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Funções injetivas e sobrejetivas ... Transformações lineares sobrejetivas ... Se T : V → W é linear e sobrejetiva e G ⊆ V é gerador, então T(G) ⊆ W.
Tipologia: Resumos
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Álgebra Linear – Videoaula 12
Luiz Gustavo Cordeiro
Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática
Uma função f : X → Y é injetiva se para quaisquer x 1 , x 2 ∈ X , tem-se que
se f (x 1 ) = f (x 2 ) então x 1 = x 2.
Equivalentemente, f é injetiva se para quaisquer x 1 , x 2 ∈ X , tem-se que se x 1 6 = x 2 então f (x 1 ) 6 = f (x 2 )
sobrejetiva se para todo y ∈ Y existe x ∈ X tal que f (x) = y. Equivalentemente, f é sobrejetiva se f (X ) = Y.
S sobrejetiva ⇐⇒ S(V ) = W (definição de sobrejetividade) ⇐⇒ im(S) = W (definição de imagem)
Lembre-se: Se W tem dimensão finita, o único subespaço de W de mesma dimensão é ele próprio
S sobrejetiva ⇐⇒ im(S) = W (definição de imagem) ⇐⇒ dim(im(S)) = dim(W ) ⇐⇒ rank(S) = dim(W ).
Se dim(V ) < dim(W ), então não existe nenhuma transformação linear sobrejetiva S : V → W.
(Contra-positiva) Pelo TNI, se S : V → W é sobrejetiva, então
dim(V ) = dim(im(S)) + dim(ker(S)) = dim(W ) + dim(ker(S)) ≥ dim(W )
Seja T : V → W linear. São equivalentes: (^1) T é injetiva (^2) ker(T ) = { (^0) V } (^3) nulidade(T ) = 0 Se V tem dimensão finita, também são equivalentes a (^4) dim(im(T )) = dim(V ).
T injetiva =⇒ ker(T ) = { (^0) V }: Suponha que T é injetiva.
Se x ∈ ker(T ), então T (x) = (^0) W = T ( (^0) V )
Por injetividade, x = (^0) V. Portanto ker(T ) ⊆ { (^0) V }. A inclusão oposta é trivial.
ker(T ) = { (^0) V } ⇐⇒ dim(ker(T )) = 0 ⇐⇒ nulidade(T ) = 0
Se V tem dimensão finita, pelo TNI,
dim(V ) = dim(ker(T )) + dim(im(T ))
e assim,
nulidade(T ) = 0 ⇐⇒ dim(ker(T )) = 0 ⇐⇒ dim(im(T )) = dim(V )
Se dim(V ) > dim(W ), então não existe nenhuma transformação linear injetiva T : V → W
(Contra-positiva) Se T é linear e injetiva,
dim(V ) = dim(im(T )) ≤ dim(W )
T : R^3 → R^4
Considere a transformação linear T : R^3 → R^4 ,
T (x, y , z) = ( 3 y − z, 5 x − y + 10 z, 3 x + 2 y + 6 z, 2 x + 4 z)
ou seja,
x y z
x y z
É sobrejetiva? Não, pois a dimensão do domínio é menor do que a do contra-domínio: dim(R^3 ) < dim(R^4 ) É injetiva? Calculamos o kernel.
T : R^3 → R^4
T (x, y , z) = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) ⇐⇒
3 y − z = 0 5 x − y + 10 z = 0 3 x + 2 y + 6 z = 0 2 x + 4 z = 0 ⇐⇒ x = y = z = 0.
Portanto, ker(T ) = {( 0 , 0 , 0 )}.
Sim, é injetiva.
Note que, pelo TNI,
dim(im(T )) = dim(R^3 ) − dim(ker(T )) = 3 − 0 = 3.
Portanto, im(T ) 6 = R^4 , outra prova de que ela não é sobrejetiva.
S : R^4 → R^3
Escalone a matriz:
(^) −escalona−−−−→
3 pivôs =⇒ 3 vetores na base do espaço coluna/imagem de S =⇒ dim(im(S)) = 3 =⇒ Sobrejetiva.
S : R^4 → R^3
É injetiva? Não, pois a dimensão do domínio é maior do que a do contra-domínio: dim(R^4 ) > dim(R^3 )
Alternativamente, pelo TNI,
dim(ker(S)) = dim(R^4 ) − dim(im(S)) = 4 − 3 = 1 ,
logo ker(S) 6 = { 04 }, e S não é injetiva.
Q : R^3 → R^4
−escalona−−−−→
Uma coluna sem pivô =⇒ O sistema associado tem uma variável livre na solução geral =⇒ O espaço solução/ker(Q) tem dimensão 1 =⇒ Não-injetiva.
