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TC
TURNO DATA //___^ MATEMÁTICA
ALUNO(A) TURMA
Nº
PROFESSOR(A) DAVI^ LOPES JU
OLIMPÍADA SEDE
Alturas, Ortocentro e Reta de Euler de um Triângulo
Davi Lopes
1. Introdução:
Continuando nosso estudo, vejamos o quarto ponto notável do triângulo: o ortocentro (os outros três são o baricentro, o circuncentro e o incentro). Dessa vez, não estudaremos apenas o ortocentro de um modo isolado, mas vamos misturar fatos sobre ortocentro, baricentro, circuncentro e muito mais!
2. Alturas dum Triângulo e Ortocentro
Definição de Altura: Dado um triângulo, definimos altura como sendo a reta que passa por um vértice do triângulo e é perpendicular ao lado oposto. Nas figuras abaixo, AD é altura (note que, no último caso, a altura está fora do triângulo ABC ).
Como é de praxe, vamos mostrar que:
Teorema 1: As três alturas de um triângulo são concorrentes, e tal ponto de concorrência se chama o ortocentro do triângulo (representado por H ).
Demonstração: Vamos fazer a demonstração deste e de todos os outros teoremas aqui apenas para o triângulo acutângulo. No entanto, vale ressaltar que a demonstração para o triângulo obtusângulo é totalmente análoga, com a diferença no cálculo de expressões de ângulos (ângulos que valem x podem passar a valer 180° − 𝑥).
Então vamos lá! Seja ∠𝐻𝐴𝐶 = 𝛼 e ∠𝐻𝐶𝐴 = 𝛽. Então, como BFEC é inscritível (∠𝐵𝐹𝐶 = ∠𝐵𝐸𝐶 = 90°), então ∠𝐻𝐵𝐴 = 𝛽 e como ABCE 1 é inscritível, ∠𝐴𝐶𝐸 1 = 𝛽.
Agora, olhando o triângulo HCE 1 , vemos que CE é bissetriz e altura. Logo, ele é eixo de simetria. Assim, temos que ∠𝐸 1 𝐴𝐸 = ∠𝐸𝐴𝐻 = 𝛼.
Olhando o quadrilátero ABCE 1, temos que ∠𝐻𝐵𝐷 = 𝛼. Mas ∠𝐵𝐻𝐷 = ∠𝐴𝐻𝐸 = 90° − 𝛼. Assim, ∠𝐻𝐷𝐵 = 180° − ∠𝐵𝐻𝐷 − ∠𝐻𝐵𝐷 = 180° − (90° − 𝛼) − 𝛼 = 90°
Portanto, 𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶, ou seja, AD é altura. Assim as três alturas são concorrentes∎
Ainda olhando a figura acima, provemos o:
Teorema 2: o simétrico do ortocentro em relação a cada um dos lados está no circuncírculo do triângulo.
Demonstração: Vamos apenas provar que o simétrico de H em relação a BC é o ponto D 1. Se provarmos esse caso, por analogia segue que E 1 e F 1 são os simétricos de H em relação a CA e AB , respectivamente.
Como BDEA é inscritível (∠𝐵𝐷𝐴 = ∠𝐵𝐸𝐴 = 90°), ∠𝐻𝐵𝐷 = 𝛼 e como ABD 1 C é inscritível, ∠𝐷𝐵𝐷 1 = 𝛼. Logo, ∠𝐻𝐵𝐷 = ∠𝐷𝐵𝐷 1 e como 𝐵𝐷 ⊥ 𝐻𝐷 1 , temos que BD é bissetriz e altura do triângulo HBD 1. Logo, ele também é mediana. Daí, 𝐻𝐷 = 𝐷𝐷 1 e 𝐻𝐷 1 ⊥ 𝐷𝐷 1 , donde D 1 é o simétrico de H relativo a BC , como queríamos provar ∎
Temos que ainda observar que, dependendo dos ângulos do triângulo, o ortocentro pode estar dentro dele ou não:
Se o triângulo ABC for acutângulo, então o ortocentro está dentro do triângulo;
Se o triângulo ABC for retângulo, então o ortocentro irá coincidir com o ângulo reto;
Observe que 𝑀𝑎𝑀𝑏 ∥ 𝐴𝐵 (base média), 𝑂𝑀𝑏 ∥ 𝐵𝐻 (𝑂𝑀𝑏 ⊥ 𝐴𝐶 e 𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐶) e 𝑂𝑀𝑎 ∥ 𝐴𝐻 (𝑂𝑀𝑎 ⊥ 𝐵𝐶 e 𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶). Devido a esses paralelismos, temos que os triângulos AHB e OMbMa são
semelhantes (Verifique isso! A dica é olhar ângulos). Então, da semelhança: 𝐴𝐻 𝑂𝑀𝑎^ =^
𝐴𝐵 𝑀𝑎𝑀𝑏^ = 2 ⇒ 𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀𝑎 ∎
Bem, vamos usar o teorema 3 para provar outro belo teorema da Geometria Plana (Esse também foi descoberto por Euler (1707-1783), considerado o maior matemático de todos os tempos. Ele contribuiu em praticamente todas as áreas, e você ainda vai ver de novo e de novo seu nome em diversas ocasiões)
Teorema 4 (A Reta de Euler): Em todo triângulo, o ortocentro, o baricentro e o circuncentro são colineares. Além disso, 𝐻𝐺 = 2𝐺𝑂.
Demonstração: Na figura, seja G a interseção de HO e AMa. Para o ortocentro H e o circuncentro O serem colineares com o baricentro, temos que provar que G é o baricentro de ABC, pois AMa já é mediana, e isso ocorre se, e somente se 𝐴𝐺 = 2𝐺𝑀𝑎. Isso é simples!
Como 𝐴𝐻 ∥ 𝑂𝑀𝑎, então os triângulos AHG e MaOG são semelhantes. Daí, pelo teorema 3:
𝐴𝐻 𝑂𝑀𝑎
Portanto G é o baricentro, como queríamos demonstrar. Para provar que 𝐻𝐺 = 2𝐺𝑂, basta usar
semelhança novamente: 𝐴𝐻 𝑂𝑀𝑎^ =^
𝐻𝐺 𝐺𝑂 ⇒ 2 =^
𝐻𝐺 𝐺𝑂 ⇒ 𝐻𝐺 = 2𝐺𝑂 ∎
4. Ortocentro e Circuncentro: Os Dois Conjugados Isogonais
Você já ouviu falar de conjugado isogonal? Não? Conjugados isogonais são extremamente poderosos para se obter igualdades de ângulos difíceis de imaginar com métodos de geometria plana usual. No entanto, vamos ver apenas o básico sobre essas maravilhas do triângulo.
Definição de Ceviana: Ceviana é toda reta que parte de um vértice e encontra o lado oposto em algum ponto (Interna ou externamente ao lado).
Nas figuras abaixo, AD é uma ceviana que parte do vértice A e encontra o lado BC (ou sua reta suporte, como no caso da segunda figura).
Agora que já sabemos o que é ceviana, definamos:
Definição de Ceviana Isogonal: Dada uma ceviana 𝑎 partindo de um vértice A de um triângulo ABC , definimos a ceviana isogonal 𝑎′^ de a sendo a ceviana obtida a partir da reflexão de a em relação à bissetriz interna de A.
As duas figuras abaixo representam as cevianas isogonais AD’ e AD , obtidas das figuras acima.
Um fato importante, mas que não demonstraremos aqui é o seguinte:
Teorema 5: Três cevianas que partem cada uma de um vértice de um triângulo ABC são concorrentes se, e somente se, suas cevianas isogonais são concorrentes.
Se P é o ponto de concorrência das cevianas AD, BE, CF da figura abaixo, e P ’ é o ponto de concorrência das três cevianas isogonais AD’, BE’, CF’ , então dizemos que P e P’ são dois pontos conjugados isogonais.
Teorema 7: Seja ABC um triângulo, Γ seu circuncírculo, H seu ortocentro e D o ponto médio de BC. A reta HD toca o arco 𝐵𝐶̂de Γ que não contém A em P. Então
(A) 𝐻𝐷 = 𝐷𝑃; (B) AP é diâmetro de Γ;
Demonstração: Seja P 1 o outro ponto de interseção de AH com Γ. Como, do teorema 2, P 1 é o simétrico de H relativo a BC , então ∠𝐻𝐷𝐶 = ∠𝐶𝐷𝑃 1 e 𝐻𝐷 = 𝐷𝑃 1. E como ∠𝐻𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐷𝑃, então ∠𝐵𝐷𝑃 = ∠𝐶𝐷𝑃 1.
Mas D é o ponto médio de BC. Então, podemos ver a simetria entre as retas DP e DP 1 , devido ao fato de que o arco 𝐵𝐶̂ é simétrico e ∠𝐵𝐷𝑃 = ∠𝐶𝐷𝑃 1. Então, pela simetria, temos que 𝐷𝑃 = 𝐷𝑃 1 , e como 𝐻𝐷 = 𝐷𝑃 1 , então 𝐻𝐷 = 𝐷𝑃, e o item (A) está provado.
Para provar (B), basta ver que, como 𝐻𝐷 = 𝐷𝑃 1 = 𝑃𝐷, então o triângulo HP 1 P é retângulo em P 1. Assim, ∠𝐴𝑃𝑃 1 = 90° e portanto AP é diâmetro de Γ ∎
Exercícios
- (Teste Cone Sul/1999) Seja ABCD um paralelogramo, H o ortocentro do triângulo ABD e O é o circuncentro do triângulo BCD. Prove que os pontos H, O e C são colineares.
- (OBM) Em um triângulo acutângulo ABC o ângulo interno de vértice A mede 30°. Os pontos B 1 e C 1 são os pés das alturas traçadas por B e C , respectivamente e os pontos B 2 e C 2 são médios dos lados AC e AB , respectivamente. Mostre que os segmentos B 1 C 2 e B 2 C 1 são perpendiculares.
- (OBM) Na triângulo ABC isósceles (𝐴𝐵 = 𝐵𝐶), I é o encontro das bissetrizes e H é o encontro das alturas. Sabe-se que ∠𝐻𝐴𝐼 = ∠𝐻𝐵𝐶 = 𝛼. Determine o valor do ângulo 𝛼.
- Considere um triângulo ABC com altura BH , bissetriz BI e mediana BM , onde 𝐻, 𝐼, 𝑀 ∈ 𝐴𝐶̅̅̅̅. Sejam P e Q os pés das perpendiculares baixadas de A e C até BI. Prove que o quadrilátero 𝐻𝐷𝑀𝑄 é cíclico.
- É dado um triângulo ABC , com ∠𝐴 = 60°. Sejam O e H seus circuncentro e ortocentro, respectivamente. Prove que os pontos B, C, O e H são concíclicos.
- (OBM/2006) Seja ABC um triângulo acutângulo e H o seu ortocentro. Sejam M , N e R os pontos médios de AB , BC e AH , respectivamente. Determine a medida do ângulo MN ˆ R se o ângulo AB ˆ C mede 70o.
- (Rússia/1995) Os pontos 𝐴 2 , 𝐵 2 , 𝐶 2 são os pontos médios das alturas 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵 1 , 𝐶𝐶 1 de um
triângulo acutângulo ABC. Ache a soma dos ângulos ∠𝐵 2 𝐴 1 𝐶 2 , ∠𝐶 2 𝐵 1 𝐴 2 e ∠𝐴 2 𝐶 1 𝐵 2.
- (Índia/1998) No triângulo ABC , sejam 𝐴𝐾, 𝐵𝐿 e 𝐶𝑀 as alturas e H o ortocentro. Seja P o ponto
médio de AH. Se BH e MK se intersectam em S e LP e AM se intersectam em T , prove que TS é perpendicular a BC.
- Seja H o ortocentro de um triângulo ABC e P o ponto diametralmente oposto a B na
circunferência circunscrita a ABC Prove que AHCP é um paralelogramo.
- Sejam M, N, P os pontos médios dos lados de um triângulo acutângulo ABC de circuncentro O.
Prolongue MO, NO e PO, a partir de O , até X, Y, Z, respectivamente, tais que MX, NY e PZ tenham comprimentos respectivamente iguais às metades das alturas do triângulo a partir dos vértices A, B e C. Prove que o triângulo XYZ é semelhante ao triângulo órtico de ABC (Triângulo órtico de ABC é aquele que é formado pelos pés das perpendiculares das alturas de ABC ).
- (Ibero/1999) Um triângulo acutângulo ABC está inscrito numa circunferência de centro O. As
alturas do triângulo são AD, BE e CF. A reta EF intersecta a circunferência em P e Q. (a) Prove que AO é perpendicular a PQ ; (b) Se M é o ponto médio de BC , prove que 𝐴𝑃² = 2𝐴𝐷. 𝑂𝑀;
- (Eslovênia/2000) Seja H o ortocentro de um triângulo acutângulo ABC com 𝐴𝐶 ≠ 𝐵𝐶. A reta
que passa pelos pontos médios de AB e HC intersecta a bissetriz do ângulo ∠𝐴𝐶𝐵 no ponto D. A reta HD passa pelo circuncentro de ABC. Determine a medida do ângulo ∠𝐴𝐶𝐵.
- É dado um triângulo ABC com ∠𝐴 = 60°. Sejam O o circuncentro, I o incentro e H o
ortocentro de ABC. (a) Prove que o triângulo OIH é isósceles; (b) Prove que uma das bissetrizes do ângulo entre as duas alturas traçadas dos vértices B e C passa por O ;
- (Torneio das Cidades/1988) Uma mediana, uma bissetriz e uma altura de um certo triângulo
interceptam-se em um ponto interior O. O segmento da bissetriz do vértice ao ponto O é igual ao segmento da altura do vértice ao ponto O. Prove que o triângulo é equilátero.
- (OBM/2004) Sejam H , I e O o ortocentro, o incentro e o circuncentro do triângulo ABC ,
respectivamente. A reta CI corta o circuncírculo de ABC no ponto L , distinto de C. Sabe-se que AB = IL e AH = OH. Determine os ângulos do triângulo ABC.
- Seja ABC um triângulo acutângulo. Três retas 𝑙𝑎, 𝑙𝑏, 𝑙𝑐 são construídas através dos vértices A,
B, C , respectivamente, da seguinte maneira: seja H o pé da altura traçada de A e BC. E seja 𝑆𝑎 o círculo com diâmetro AH. 𝑆𝑎 toca os lados AB e AC em M, e N, respectivamente, onde M e N são distintos de A. Então 𝑙𝑎 é a reta através de A perpendicular a MN. As retas 𝑙𝑏 e 𝑙𝑐 são construídas analogamente. Prove que 𝑙𝑎, 𝑙𝑏 e 𝑙𝑐 são concorrentes.
- (Balcânica/1990) Seja 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 o triângulo órtico do triângulo não-equilátero 𝐴𝐵𝐶. Sejam
𝐴 2 , 𝐵 2 , 𝐶 2 os pontos onde o incírculo do triângulo 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 toca os lados do triângulo 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1. Prove que as retas de Euler dos triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴 2 𝐵 2 𝐶 2 coincidem.
- (Austrália) Seja ABC um triângulo e P um ponto no seu interior tal que ∠𝑃𝐴𝐶 = ∠𝑃𝐵𝐶. Sejam
L e M os pés das perpendiculares por P aos lados BC e AC. Se D é o ponto médio do lado AB , prove que 𝐷𝐿 = 𝐷𝑀.
- (OBM/2008) Seja ABC um triângulo acutângulo e O, H seu circuncentro, ortocentro,
respectivamente. Sabendo que
