riamente três das 12 posições possíveis. Para cada uma destas maneiras, há 3! maneiras de colocar de forma ordenada as três peças de cores diferentes nas três posições escolhidas. Assim, 12 C 3 × 3! é uma resposta correta. (^12) A 3 é o número de maneiras de escolher ordena- damente três das 12 posições possíveis para colocar as peças de cores diferentes. As peças amarelas ficarão nas restantes nove posições. Assim, 12 A 3 é uma resposta correta.

30.2. Pelo menos uma das diagonais tem de ficar preenchida por peças amarelas. Então, ou fica uma das duas diagonais ou ficam ambas preenchidas por peças amarelas. Preenchendo apenas uma das diagonais com peças amarelas, sobram cinco peças amarelas e doze posições onde se podem colocar estas peças. (^12) C 5 é o número de maneiras de colocar aleato- riamente as cinco peças amarelas restantes nas doze posições possíveis. Para cada uma destas maneiras, há 7 A 3 de colocar ordenadamente as três peças de cores diferentes nas sete posições que sobram (16 – 4 – 5 = 7). As peças restantes são todas da mesma cor e ficam nas posições que restam. Como há duas diagonais, então 2 × 12 C 5 × 7 A 3 é o número de maneiras diferentes de ocupar pelo menos uma das diagonais com peças amarelas. No entanto, 2 × 12 C 5 × 7 A 3 contabilizou o dobro das vezes o caso em que ambas as diagonais ficam preenchidas em simultâneo por peças amarelas.Logo, é necessário subtrair o número de maneiras de preencher as duas diagonais em simultâneo com peças amarelas. Se se preencherem as duas diagonais com peças amarelas, restam quatro peças azuis e quatro peças de cores diferentes para colocar nas oito posições restantes. (^8) C 4 é o número de maneiras de colocar aleato- riamente as quatro peças azuis em quatro dos oito lugares restantes. Para cada uma destas maneiras, há 4! maneiras de colocar as restantes peças de quatro cores diferentes nos quatro lugares restantes. Assim, 8 C 4 × 4! é o número de maneiras de preencher as duas diagonais em simultâneo com peças amarelas. Então, 2 × 12 C 5 × 7 A 3 – 8 C 4 × 4! é uma resposta correta ao problema.

6.1. P = = ^1

6.2. P = 

4 C 2 ×

!^ ×^ 3!= ^3

7. Sejam A e B os acontecimentos:

A : ‘‘Ser comprado ao fornecedor A.’’ B : ‘‘Estar impróprio para vender.’’ P ( A ) = 0, P ( B | A ) = 0, P ( B | A ) = 0,

P ( A ^ | B ) = =

8. P ( A ) × P ( B | A ) × P ( C | ( A ∩ B )) =

= P ( A ) × × =

= P ( A ∩ B ) × =

= P ( A ∩ B ∩ C )

9. P ( B | A ) = ^1

 ⇔ = ^1

⇔ P ( B ∩ A ) = ^1

 × ^3

⇔ P ( A ∩ B ) = 

P ( B^ | A ) = ^4 7

 ⇔ = ^4

⇔ P ( A ∪ B ) = ^4 7

 × ^1

⇔ 1 – P ( A ∪ B ) = ^1

⇔ P ( A ∪ B ) = ^6

P ( A ∪ B ) = ^6

 ⇔ P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) = ^6

⇔ ^3

 + P ( B ) – 

 = ^6

⇔ P ( B ) = 

 ⇔ P ( B ) = 

P ( A | B ) = = = 

10. Sejam A e B os acontecimentos:

A : ‘‘A Elsa tem um jogo melhor.’’ B : ‘‘A Elsa aumenta a aposta.’’

P ( A | B ) = =

= ^6

11. Sejam A , B , C e D os acontecimentos:

A : ‘‘Ser produzido pela máquina A.’’ B : ‘‘Ser produzido pela máquina B.’’ C : ‘‘Ser produzido pela máquina C.’’ D : ‘‘Apresentar defeito.’’

P ( A ) = P ( B ) P ( C ) = 2 P ( A ) P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) = 1 ⇔ P ( A ) + P ( A ) + 2 P ( A ) = 1

⇔ P ( A ) = ^1 4

P ( B ) = ^1

P ( C ) = ^1

P ( D | A ) = 0,

P ( D | B ) = 0,

P ( D | C ) = 0,

7 C 3 × 9 C 2 + 7 C 4 × 9 C 1 + 7 C 5

C 5

P ( A  ∩  B )  P ( B )

0,65^ ×^ 0,

0,35 × 0,91 + 0,65 × 0,

^ P ( B^ ∩^ A )

P ( A )

P ( C ∩ ( A ∩ B ))

P ( A ∩ B )

^ P ( C^ ∩^ A^ ∩^ B )

P ( A ∩ B )

^ P ( B^ ∩^ A )

P ( A )

^ P ( A ^ ∩^  B ) P ( A )

^ P ( A^ ∩^ B )

P ( B )

^ P ( A^ ∩^ B )

P ( B )

0,4^ ×^ 0,

0,4 × 0,9 + 0,6 × 0,

0,

0,

A

A 

0,

0, 0,

0,

B

B  B

B 

0,

0,

A

A 

0,

0, 0,

0,

B

B  B

B 

^14 

^14 

^12 

A

B

C

0,

0, 0,

0, 0,

0,

D

D  D

D  D

D 

11.1. P ( D ) = ^1 4

 × 0,97 + ^1

 × 0,96 + ^1

 × 0,95 = ^3

11.2. P ( A |  D ) = =

11.3. P ( D ) = ^1

 × 0,03 + ^1

 × 0,04 + ^1

 × 0,05 = 

P ( A ) × P ( D ) = ^1

 × 

P ( A ∩ D ) = ^1

 × 0,03 =

Como P ( A ) × P ( D ) ≠ P ( A ∩ D ), então os aconteci- mentos A e D não são acontecimentos indepen- dentes.

12. Sejam A , B e C os acontecimentos:

A : ‘‘O André passa no exame de condução.’’ B : ‘‘A Bárbara passa no exame de condução.’’ C : ‘‘A Catarina passa no exame de condução.’’

12.1. P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) × P ( B ) × P ( C ) =

= ^4 5

 × ^5

 × ^2

= ^4

12.2. P ( A  ∩ B ∩ C ) = P ( A ) × P ( B ) × P ( C ) =

= ^1 5

 × ^5

 × ^2

= ^1

12.3. 1 – P ( A ^ ∩ B ^ ∩ C ) = 1 – P ( A ) × P ( B ) × P ( C ) =

= 1 – ^1 5

 × ^1

 × ^1

= ^8

12.4. P ( A  ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩  B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) =

= ^1 5

 × ^5

 × ^2

 + ^4

 × ^1

 × ^2

 + ^4

 × ^5

 × ^1

= ^1

13.1. P = ^3

 = ^1

13.2. P = ^1

 = ^2

13.3. P = 0

13.4. P = 

 = ^1

P = = = ^4

15. P ({ a }) = P ({ b }) = ^1

P ({ c }) = P ({ d }) = P ({ e }) = P ({ f }) = =  1

P ( A ) = ^1

 = ^1

P ( B ) = ^1

 = ^1

P ( C ) = ^1

 = ^1

P ( A ) × P ( B ) × P ( C ) = ^1

 × ^1

 × ^1

 = ^1

P ( A ∩ B ∩ C ) = P ({ a }) = ^1 8

Logo, P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) × P ( B ) × P ( C ).

P ( A ) × P ( B ) = ^1 2

 × ^1

 = ^1

P ( A ∩ B ) = P ({ a , c }) = ^1 8

Como P ( A ) × P ( B ) ≠ P ( A ∩ B ), os acontecimentos A e B não são independentes.

P ( A ) × P ( C ) = ^1

 × ^1

 = ^1

P ( A ∩ C ) = P ({ a , d }) =

= ^1 8

Como P ( A ) × P ( C ) ≠ P ( A ∩ C ), os acontecimentos A e C não são independentes.

P ( B ) × P ( C ) = ^1

 × ^1

 = ^1

P ( B ∩ C ) = P ({ a , e }) = ^1 8

Como P ( B ) × P ( C ) ≠ P ( B ∩ C ), os acontecimentos B e C não são independentes.

^1

 × 0,

^1

 × 0,97 + ^1

 × 0,96 + ^1

 × 0,

^3

1 – 2 × ^1

^12

1 2 3 4 5 6 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

3.2. Tem-se que: –1 ≤ cos n ≤ 1, ∀ n  N Assim: –1 ≤ – cosn ≤ 1, ∀ n  N ⇔ 1 ≤ 2 – cosn ≤ 3, ∀ n  N

⇔  n +

 ≤ ^ 2 –

n

c

o 3

s^ n ≤  n +

, ∀ n  N

Como lim  n +

 = 0 e lim  n +

 = 0, então, pelo

teorema das sucessões enquadradas, lim ^ 2 – n

c

o 3

s^ n = 0.

3.3. Tem-se que: 0 ≤ cos 2 n ≤ 1, ∀ n  N Como 3 – 2 n < 0, se n > 1, então:

≤ ≤ 0, ∀ n > 1

teorema das sucessões enquadradas,

lim = 0.

4.1. Para qualquer x  R \ {0}, tem-se que:

–1 ≤ cos (^)  x

 (^2)  ≤ 1

⇔ – x^2 ≤ x^2 cos (^)  x

 (^2)  ≤ x 2

Como lim x → 0 (– x^2 ) = 0 e lim x → 0 x^2 = 0, então, pelo teo- rema das funções enquadradas, conclui-se que

lim x → 0 x^2 cos (^)  x

 (^2)  = 0.

4.2. Para qualquer x  R \ {0}, tem-se que:

–1 ≤ sen (^) ^ 2 + x

 x  ≤ 1

⇔ – x^2 ≤ x^2 sen (^) ^ 2 + x

 x  ≤^ x

2

Como lim x → 0 (– x^2 ) = 0 e lim x → 0 x^2 = 0, então, pelo teo- rema das funções enquadradas, conclui-se que

lim x → 0 x^2 sen (^) ^ 2 + x

 x  = 0.

4.3. Para qualquer x  R, tem-se que:

–1 ≤ –cos (x) ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 – cosx ≤ 2

teorema das funções enquadradas, conclui-se que

x lim → + = 0.

4.4. Para qualquer x  R, tem-se que: 0 ≤ cos^2 x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 1 + cos^2 x ≤ 2 ⇔ ^1 2

1 + c

os 2 x

⇔ ^3

x ^2 ≤  1 +

c

x o

2 s^2 x

≤ 3 x^2

Como lim x → 0 ^3 2

x ^2 = 0 e lim x → 0 (3 x

(^2) ) = 0, então, pelo

teorema das funções enquadradas, conclui-se

que lim x → 0  1 +

c

x o

2 s^2 x

4.5. Para qualquer x  R \ {1}, tem-se que:

–1 ≤ sen (^)  x –

 ≤ 1

⇔ ^1

 ≤ 2sen^ ^ ≤ 2

⇔ ^ ( x^ – 2

1)^2 ≤ ( x – 1)^2 2 sen^ ^ ≤ 2( x – 1)^2

Como lim x → 1 ^ ( x^ – 2

1)^2 = 0 e lim x → 1 [2( x^ – 1)

2 ] = 0,

então, pelo teorema das funções enquadradas,

conclui-se que lim x → 1 ( x – 1)^2

sen  = 0.

4.6. Para qualquer x  R \ {0}, tem-se que: –1 ≤ sen x ≤ 1 ⇔ x^2 – 1 ≤ x^2 + sen x ≤ x^2 + 1

⇔ ^ x

2 2 x

2 ^1 ≤ ^ x^2 + 2

s x

e 2 n^ x ≤ ^ x^2 2 x

2

^1

Como lim x → + ^ x

2 2 x

2 ^1 = lim x → + =^ 

 e

x lim → + ^ x

2 2 x

2 ^1 = lim x → + =^ 

, então, pelo

teorema das funções enquadradas, conclui-se

que lim x → + ^ x

s x

e 2 n^ x  =^ 

5.1. Seja (a (^) n) a sucessão de termo gerala (^) n =  3

n n

A sucessão (a (^) n ) é monótona decrescente, uma vez que:

cos^2 n 3 – 2 n

^ cos^2 n 3 – 2 n

^1 x – 1

x

x

^1 x – 1

^1 x – 1

^1

3 – 2 n

1 – cos  x x^2 + 2

^2

x^2 + 2

1 – cos  x x^2 + 2

Como lim 0 = 0 e lim = 0, então, pelo

^1

3 – 2 n

Como lim x → + 0 = 0 e lim x → + = 0, então, pelo

^2

x^2 + 2

an + 1 – an =  3

n n

n n

(3 n + 5

(3 n + 2)

< 0, ∀ n  N

Um majorante dos termos desta sucessão é

a1 = ^2 5

Por outro lado:

 3

n n

 = ^1

3(3 n

> ^1

, ∀ n  N

Cálculo auxiliar n + 1 3 n + 2

• n – ^23   31 

^1 3



Então, ^1 3

n n

 ≤ ^2

, ∀ n  N e





n < (^)  3

n n



n ≤ (^) ^2 5



n , ∀ n  N.

Como lim (^) ^1 3



n = 0 e lim (^) ^2 5



n = 0, então, pelo teorema das sucessões enquadradas,

lim (^)  3

n n



n = 0.

5.2.  n  +  1 –  n  = =

Tem-se que:

 n  + 1 ≥  n , ∀ n  N

Assim:

 n  + 1 +  n  ≥ 2 n , ∀ n  N

Então:

Como lim 0 = 0 e lim = 0, então, pelo teo-

rema das sucessões enquadradas, lim ( n  + 1 –  n ) = 0.

5.3. Tem-se que: –1 ≤ senn ≤ 1, ∀ n  N e 0 ≤ cos^2 n ≤ 1, ∀ n  N Assim: –1 ≤ senn + cos^2 n ≤ 2, ∀ n  N ⇔ – n^2 ≤n^2 (senn + cos^2 n) ≤ 2n^2 , ∀ n  N

⇔  n^3

• n

2 1

n^3

2 n

2 1

, ∀ n  N

lim  n^3

2 n

2 1

 = lim = 0, então, pelo teo-

rema das sucessões enquadradas,

lim = 0.

n ∑ k = 1

n

n 2

k

n

n 2

n

n 2

n

n 2

n

Como  n

n 2

n

n 2

n

n 2

n

, então:

n

n 2

n

n 2

n

n 2

n

n

n 2

n

n 2

n

n 2

 =n ×  n

n 2

( n

n

n )

( n

n

n

• 1

Por outro lado:

 n

n 2

n

n 2

n

n 2

n

n

n 2

n

n

n 2

n

n

n 2

n

 =n ×  n

n 2

n

 = ^ n n

n n

) = ^ n n

^1

Assim:  n

n

• 1

n ∑ k = 1

n

n 2

k

 < ^ n n

^1 , ∀ n  N \ {1}

Como lim ^ n n

^1 = lim = 1 e

das sucessões enquadradas, lim

n ∑ k = 1

n

n 2

k

6.1. No intervalo ]–1, +[, a função é contínua por se encontrar definida por uma função racional, em que o denominador não se anula. No intervalo ]–, –1[, a função é contínua por se encontrar definida pelo quociente entre duas fun- ções contínuas, em que o denominador não se anula.

( n^ + 2)(3 n^ + 2) – ( n^ + 1)(3 n^ + 5) (3 n + 5)(3 n + 2)

^3 n^2 + 8 n^ + 4 – 3 n^2 – 8 n^ – 5 (3 n + 5)(3 n + 2)

( n ^ +^1 –^  n )( n ^ +^1 +^  n )

 n  + 1 +  n 

^1

 n  + 1 +  n 

^1

2  n 

^ n^2 (sen^ n^ + cos^2 n ) n^3 + 1

^2

n +  n

^ n^2 (sen^ n^ + cos^2 n ) n^3 + 1

1 + ^1

n

1 – ^1

n

^ n^ + 1 –^ n

 n  + 1 +  n 

0 ≤ ≤ , ∀ n  N

^1

 n  + 1 +  n 

^1

2  n 

Como lim  n^3

• n

2 1

 = lim –1 = 0 e n +  n

lim  n

n

• 1

 = lim ^1 = 1, então, pelo teorema 1 – ^1 n

10.2. g( x ) = x^4 – 6 x^2

Dg = R g’( x ) = 4 x^3 – 12 x g’’( x ) = 12 x^2 – 12 g’’( x ) = 0 ⇔ 12 x^2 – 12 = 0 ⇔ 12( x – 1)( x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = –

g(–1) = 1 – 6 = – g(1) = 1 – 6 = – O gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo em ]–1, 1[ e tem a concavidade voltada para cima em ]–, –1[ e em ]1, +[; apresenta dois pontos de inflexão de coordenadas (–1, –5) e (1, –5).

10.3. h( x ) =  x^2

x

2 1

Dh = R \ {–1, 1}

h’( x ) = =  ( x^2

2 x 1)^2

h’’( x ) = =

x^2

x^2

h’’( x ) ≠ 0, ∀ x  R \ {–1, 1}

O gráfico de h tem a concavidade voltada para baixo em ]–1, 1[ e tem a concavidade voltada para cima em ]–, –1[ e em ]1, + [; não apresen- ta pontos de inflexão.

10.4. i( x ) = ^ x

3 x

2

^1

Di = R \ {0}

i’( x ) = = ^ x

4 x

4 ^2 x = ^ x^3 x

3

^2

i’’( x ) = = ^ – x^6

^ x^2 = –  x

i’’( x ) ≠ 0, ∀ x  R \ {0}

O gráfico de i tem a concavidade voltada para baixo em ]–, 0[ e em ]0, +[; não apresenta pontos de inflexão.

10.5. j( x ) =  x

x

Dj = R \ {–1} j’( x ) = ^ x^ + (

x +

x )^2

( x +

1)^2

j’’( x ) = ^ – (

×

x

x )

4

( x +

1)^3

j’’( x ) ≠ 0, ∀ x  R \ {–1}

O gráfico de j tem a concavidade voltada para cima em ]–, –1[ e tem a concavidade voltada para baixo em ]–1, +[; não apresenta pontos de inflexão.

10.6. k( x ) = (^) ^ x x

^2



2

Dk = R \ {3}

k’( x ) = 2 × ^ x x

^2 × ^ x^ – (

x

x )^2

+ 2)= ^ –

( x

x 3

)^3

k’’( x ) = =

= ^10

( x

x 3

)^4

k’’( x ) = 0 ⇔ x = – ^9 2

k (^) – ^9 2

 = ^1 9

^2 x ( x^2 – 1) –^ x^2 ×^2 x ( x^2 – 1)^2

–2( x^2 – 1)^2 – (–2 x )2( x^2 – 1)2 x ( x^2 – 1)^4

( x^2 – 1)[–2( x^2 – 1) + 8 x^2 ] ( x^2 – 1)^4

^3 x^2 ×^ x^2 – 2 x ( x^3 – 1) x^4

^3 x^2 ×^ x^3 – ( x^3 + 2)3 x^2 x^6

–10( x^ – 3)^3 + 10( x^ + 2)3( x^ – 3)^2 ( x – 3)^6

( x^ – 3)^2 [–10( x^ – 3) + 30( x^ + 2)] ( x – 3)^6

x (^) –  –1 1 +

Sinal de g ’’ + 0 – 0 + Sentido das concavidades do gráfico de g

∪ P.I. ∩ P.I. ∪

x (^) –  –1 1 +

Sinal de h ’’ + n.d. – n.d. + Sentido das concavidades do gráfico de h

∪ n.d. ∩ n.d. ∪

x (^) –  0 +

Sinal de i ’’ – n.d. – Sentido das concavidades do gráfico de i

∩ n.d. ∩

x (^) –  –1 +

Sinal de j ’’ + n.d. – Sentido das concavidades do gráfico de j

∪ n.d. ∩

x (^) –  – ^9 2 ^3 + Sinal de k ’’ – 0 + n.d. + Sentido das concavidades do gráfico de k

∩ P.I. ∪ n.d. ∪

O gráfico de k tem a concavidade voltada para

baixo em – , – ^9 2

 e tem a concavidade voltada

para cima em – ^9 2

, 3 e em ]3, + [; apresenta

um ponto de inflexão de coordenadas (^) – ^9 2

, ^1

.

10.7. l( x ) =  x^2 + 1

Dl = R

l’( x ) = ^1 2

 ( x^2 + 1) –^ × 2 x =

l’’( x ) = =

l’’( x ) > 0, ∀ x  R O gráfico de l tem a concavidade voltada para cima em R; não apresenta pontos de inflexão.

10.8. m( x ) =  x^2

x 9

Dm = R \ {–3, 3}

m’( x ) = = ^ – (

x^2

x^2

)^2

^7

m’’( x ) = =

= ^6

x x

2

x^2

)^3

m’’( x ) = 0 ⇔ x = 0

m(0) = 0

O gráfico de m tem a concavidade voltada para baixo em ]–, –3[ e em ]0, 3[ e tem a concavidade voltada para cima em ]–3, 0[ e em ]3, +[; apre- senta um ponto de inflexão de coordenadas (0, 0).

10.9. n( x ) =  x

x 2

2

D (^) n = R

n’’( x ) = =

= ^6

( x

2

x 3

2 

n’’( x ) = 0 ⇔ ^6 ( x

2

x 3

2 = 0

⇔ x = ∨ x = –

n– (^)  = – ^1 2

O gráfico de n tem a concavidade voltada para

baixo em – , – e em , + e

tem a concavidade voltada para cima em

• , ; apresenta dois pontos de

 , –^ 

.

10.10. o( x ) = x^2

3 x

3 1

D (^) o = R \ {–1, 1}

o’( x ) = = ^3 ( x

x 2

4

x 2

2 

o’’( x ) = =

x

x 2

3

3 ^ x =

= ^6

x x

2

x

3

^1 2  x

 x ^2 + 1

 x ^2 + 1 – x × 

 x^2 +

x

x^2 + 1

3( x^2 – 9) – 3 x^ ×^2 x ( x^2 – 9)^2

–6 x ( x^2 – 9)^2 – (–3 x^2 – 27)^ ×^ 2( x^2 – 9)2 x ( x^2 – 9)^4

( x^2 – 9)[–6 x ( x^2 – 9) + 4 x (3 x^2 + 27)] ( x^2 – 9)^4

^2 x (–3 x^2 + 27 + 6 x^2 + 54) ( x^2 – 9)^3

16( x^2 + 4)^2 – 16 x^ ×^ 2( x^2 + 4)2 x ( x^2 + 4)^4

^2 ^3 

^2 ^3 

^2 ^3 

^2 ^3 

^2 ^3 

^2 ^3 

^2 ^3 

^2 ^3 

^9 x^2 ( x^2 – 1) – 3 x^3 ×^2 x ( x^2 – 1)^2

(12 x^3 – 18 x )( x^2 – 1)^2 – (3 x^4 – 9 x^2 )2( x^2 – 1)2 x ( x^2 – 1)^4

x (^) –  –3 0 3 +

6 x ( x^2 + 27) – – – 0 + + +

( x^2 – 9)^3 + 0 – – – 0 +

Sinal de m ’’ – n.d. + 0 – n.d. + Sentido das concavidades do gráfico de m

∩ n.d. ∪ P.I. ∩ n.d. ∪

x –  +

Sinal de n ’’ – 0 + 0 – Sentido das concavidades do gráfico de n

∩ P.I. ∪ P.I. ∩

• ^2  33  ^2  33 

x

n’( x ) = =  ( x^2

6 x 4)^2

2 x ( x  (^2) + 4) – ( x (^2) – 4)2 x  ( x^2 + 4)^2

= 16( x =

(^2) + 4) – 64 x 2  ( x^2 + 4)^3

^1

( x^2 + 1) x^2 + 1

n  = – ^1 2

^2 ^3 ^ 

inflexão de coordenadas (^) – , – ^1 2 ^2 ^3 ^  e 3

(12 x^3 – 18 x )( x^2 – 1) – (3 x^4 – 9 x^2 )4 x ( x^2 – 1)^3

12.2. f( x ) × f’’( x ) > 0

C.S. = ]–, –1[ ∪ ]2, +[

12.3. f’’( x ) × f’( x ) ≥ 0

C.S. = – ^1

, 0 ∪ ^1

, 1 ∪ ^3

13. f( x ) = 

x^2

2 x

2 1

Df = R

f’( x ) = =  ( x^2

x

1. 2

= ^ –

x^2

2 x

2 1

)^3

^4

f’’( x ) = 0 ⇔ ^ – (

x^2

2 x

2 1

)^3

^4 = 0

⇔ x = – ∨ x =

Sinal de f ’’ - 0 + 0 - Variação de f ’ Mín. Má x.

A função derivada tem máximo relativo em x =.

x lim → – ^ f’( x ) = lim x → –   ( x^2

x 1)^2

= lim x → –  ^4 x^4

^ x = lim x → –   x

x lim → +^ f’( x ) = lim x → +  ( x^2

x 1)^2

= lim x → + ^4 x^4

^ x = lim x → +  x

Logo, a função f ’ tem máximo absoluto em

x =.

Assim, o declive da reta tangente ao gráfico de f atinge o seu valor máximo no ponto de abcissa

.

f  = = = ^1 2

Como o ponto de coordenadas (^)  , ^1 2

 perten- ce a esta reta, tem-se:

^1 2

 = × +b ⇔ b = – ^1 4

Assim, a equação pedida é:

y = x – ^1 4

14. a(t) = –5t^2 + 100t + 1500

14.1. a’(t) = –10t + 100

a’(t) = 0 ⇔ –10t + 100 = 0 ⇔ t = 10

a (10) = –5 × 100 + 100 × 10 + 1500 = 2000 A altura máxima atingida pelo projétil foi 2000 metros.

14.2. t.m.v.[0, 5] = ^ a ( 5

a 0

(0)= ^ 1875 –

^1500 = 75

A velocidade média do projétil nos primeiros 5 segundos foi 75 m/s.

^4 x ( x^2 + 1) – 2 x^2 ×^2 x ( x^2 + 1)^2

4( x^2 + 1) – 16 x^2 ( x^2 + 1)^3

^ ^3 

^ ^3 

^ ^3 

^ ^3 

^ ^3 

2 × ^1

^1

(^2) 



2







2

• 1

^ ^3 

^ ^3 

^ ^3 

^3 ^3 

^3 ^3 

x (^) –  –1 0 1 2 +

Sentido das concavidades do gráfico de f

∪ ∪ ∪ P.I. ∩ P.I. ∪ ∪ ∪

Sinal de f ’’ + + + 0 – 0 + + +

Sinal de f + 0 – 0 + 0 – 0 +

Sinal de f ’’ × f + 0 – 0 – 0 – 0 +

x (^) –  – ^1 2 ^0 

1 2  Sinal de f ’ – 0 + + + 0

Sinal de f ’’ + + + 0 – –

Sinal de f ’’ × f ’ – 0 + 0 – 0

x (^) 1 ^3 2 ^ + Sinal de f ’ – – – 0 +

Sinal de f ’’ – 0 + + +

Sinal de f ’’ × f ’ + 0 – 0 +

x (^) –  +

Sinal de f ’’ – 0 + 0 –

Variação de f ’ Mín. Má x.

•  33  ^  33 

→

→ →

f’’( x ) = 4( x =

(^2) + 1) (^2) – 4 x × 2( x (^2) + 1)2 x  ( x^2 + 1)^4

f’ ^ ^3   = = = 3

4 × 





2

• 1

2





2

= ^4 ^3 ^ ×^9 =

16 × 3

^3 ^3 

A equação pedida é da forma y = ^3 ^3  x +b.

t 0 10 +

Sinal de a ’ + 0 –

Variação de a (^) → Máx. →

14.3. a ( t ) = 0 ⇔ –5 t^2 + 100 t + 1500 = 0

⇔ t =

⇔ t = ^100 1

^200

⇔ t = 30 ∨ t = – Como t ≥ 0, então t = 30, ou seja, o projétil atin- giu o solo ao fim de 30 segundos. a ’( t ) = –10 t + 100 a ’(30) = –10 × 30 + 100 = – A velocidade do projétil quando atingiu o solo foi –200m/s.

14.4. ^ a ’( 5

a 0

’(0)= ^ 50 –

^100 = –

A aceleração média nos primeiros cinco segun- dos foi –10 m/s^2.

14.5. a ’’( t ) = –

a ’’(5) = – A aceleração no instante t = 5 foi –10 m/s 2.

15. f ( x ) = x^3 + ax^2 – 2 x + 1

f ’( x ) = 3 x^2 + 2 ax – 2 f ’’( x ) = 6 x + 2 a f ’’( x ) = 0 ⇔ 6 x + 2 a = 0 ⇔ x = – ^ a 3

Logo, – ^ a 3

 = 1 ⇔ a = –3.

16.1. f ( x ) = x^3 – 2 x^2 – x + 2

Domínio D (^) f = R Zeros f ( x ) = 0 ⇔ x^3 – 2 x^2 – x + 2 = 0 Divisores inteiros de 2: –2, –1, 1, 2 f (2) = 8 – 8 – 2 + 2 = 0 f (1) = 1 – 2 – 1 + 2 = 0 f (–1) = –1 – 2 + 1 + 2 = 0 Logo, f ( x ) = 0 ⇔ x = –1 ∨ x = 1 ∨ x = 2.

Intervalos de monotonia e extremos f ’( x ) = 3 x^2 – 4 x – 1 f ’( x ) = 0 ⇔ 3 x^2 – 4 x – 1 = 0

⇔ x =

⇔ x = ∨ x =

f   =

A função f é estritamente crescente em

• , e em , + e é estrita-

tem máximo relativo em x = e tem

Sentido das concavidades e pontos de inflexão do gráfico de f f ’’( x ) = 6 x – 4 f ’’( x ) = 0 ⇔ 6 x – 4 = 0 ⇔ x = ^2 3

f ^2 3

 = ^2 2

O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em – , ^2 3

 e tem a concavidade voltada

para cima em ^2 3

, + ; o ponto de coordenadas



, ^2

 é ponto de inflexão do gráfico de f.

Assíntotas ao gráfico de f A função f é contínua no seu domínio, R, por se tratar de uma função polinomial, logo o seu gráfi- co não admite assíntotas verticais.

• lim x → –  ^ f ( x

x ) = lim x → –  

x^3 – 2 x^2 x

^ –^ x^ + 2=

= lim x → –  ^ x x

3  =

= lim x → –  x^2 = + O gráfico de f não admite assíntotas não verticais quando x → – .

–100 ±^ ^1 ^0 ^0 ^2 +^20 ^ ×^15 ^0 ^0 

4 ±^ ^1 ^6 ^ +^12 

2 –^ ^7 

2 +^ ^7 

2 –^ ^7 

20 + 14^7 

2 –^ ^7 

2 +^ ^7

2 –^ ^7 

x (^) –  +

Sinal de f ’ + 0 – 0 +

Variação de f Máx. Mín.

2 –^ ^7  3 2 +^ ^7  3

→

→ →

x (^) –  ^2 3 ^ + Sinal de f ’’ – 0 + Sentido das concavidades do gráfico de f

∩ P.I. ∪

⇔ x = 4 ± 2^7

f  2 +^ ^7   = 3

20 – 14^7

mente decrescente em 2 –^ ^7  , ;

2 +^ ^7 

mínimo relativo em 2 +^ ^7 .