Geometria Espacial: Cilindros, Resumos de Matemática

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GEOMETRIA ESPACIAL

CILINDROS

Profo^ Haroldo Aires

4 de julho de 2018

IFPA Campus Bel´em

GEOMETRIA ESPACIAL

3. Cilindros

Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um c´ırculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles te- nha um extremo pertencente ao c´ırculo C e o outro extremo pertencente a β.

A reuni˜ao de todos esses segmentos de reta ´e um s´olido chamado de cilindro circular, limitado de bases C e C ou simplesmente cilindro circular.

3.1. Cilindro Reto ou de Revolu¸c˜ao

E o s´^ ´ olido obtido da rota¸c˜ao de um retˆangulo ao redor de um dos seus lados.

No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ˆangulo de 90o. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz ´e a altura do cilindro.

3.2. Elementos e Classifica¸c˜ao

• Os c´ırculos congruentes situados em planos pa- ralelos s˜ao as bases do cilindro;
• A geratriz g ´e todo segmento com uma extremi- dade em um ponto da circunferˆencia de centro O e raio r e outra no ponto correspondente da circunferˆencia de centro O′^ e raio r;
• A altura h de um cilindro ´e a distˆancia entre os planos das bases;
• A sec¸c˜ao meridiana de um cilindro ´e a in- terse¸c˜ao deste com um plano que inclui o eixo. Essa sec¸c˜ao ser´a um paralelogramo se o cilin- dro for obl´ıquo. Se o cilindro for reto, ent˜ao a sua sec¸c˜ao meridiana ser´a um retˆangulo.
• Se as geratrizes s˜ao obl´ıquas aos planos das ba- ses, o cilindro e dito cilindro circular obl´ıquo, mas se s˜ao perpendiculares aos planos das ba- ses, temos um cilindro circular reto ou de re- volu¸c˜ao.

4.3. Cilindro Equil´atero Um cilindro ´e dito equil´atero se a sua sec¸c˜ao me- ridiana ´e um quadrado, ou seja, a altura ´e igual ao diˆametro da base (h = 2r).

Obs.: A ´area da sec¸c˜ao meridiana ´e ASM = 2rh.

IFPA Campus Bel´em

5. (UEFS) Uma quantidade de ´oleo ocupa uma lata cil´ındrica at´e uma altura de 12cm. Transferindo- se o ´oleo para outra lata, tamb´em cil´ındrica, com raio igual a 1,4 vezes o raio da primeira, a altura alcan¸cada, nesse segundo recipiente, mede, aproxi- madamente, em cm: (a) 6,1 (b) 7,5 (c) 8,0 (d) 9,5 (e) 10,

6. Uma bobina de papel para a fabrica¸c˜ao de jornal tem a forma cil´ındrica. Sabendo que essa bobina tem 102cm de diˆametro por 137cm de comprimento, qual a quantidade m´ınima (´area) de papel utilizado para embalar cada um desses rolos cil´ındricos? (Use π = 3, 14.)

7. (UA-AM) Um copo de vidro com formato de um cilindro circular reto, cujo diˆametro interno mede 4cm, est´a cheio de um l´ıquido at´e a borda. Inclinando esse copo, despeja-se o l´ıquido nele contido at´e que atinja a marca que dista da borda^16 π cm. O volume do l´ıquido despejado ´e:

(a) 36cm^3 (b) 16cm^3 (c) 64cm^3 (d) 32cm^3 (e) 80cm^3

8. (Cefet-SP) A figura indica o tambor cil´ındrico de um aquecedor solar com capacidade de 1570 litros.

Sabendo que 1000 litros de ´agua ocupam um volume de 1m^3 e adotado π = 3, 14, determine a medida do raio r do cilindro.

9. (UFPE) Aumentando-se o raio de um cilindro em 10% e diminuindo-se sua altura em 10%, pode- mos afirmar que: (a) A ´area total do cilindro aumenta em 10,5%. (b) O volume do cilindro aumenta em 33,1%. (c) A ´area de uma das bases do cilindro aumenta em 21%. (d) A ´area lateral do cilindro n˜ao varia. (e) A soma do raio da base do cilindro com sua altura permanece inalterada.

10. (Mackenzie) 20% do volume de um cilindro de raio 2 ´e 24π. A altura do cilindro ´e: (a) 30 (b) 15 (c) 20 (d) 6 (e) 12

11. (ENEM) Em muitas regi˜oes do Estado do Ama- zonas, o volume de madeira de uma ´arvore cortada ´e avaliado de acordo com uma pr´atica dessas regi˜oes: I - D´a-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante. II - O barbante ´e dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento (um quarto do inicial) ´e medido com fita m´etrica. III - O valor obtido com essa medida ´e multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo compri- mento do tronco. Esse ´e o volume estimado de ma- deira. Outra estimativa pode ser obtida pelo c´ılculo for- mal do volume do tronco, considerando-se um cilin- dro perfeito. A diferen¸ca entre essas medidas ´e pra- ticamente equivalente `as perdas de madeira no pro- cesso de corte para comercializa¸c˜ao. Pode-se afirmar que essas perdas s˜ao da ordem de: (a) 30% (b) 22% (c) 15% (d) 12% (e) 5%