Baixe Análise de Variáveis Aleatórias Discretas: Uniforme, Bernoulli, Binomial, Poisson e Outras e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Vamos agora analisar em detalhe algumas variáveis aleatórias discretas, nomeadamente:
- Uniforme
- Bernoulli
- binomial
- binomial negativa (ou de Pascal)
- geométrica
- hipergeométrica
- poisson
- multinomial
- hipergeométrica generalizada
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Diz-se que uma v.a. discreta X tem distribuição uniforme se a sua função de probabilidade for dada por:
0 outros valores
x 1 , 2 , 3 ,...,N N
pX x
A v.a. X assume pois um conjunto finito de valores equiprováveis. O parâmetro que caracteriza esta distribuição é N, um valor inteiro positivo qualquer.
O valor esperado e a variância de X são respectivamente:
N 1
E X x pX xi ...
N
x (^) i 1
i
=
Var^ (^ X)^ = E(^ X^2 )^ −[^ E(^ X)]^2 =
^ =
= ∑ ⋅ − ^ +
=
N^2
xi 1
2 i (^2)
N 1
N
x^1
N 1
N N 1 2 N 1
N
+^2
= N^2 −^1
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Sucessão de provas de Bernoulli
Dá-se o nome de provas de Bernoulli a um processo ou experiência caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas seguintes condições:
- em cada prova só há dois resultados possíveis, mutuamente exclusivos, denominados sucesso e insucesso.
- a probabilidade de sucesso , designada por p, mantém- se constante de prova para prova. A probabilidade de insucesso é designada por q = 1 −p.
- as provas são independentes, isto é, os resultados obtidos numa certa prova ou sequência de provas não afectam os resultados da(s) prova(s) subsequente(s).
A distribuição binomial assenta também no conceito de provas de Bernoulli e é sem dúvida uma das distribuições de probabilidade discretas mais largamente utilizada como modelo teórico adequado a uma grande variedade de situações observáveis na prática. Esta distribuição é também importante na teoria da amostragem.
A distribuição binomial aparece associada ao seguinte tipo de problema: determinar a probabilidade de, em n provas de Bernoulli, serem obtidos x sucessos (correspondendo à
realização de um certo acontecimento A) e portanto (((( n −−−− x ))))
insucessos (não realização de A).
A seguinte sucessão de n provas de Bernoulli é uma sucessão favorável ao objectivo em causa:
n provas
insucessos
n x sucessos
x
AAA...A...A AAA...A... A
−
A probabilidade associada a esta sucessão é p x^ qn−^ x.
Reconhece-se facilmente que todas as sucessões favoráveis são
equiprováveis e o seu número é (^)
x
n (as diferentes maneiras de
obter x sucessos – e portanto ( n − x) insucessos – em n provas
de Bernoulli).
Diz-se que a v.a. discreta X definida como:
X – número de sucessos em n provas de Bernoulli
tem distribuição binomial e escreve-se: X ~ b (n,p) se a sua função de probabilidade for dada por:
−
0 outros valores
p 1 p x 0 , 1 , 2 ,...,n x
n
p x
x n x
X
Os parâmetros que caracterizam esta distribuição são n e p. O parâmetro n corresponde ao número de provas de Bernoulli a efectuar, sendo n um inteiro positivo qualquer. O parâmetro p corresponde à probabilidade associada ao sucesso e 0 < p< 1.
Notar que se X ~ b (n,p) então Y = n – X é também binomial mas, Y ~ b (n,q).
O valor esperado e a variância para esta distribuição são respectivamente:
E ( X) =n⋅p
Var (^ X)^ =n⋅p⋅q
Estas expressões podem ser obtidas pela definição ou
recorrendo à função geradora de momentos, GX ( t):
( ) ( ) x ( ) n x
n
x 0
tx tx X (^) x p^1 p
n G t E e e − =
∑ ^ −
- para p < 0,5 a distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda.
- para p > 0,5 a distribuição binomial é assimétrica negativa ou enviesada à direita.
- quanto mais afastado estiver p de 0,5 mais enviesada é a distribuição.
- Mesmo para valores de p diferentes de 0,5 quanto maior for n, mais próxima da simetria estará a distribuição.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA
Considere-se uma sucessão de provas de Bernoulli. Seja a v.a. X – número de provas a realizar, até se obterem k sucessos. Admitamos então que se realizam x provas em que ocorrem k sucessos e portanto (x – k) insucessos; a x-ésima prova é sempre um sucesso. Representando o sucesso por A e o insucesso por A temos o seguinte esquema:
AAAAAA...AA A
x 1 provas
k 1 sucessos
−
−
que salienta o facto de nas primeiras (x – 1) provas ocorrerem ( k – 1 ) sucessos e na x-ésima prova ocorrer sempre o último sucesso pretendido. Este esquema representa apenas uma das maneiras de obter ( k – 1 ) sucessos em ( x – 1 ) provas. O número de maneiras diferentes de obter ( k – 1 ) sucessos em ( x – 1 ) provas é dado por:
( k 1 ) (! x k)!
x 1! k 1
x 1 − −
As probabilidades associadas ao sucesso e ao insucesso são respectivamente:
P(A) = p e P(A ) = 1 – p = q
Em resumo, diz-se que a v.a. discreta X definida como:
X – número de provas a realizar até se obterem k sucessos
tem distribuição binomial negativa e escreve-se: X ~ bn (k,p) se a sua função de probabilidade for dada por:
−
0 outros valores
p 1 p x k,k 1 ,... k 1
x 1
p x
k x^ k
X
Os parâmetros que caracterizam esta distribuição são k e p. O parâmetro k é um inteiro positivo fixado à partida e corresponde ao número de sucessos pretendidos. O parâmetro p corresponde à probabilidade associada ao sucesso e 0 < p< 1.
O valor esperado e a variância para esta distribuição são respectivamente:
X – número de provas a realizar até se obter o primeiro sucesso
tem distribuição geométrica e escreve-se: X ~ g (p) se a sua função de probabilidade for dada por:
p X ( x) = ( 1 −p) x−^1 ⋅p x= 1 , 2 ,...
O parâmetro p corresponde à probabilidade associada ao sucesso e 0 < p< 1.
O valor esperado e a variância para esta distribuição são respectivamente:
p
E X =^1
(^2) p 2
q p
1 p Var X =
Estas expressões podem ser obtidas pela definição ou
recorrendo à função geradora de momentos, GX ( t):
( ) ( ) ( ) x^1
x 1
tx tx G (^) X t E e e p 1 p
∞ −
=
( ) t
t t
t
1 q e
p e 1 e 1 p
p e − ⋅
em que q = 1 −p
(demonstração ...)
