geometria plana e alguns complementos, Exercícios de Matemática

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GEOMETRIA PLANA - FUVEST

Triângulos ......................................................................................................................................................

Teorema de Tales...........................................................................................................................................

Semelhança de Triângulos ...........................................................................................................................

Pontos Notáveis ...........................................................................................................................................

Triângulos Retângulos .................................................................................................................................

Triângulos

01. (Fuvest/96) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em graus, do ângulo 3 é:

a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100

02. (FGV) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r // u. O valor em graus de ( 2 x  3 y )é:

a) 64º b) 500º c) 520º d) 660º e) 580º

03. (FGV/04) Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s.

Assinale o valor de

a) 30° b) 50° c) 40° d) 70° e) 60°

07. (Fuvest/81) Na figura AB  BD  CD. Então:

a) y  3 x b) y  2 x c) x  y  180 º d) x  y e) 3 x  2 y

08. (Fuvest/97) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de   é

a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220

09. (Fuvest) Um triângulo ABC tem ângulos A ˆ^  40 ºe B ˆ^  50 º. Qual é o ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo? a) 30º° b) 45º° c) 60º° d) 90º° e) 120º°

10. Na figura, BC é a bissetriz do ângulo OCD ˆ. Determine o valor de .

a) 40º b) 35º c) 60º d) 30º e) 45º

11. (Fuvest/98) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm. A área do triângulo, em cm^2 , é

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

12. (Fuvest/77) Num triângulo ABC, os ângulos B ˆe C ˆ medem 50º e 70º, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta BC ângulos proporcionais a: a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 4 d) 4 e 5 e) 5 e 6 13. (Fuvest/79) Num triângulo isósceles um ângulo A mede 100º. Qual o ângulo formado pelas alturas que não passam pelo vértice A? 14. (UFC/10) Dois dos ângulos internos de um triângulo têm medidas iguais a 30º° e 105º. Sabendo que o lado oposto ao ângulo de medida 105º mede ( 3  1 ) cm, é correto afirmar que a área do triângulo mede, em cm^2 :

a)^3 2  b)^3 2  c)^3 2  d) 1 3 2  e) 2  3

15. Na figura AB  BC  CD  DE e BAC ˆ^  15 º, então calcule CDE ˆ.

20. (Fuvest/01) Na figura abaixo, a reta r é paralela ao segmento AC , sendo E o ponto de intersecção de r com a reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é 21, então a área do triângulo BCE é:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

21. (Fuvest/02) Na figura abaixo, os triângulos ABC e DCE são eqüiláteros de lado , com B , C e E colineares. Seja F a intersecção de (^) BD com (^) AC. Então, a área do triângulo BCF é:

a)^32 8

b)^32 6

c)^32 3

d)^5 6

e)^2 3

22. (OBM) No retângulo ABCD , E é o ponto médio do lado BC e F é o ponto médio do lado CD. A interseção de DE com FB é G. O ângulo EAF ˆ mede 20o. Quanto vale o ângulo EGB ˆ?

23. (UEL/03) A bandeira de um time de futebol tem o formato de um retângulo MNPQ. Os pontos A, B e C dividem o lado MN em quatro partes iguais. Os triângulos PMA e PCB são coloridos com uma determinada cor C 1 , o triângulo PAB com uma cor C 2 e o restante da bandeira com uma cor C 3. Sabe-se que as cores C 1 , C 2 e C 3 são diferentes entre si. Que porcentagem da bandeira é ocupada pela cor C 1?

a) 12,5% b) 15% c) 22,5% d) 25% e) 26,5%

24. (UERJ/93) Na triângulo ABC da figura abaixo, os pontos D e Edividem o lado AB em três lados iguais e os pontos F, G e H dividem o lado BC em quatro partes iguais.

A razão entre as áreas dos triângulos DEF e ABC vale:

a)^1 3

b)^1 4

c)^1 7

d)^1 12

e)^1 15

25. (UECE/07) As retas r e s são paralelas, a distância entre elas é 7 m e o segmento AB , com A  r e B  r , é perpendicular a r. Se P e um ponto em AB tal que o segmento AP mede 3 m e X e Y são pontos em r e s , respectivamente, de modo que o ângulo XPY ˆ mede 90º, a menor área possível do triângulo XPY , em m^2 , é a) 21 b) 16 c) 14 d) 12

29. Para a instalação de luz elétrica no quarteirão de um loteamento, serão colocados quatro postes, A, B, C e D, como indica a figura abaixo. Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e a distância AD corresponde a 180 m, é certo afirmar que a distância entre os postes A e B corresponde a: a) 50 m b) 52 m c) 54 m d) 56 m e) 58 m 30. Na figura a seguir ABCD é um retângulo e PQ é a bissetriz interna do ângulo P ˆdo  DPC. Sabe-se que AD  DQ e que as medidas estão indicadas em centímetros. Qual é o perímetro do retângulo ABCD? 31. (CN/98) Na figura abaixo, DE é paralelo a BC e AM é bissetriz interna do triângulo ABC. Então x  y é igual a

a) 15 b) 30 c) 20 d) 35 e) 25

32. Considere um triângulo ABC isósceles, com A ˆ^  36 ºe B ˆ^  C ˆ 72 º. A bissetriz de B ˆ intercepta o lado AC em D, tal que DC  1. Calcule o valor de AC.

33. (FGV/05) Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20 cm, AB = 15 cm e BC = 14 cm.

Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente QR AR é igual a a) 0,3 b) 0,35 c) 0,4 d) 0,45 e) 0,

34. (Mack) Na figura temos r//r’ e s//s’. Então, para todo a  1 , o valor da abscissa x é:

a) 2 a b) a^2 c) (^) ( a 1)^2 d) a  1 e) a  1

35. (Fuvest/04) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB  5 , BC  4 e AC  2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB ˆ e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN. 36. No triângulo ABC, o lado AC e a mediatriz do segmento BC se encontram no ponto D, e a reta BD é bissetriz de ABC. Se AD  9 e DC  7 , qual a área do triângulo ABD? a) 14 b) 21 c) 28 d) 14 5 e) 28 5

40. (Fuvest/03) O triângulo A BC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG , cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b , é dada pela fórmula:

a) bh h  b

b)^2 bh h  b

c) 2

bh h  b

d) 2

bh h  b

e) 2 ( )

bh h  b

41. (Fuvest/98) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB , P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é

a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16

42. (UFRGS/01) Considere a figura abaixo.

Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e AD  1 , AF  2 e FB  x , então x vale a)   1 2 b) 1 c) 2 d) 1  2 e) 2

43. (Fuvest/79) Na figura, no triângulo ABC é retângulo em A , ADEF é um quadrado, AB  1 e AC  3. Quanto mede o lado do quadrado?

a) 0,70 b) 0,75 c) 0,80 d) 0,85 e) 0,

44. (Fuvest/00) Na figura abaixo, ABC é um triângulo isósceles e retângulo em A e PQRS é um quadrado de lado

. Então, a medida do lado AB é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

47. (Fuvest/77) Dados: MBC ˆ  BAC ˆ , AB  3 , BC  2 , AC  4. Então MC é igual a:

a) 3,5 b) 2 c) 1,5 d) 1 e) 0,

48. (Fuvest/94) ABCD é um trapézio; BC = 2, BD = 4 e o ângulo ABC ˆ é reto.

a) Calcule a área do triângulo ACD. b) Determine AB sabendo que BV = 3 VD.

49. (Fuvest/97) No papel quadriculado da figura a seguir, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado hachurado. DE é paralelo a BC.

Para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC , a medida de AD , na unidade adotada, é

a) 4 2 b) 4 c) 3 3 d)^8 3

e)^7 2

50. (Fuvest/07) A figura representa um retângulo ABCD , com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE  1 , e F é o ponto de interseção da diagonal AC com o segmento BE.

Então a área do triângulo BCF vale a) 6/5 b) 5/4 c) 4/3 d) 7/5 e) 3/

51. (Fuvest/04) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha

paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de:

a) 18,8m b) 19,2m c) 19,6m d) 20m e) 20,4m

54. (Fuvest/11) Define-se geometricamente a razão áurea do seguinte modo: O ponto C da figura abaixo divide o segmento AB na razão áurea quando os valores AC/AB e CB/AC são iguais. Esse valor comum é chamado “razão áurea”. A razão áurea, também denominada proporção áurea, número de ouro ou divina proporção, conquistou a imaginação popular e é tema de vários livros e artigos. Em geral, suas propriedades matemáticas estão corretamente enunciadas, mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas. Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas e adquiriram status de senso comum. Mesmo livros de geometria utilizados no ensino médio trazem conceitos incorretos sobre ela. Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky, Misconceptions about the golden ratio, The College Mathematics Journal , 23, 1, january, 1992, pp. 2-19.

a) Reescreva o trecho “(...) mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas”, substituindo a conjunção que o inicia por “embora”, com as devidas alterações. b) O verbo da oração “Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas” está na voz passiva analítica. Reescreva-a com o verbo na voz passiva sintética, fazendo as devidas alterações. c) Na figura presente no espaço destinado à resposta desta questão, o polígono ADEFG é um pentágono regular. Utilize semelhança de triângulos para demonstrar que o ponto C da figura divide o segmento AB na razão áurea.

55. (Fuvest/07) Na figura abaixo, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo OÂB mede 120º, AO = 3 e AB =

2. Sabendo-se ainda que a área do triângulo OCD vale 600 3 ,

a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD.

56. (Fuvest/08) No retângulo ABCD da figura tem-se CD  e AD  2. Além disso, o ponto E pertence à diagonal BD , o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF , então (^) BF mede

a) 2 8 b) 2 4 c) 2 2 d) 3 2 4 e) 2

57. (Fuvest) Num triângulo ABC, sejam P e Q pontos sobre BA e BC, respectivamente, de modo que a reta PQ seja paralela à reta AC e a área do trapézio APQC seja o triplo da área do triângulo PQB. a) Qual a razão entre as áreas dos triângulos ABC e PQB? b) Determine a razão AB/PB 58. (Fuvest/87) Na figura, BC é paralela a DE, AB = 4 e BD = 5. Determine a razão entre as área do triângulo ABC e do trapézio BCDE.