Baixe integração e outras Notas de estudo em PDF para Cultura, somente na Docsity!
Integra¸c˜ao Num´erica
Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia de Computa¸c˜ao e Automa¸c˜ao http://www.dca.ufrn.br/
1 Introdu¸c˜ao
O conceito de integral est´a ligado ao problema de determinar a ´area de uma figura plana qualquer. A defini¸c˜ao da ´area de uma figura plana ´e feita aproximando a figura por pol´ıgonos cujas ´areas podem ser calculados pelos m´etodos de Geometria Elementar. Considerando a defini¸c˜ao da ´area da figura delimitada por uma fun¸c˜ao f (x), pelo eixo das abscissas x e por duas retas x = a e x = b, como ilustrado pela figura 1.
a b x
f (x)
Figura 1: Defini¸c˜ao da ´area delimitada por uma fun¸c˜ao f (x), por um intervalo [a, b] e pelo eixo dos x.
Dividindo este intervalo [a, b] em n subintervalos iguais de comprimento
∆x =
b − a n
onde x 0 = a < x 1 < x 2 <... < xn = b s˜ao os pontos dessa divis˜ao. Em cada um desses intervalos, definem-se os pontos ξ 1 no primeiro, ξ 2 no segundo intervalo, e assim sucessivamente at´e ξn, no ´ultimo intervalo. Dessa forma, ´e poss´ıvel definir uma s´erie de retˆangulos de base ∆x e altura f (ξ 1 ), f (ξ 2 ),.. ., f (ξn) (ver figura 2). A soma das ´areas dos retˆangulos ´e:
Sn =
∑^ n
i=
f (ξi)∆x
x 0 xn x
f (x)
x 1 x 2 x 3 xn− 1
Figura 2: Retˆangulos definidos nos subintervalos de [x 0 = a, xn = b].
Nota-se que este valor Sn ´e, aproximadamente, o valor da ´area delimitada por f (x) e x, no intervalo [a, b]. Se a quantidade de subintervalos cresce tendendo ao infinito, ent˜ao obt´em-se o conceito d integral:
Sn = lim n→∞
∑^ n
i=
f (ξi)∆x =
∫ (^) b
a
f (x) · dx
que ´e chamada de Integral de Riemann. O seu resultado ´e um valor num´erico. Embora haja um conjunto de regras para calcular a chamada fun¸c˜ao primitiva F (x), ou seja:
F (x) =
f (x) · dx
em determinados casos, esta fun¸c˜ao primitiva n˜ao ´e conhecida, ou a sua obten¸c˜ao n˜ao ´e trivial. Al´em disso, em situa¸c˜oes pr´aticas nem sempre se tem a forma anal´ıtica da fun¸c˜ao a ser integrada, f (x), mas ´e disponibilizada uma tabela de pontos que descreve o comportamento da fun¸c˜ao. Assim, para calcular o valor da integral de f (x) considerando estes casos particula- res, torna-se necess´ario a utiliza¸c˜ao de m´etodos num´ericos. A solu¸c˜ao num´erica de uma integral ´e chamada de quadratura. H´a dois m´etodos bastante empregados para calcular a quadratura de uma fun¸c˜ao:
- As f´ormulas de Newton-Cotes, que empregam valores de f (x), onde os valores de x s˜ao igualmente espa¸cados; - Regra dos Trap´ezios; - Regras de Simpson.
- A f´ormula da quadratura gaussiana que utiliza pontos diferentemente espa¸cados.
Este curso abordar´a principalmente as f´ormulas de Newton-Cotes.
2 F´ormulas de Newton-Cotes
Nas f´ormulas de Newton-Cotes a id´eia b´asica ´e a substitui¸c˜ao da fun¸c˜ao f (x) por um polinˆomio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b] em pontos igualmente
x 0 x 1 x
f (x)
Figura 3: Interpreta¸c˜ao gr´afica da Regra dos Trap´ezios.
x 0 xn x
f (x)
x 1 x 2 x 3 xn− 1
Figura 4: Interpreta¸c˜ao gr´afica da Regra dos Trap´ezios repetida.
Exemplo 1 Seja I =
0 e
x (^) · dx, calcular uma aproxima¸c˜ao para I utilizando 10 subin-
tervalos e a regra dos Trap´ezios repetida.
Para 10 subintervalos tem-se um passo h igual a:
h =
b − a n
Dessa forma, como xi+1 = xi + h, ent˜ao:
x 0 = 0. 0 x 1 = 0. 1 x 2 = 0. 2 .. . x 9 = 0. 9 x 10 = 1. 0
Assim: I ∼=
[
e^0 + e^0.^1 + e^0.^2 +... + e^0.^9 + e^1
]
2.2 Primeira Regra de Simpson
Esta primeira regra ´e obtida aproximando-se a fun¸c˜ao f (x) por um polinˆomio inter- polador de segundo grau. Para isto, ser˜ao necess´ario 3 pontos (x 0 = a, x 1 e x 2 = b) igualmente espa¸cados.
f (x) ∼= b 0 p 0 (x) + b 1 p 1 (x) + b 2 p 2 (x)
onde os termos pi(x) s˜ao: p 0 (x) = (x − x 1 )(x − x 2 ) p 1 (x) = (x − x 0 )(x − x 2 ) p 2 (x) = (x − x 0 )(x − x 1 )
e os termos bi s˜ao:
b 0 =
f (x 0 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
b 1 =
f (x 1 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
b 2 =
f (x 2 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 ) Dessa forma, tem-se que a f´ormula geral para a Primeira Regra de Simpson ´e obtida atrav´es de: ∫ (^) x 2
x 0
f (x) · dx ∼= b 0
∫ (^) x 2
x 0
p 0 (x) · dx + b 1
∫ (^) x 2
x 0
p 1 (x) · dx + b 2
∫ (^) x 2
x 0
p 2 (x) · dx
Resolvendo estas integrais e, depois, substituindo x 1 = x 0 +h e x 2 = x 0 +2h, a f´ormula geral fica igual a: (^) ∫ b
a
f (x) · dx ∼=
h 3
[f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )]
cuja interpreta¸c˜ao significa que os pontos x 0 , x 1 e x 2 s˜ao interpolados pelo polinˆomio de Lagrange de segundo grau.
Exemplo 2 Seja f (x) uma fun¸c˜ao conhecida apenas nos pontos tabelados a seguir. Uti-
lizando a primeira regra de Simpson, encontrar uma aproxima¸c˜ao para
2 f^ (x)^ ·^ dx. i xi f (xi) 0 2. 0 41 1 3. 0 130 2 4. 0 297
Como, neste caso, o espa¸camento h ´e igual a 1, ent˜ao: ∫ (^4)
2
f (x) · dx ∼=
[f (2.0) + 4f (3.0) + f (4.0)]
∼= 1 3
[41 + 4 · 130 + 297] = 286
Da mesma forma como foi realizado com a Regra dos Trap´ezios, deve-se subdividir o intervalo de integra¸c˜ao [a, b] em n subintervalos iguais de amplitude h e, a cada par de
e os termos bi s˜ao:
b 0 =
f (x 0 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )(x 0 − x 3 )
b 1 =
f (x 1 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )(x 1 − x 3 )
b 2 =
f (x 2 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3 )
b 3 =
f (x 3 ) (x 3 − x 0 )(x 3 − x 1 )(x 3 − x 2 ) Assim: ∫ (^) b
a
f (x) · dx ∼= b 0
∫ (^) b
a
p 0 (x) · dx + b 1
∫ (^) b
a
p 1 (x) · dx + b 2
∫ (^) b
a
p 2 (x) · dx + b 3
∫ (^) b
a
p 3 (x) · dx (1)
Como utiliza-se um polinˆomio de terceiro grau, ent˜ao s˜ao necess´arios quatro pontos a serem interpolados: x 0 = a x 1 = x 0 + h x 2 = x 0 + 2h x 3 = x 0 + 3h = b
Fazendo a integra¸c˜ao indicada pela aproxima¸c˜ao 1 e substituindo os termos dados pelas equa¸c˜oes 2, ent˜ao fica-se com a seguinte f´ormula geral para a Segunda Regra de Simpson: (^) ∫ x 3 =b
x 0 =a
f (x) · dx ∼=
3 h 8
[f (x 0 ) + 3f (x 1 ) + 3f (x 2 ) + f (x 3 )]
Esta segunda regra tamb´em ´e conhecida como a Regra dos 3/8. Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos, onde n dever´a ser m´ultiplo de 3, tem-se a seguinte f´ormula para a aplica¸c˜ao repetida:
∫ (^) xn
x 0
f (x) · dx ∼=
3 h 8
[f (x 0 ) + 3f (x 1 ) + 3f (x 2 ) + 2f (x 3 )+
- 3f (x 4 ) + 3f (x 5 ) + 2f (x 6 ) +... +
- 3f (xn− 2 ) + 3f (xn− 1 ) + f (xn)]
Exemplo 4 Calcular o valor da integral
I =
1
ln
x^3 +
ex^ + 1
· dx
aplicando a regra dos 3 / 8 com 3 e 9 subintervalos.
Para 3 subintervalos, tem-se que h = 4 − 3 1 = 1. Assim:
x 0 = 1 → f (1) = 1. 0744 x 1 = 1 + 1 = 2 → f (2) = 2. 3884 x 2 = 2 + 1 = 3 → f (3) = 3. 4529 x 3 = 3 + 1 = 4 → f (4) = 4. 2691
Portanto:
I ∼=
[1.0744 + 3 · 2 .3884 + 3 · 3 .4529 + 4.2691] = 8. 5753
Para 9 subintervalos, tem-se que:
h =
Pode-se construir uma tabela utilizando este h e x 0 = a = 1, resultando em:
i xi f (xi) 0 1 1. 0744 1 4 / 3 1. 5173 2 5 / 3 1. 9655 3 2 2. 3884 4 7 / 3 2. 7768 5 8 / 3 3. 1305 6 3 3. 4529 7 10 / 3 3. 7477 8 11 / 3 4. 0187 9 4 4. 2691
Aplicando a f´ormula da segunda regra de Simpson repetida, tem-se:
I ∼=
3 h 8
[f (x 0 ) + 3f (x 1 ) + 3f (x 2 ) + 2f (x 3 ) + 3f (x 4 ) + 3f (x 5 ) + 2f (x 6 )+
- 3f (x 7 ) + 3f (x 8 ) + f (x 9 )]
Por fim, substituindo os valores correspondentes, o resultado ´e I ∼= 8.5619.
3 Exerc´ıcios
- Calcular os valores das integrais a seguir utilizando a Regra dos Trap´ezios.
(a)
0
cos x x+1 ·^ dx; (b)
4
1 x^2 ·^ dx; e (c)
3 (3x^ + 2)^ ·^ dx.
- Dada a fun¸c˜ao y = f (x) atrav´es da tabela a seguir, calcular o valor de I =
0 f^ (x)·dx utilizando a Regra dos Trap´ezios.
i xi yi 0 0. 0 5. 021 1 0. 5 6. 146 2 1. 0 6. 630 3 1. 5 6. 940 4 2. 0 7. 178 5 2. 5 7. 364 6 3. 0 7. 519
