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DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Considere-se uma população finita constituída por N elementos distribuídos por duas categorias exclusivas e exaustivas de dimensões M e N – M , respectivamente.
Os elementos da primeira categoria podem ser caracterizados, por exemplo , pela existência de um determinado atributo ou qualidade que os da outra categoria não possuem (por exemplo, peças defeituosas e não- defeituosas). Abreviadamente diz-se que a população é constituída por indivíduos de tipo A e de tipo A. Nestas condições a proporção de elementos de cada uma das
categorias é respectivamente, N
M
p = e N
N M
q
Admita-se agora que desta população se retira uma amostra de n elementos sem reposição (tirar sucessivamente os elementos é equivalente a tirar em bloco). Se, quando se selecciona um elemento, ele for do tipo A diz-se que houve sucesso.
Seja uma v.a. X, definida como o número de elementos do tipo A incluídos na amostra de n elementos. Obviamente X só poderá tomar valores inteiros não-negativos até ao limite definido pelo menor dos seguintes valores: n e M.
NOTA:
- Poderíamos associar a v.a. X à contagem do nº de elementos do tipo A incluídos na amostra. Nesse caso
o limite superior para o valor de X seria definido pelo menor dos valores: n ou N – M.
- A diferença fundamental entre esta distribuição e a binomial, é que agora as experiências não são de Bernoulli. Efectivamente, como os elementos da amostra são retirados sem reposição de uma população finita, a probabilidade de ocorrência de cada um dos resultados possíveis não se mantêm constante de experiência para experiência e os resultados sucessivos deixam de ser independentes.
Em resumo, diz-se que a v.a. discreta X definida como:
X – número de sucessos ocorridos em n extracções sem reposição
tem distribuição hipergeométrica e escreve-se: X ~ h (N,n,p) se a sua função de probabilidade for dada por:
0 outros valores
x 0 , 1 , 2 ,...,min n,N p
n
N
n x
N q x
N p
pX x
N >> n ⇒ 1 N 1
N n ≈ −
e Var ( Y) ≈Var( X)
TEOREMA: A distribuição hipergeométrica (N,n,p) tende para a distribuição binomial (n,p) quando N → ∞.
A aproximação da distribuição hipergeométrica pela binomial é útil, uma vez que o cálculo da função de probabilidade é mais simples no segundo caso, existindo também tabelas já construídas, de fácil consulta e que rapidamente fornecem o valor das probabilidades procuradas.
Como regra prática considera-se que X~h(N,n,p) pode ser aproximada por X~b(n,p) quando N ≥ 10n. Nestas condições, a aproximação é aceitável apenas globalmente, verificando- se diferenças consideráveis para os valores das probabilidades correspondentes às caudas das duas distribuições.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
A distribuição de Poisson permite descrever um vasto conjunto de fenómenos aleatórios em que os acontecimentos se repetem no tempo ou no espaço.
Alguns exemplos de situações que se adequam a uma distribuição de poisson são:
- Número de chamadas telefónicas que chegam, em certo período de tempo, a uma central telefónica.
- Número de avarias que ocorrem numa determinada máquina, num certo intervalo de tempo.
- Número de partículas defeituosas num certo volume de líquido.
- Número de defeitos num dado comprimento de fio produzido por uma determinada máquina.
Em todos os exemplos apresentados verifica-se que há uma característica comum: podem ser descritos por uma v.a. discreta que assuma valores inteiros não negativos. Porém esta característica não é a única exigível.
Considere-se então um fenómeno aleatório cujas ocorrências se repetem ao longo do tempo. Imagine-se que o tempo se encontra dividido numa partição de intervalos de pequena amplitude ∆t.
Ocorrências
t t + ∆t tempo
A variável discreta número de ocorrências por unidade de tempo seguirá uma distribuição de Poisson quando se verificarem as quatro condições seguintes:
i) O número de ocorrências registadas nos intervalos da partição, são independentes entre si.
A partir destas condições e definindo a v.a. X como o número de ocorrências no intervalo [0, t] , pode determinar- se a probabilidade de X = x, a partir de:
x!
t p t e
x t X
λ ⋅ = −λ⋅ ⋅
Esta expressão define a função de probabilidade de uma v.a. X ( X = 0,1,2,... ) com distribuição de Poisson de parâmetro λ.t.
O parâmetro λ.t representa o valor esperado, μX ( t), do
número de ocorrências num intervalo qualquer de dimensão t. Então:
t
λ = μX^ t
corresponde ao número médio de ocorrências por unidade de tempo, ou seja, corresponde à taxa média de ocorrências.
Atendendo ao significado de λ, a função de probabilidade da v.a. X pode escrever-se sob outra forma, expressando-a para um intervalo de tempo ou de espaço de dimensão unitária (neste caso t = 1).
Em resumo, diz-se que a v.a. discreta X definida como:
X – número de ocorrências num dado intervalo de dimensão t
tem distribuição de Poisson e escreve-se: X ~ p (λ) se a sua função de probabilidade for dada por:
⋅λ =
− λ
0 outros valores
x 0 , 1 , 2 ,... x!
e
p x
x
X
O parâmetro que caracteriza esta distribuição é λ ( λ > 0 ) e corresponde ao número médio de ocorrências no respectivo intervalo de tempo.
O valor esperado e a variância para esta distribuição são respectivamente:
E ( X) =λ
Var ( X) =λ
Estas expressões podem ser obtidas pela definição ou
recorrendo à função geradora de momentos, GX (^ t):
∞
=
− λ
x 0
tx tx x X (^) x! G t E e e e
− λ λ⋅ λ⋅^ −^ = ⋅ = e t et^1 e e e
e portanto:
x!
e lim P X x
x
n
⋅ λ = ≈
− λ
→ ∞
isto é, no limite obtém-se a distribuição a distribuição de Poisson de parâmetro λ =n⋅p :
⋅ = λ
→∞
lim b n,p^ p n p
n
O teorema anterior mostra que, se X~b(n,p) , pode obter-se uma aproximação das respectivas probabilidades através da distribuição de Poisson, desde que n seja grande e p pequeno. A aproximação será tanto melhor quanto maior for n e menor for p.
Como regra prática, a aproximação considera-se já satisfatória desde que n ≥ 20 e p ≤ 0,05. Como a distribuição binomial só aparece tabelada para valores de n≤20, utilizar-se-á a aproximação à distribuição de Poisson quando n > 20 desde que p ≤≤≤≤ 0,.
Nota: Como será referido mais adiante, se a distribuição binomial for simétrica ou quase ( n ⋅ p≥ 7 ), é mais prático
aproximar a v.a. binomial (discreta) por uma v.a. normal (contínua).
A tabela seguinte compara os valores das probabilidades quatro v.a. binomiais em que n. p = 1, com os valores obtidos para uma v.a. de Poisson com parâmetro λ = 1.
DISTRIBUIIÇÕES BINOMIAIS POISSON x n = 10p = 1/10^ n = 20p = 1/20^ n = 30 p = 1/300^ n = 100p = 1/100 λ = 1 0 0,3487 0,3585 0,3642 0,3660 0, 1 0,3874 0,3774 0,3716 0,3697 0, 2 0,1937 0,1887 0,1858 0,1849 0, 3 0,0574 0,0596 0,0607 0,0610 0, 4 0,0112 0,0133 0,0145 0,0149 0, 5 0,0015 0,0022 0,0027 0,0029 0, 6 0,0001 0,0003 0,0004 0,0005 0, 7 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0, 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ... ... ... ... ... (^) ... ... (^) ... ... ... ... ...
DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL
A distribuição multinomial representa uma generalização da distribuição binomial, quando numa sucessão de provas independentes há, em cada prova mais de dois resultados possíveis.
As hipóteses subjacentes à distribuição multinomial são análogas às consideradas no caso da distribuição binomial. Considerem-se então n provas (experiências aleatórias) em que:
- Em cada experiência aleatória, existem k resultados possíveis A (^) i ( i = 1,2,...,k ), mutuamente exclusivos.
Em resumo, diz-se que a v.a. discreta multidimensional
( X 1 ,X 2 ,...,Xk), em que:
X i - número de vezes, em n, em que ocorre Ai (i=1,2,...,k)
tem distribuição multinomial e escreve-se:
( X 1 ,X 2 ,...,Xk)~ M(n, p 1 , p 2 , ..., pk)
se a sua função de probabilidade conjunta for dada por:
( ) 1 x^12 x^2 kxk
1 2 k
1 1 2 2 k k x !x !...x !p p ...p P X =x ,X =x ,...,X =x = n!
( xi ≥ 0 )
Os parâmetros que caracterizam esta distribuição são n e pi
( i = 1,2,...,k ) e correspondem respectivamente ao número de vezes que a experiência aleatória é repetida e à probabilidade de ocorrência de um dado A (^) i ( i = 1,2,...,k ).
O parâmetro n é um inteiro positivo e 0 < pi < 1 ,∀i.
O valor esperado, a variância e a covariância para as diferentes variáveis envolvidas são respectivamente:
E ( Xi ) = n⋅pi ( i = 1,2,...,k )
Var ( Xi ) = n⋅pi⋅( 1 −pi) ( i = 1,2,...,k )
Cov ( Xi ,Xj) = −n⋅pi⋅pj ( i ≠ j )
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA GENERALIZADA
Esta distribuição corresponde, tal como o nome indica, a uma generalização da distribuição hipergeométrica. Considere-se então uma população finita constituída por N elementos distribuídos por k categorias exclusivas e exaustivas de dimensão Ni (i = 1,2,...,k). Nestas condições a
proporção de elementos de cada uma das categorias é dada por:
N
N
p (^) i = i
verificando-se que:
∑ =
k
i 1
N (^) i N e portanto, (^) ∑ =
k
i 1
pi 1
Admita-se agora que desta população se retira uma amostra de n elementos sem reposição e definam-se k v.a. do seguinte modo:
X i - número de elementos na amostra pertencentes à categoria i (i=1,2,...,k)
então:
⋅^ ⋅
^ ⋅
n
N
x
N
x
N
x
N
P X x ,X x ,...,X x k
k 2
2 1
1
1 1 2 2 k k
com: xi ≥ 0 x 1 +x 2 +...+xk = n p 1 +p 2 +...+pk = 1
