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EXPLORANDO AS INTEGRAIS IMPRÓPRIAS: CONCEITOS E APLICAÇÕES
Heloisa Stefany Dos Santos Matheus De Assis Ebani
Introdução
No ensino médio para acharmos a imagem de uma função substituímos um
valor determinado e então achamos o gráfico da função em si, entretanto, ao
olharmos para o cálculo a situação é um pouco diferente, porque algumas vezes
que substituímos um valor determinado na função o resultado poderá ser 0/0, o que
é chamado de indeterminação na matemática. Algo que não pode ser resolvido da
maneira convencional, daí a necessidade do limite que torna a função próxima
daquele resultado em questão, mas podemos definir isso mais especificamente
como uma expressão matemática envolvendo 0, 1 e infinito, a função em questão é
obtida pela aplicação de um teorema do limite algébrico, no processo de tentativa de
determinar um limite, mas que falha ao restringir esse limite a um valor específico
ou infinito.
Também podemos dissertar sobre algo um pouco mais avançado no quesito
do cálculo, que são as integrais impróprias. São integrais definidas que cobrem uma
área ilimitada; são integrais que têm pelo menos um de seus limites tendendo ao
infinito, ou até mesmo as integrais cujas extremidades são finitas, mas a função
integrada é ilimitada em pelo menos uma ou duas das extremidades. Também é
importante ressaltar que na definição de integral definida, considera-se a função
integrada contínua num intervalo fechado e limitado. Isso pode ser da forma :
[𝑎, + ∞) , (− ∞, 𝑏), ou (− ∞, + ∞), isto é , para todo 𝑥 ≥ 𝑎 ou 𝑥 ≥ 𝑏para todo
x pertencente aos reais. Com isso, vale ressaltar também que a função integranda
é descontínua em um ponto c, tal que o c pertence a [a,b]. Tais integrais são
altamente úteis em diversos ramos da matemática como, por exemplo, na solução
de EDO's via transformada de Laplace e no estudo de probabilidade e estatística.
Formas Indeterminadas
Temos como exemplo mais comum das formas indeterminadas é dado pela
razão entre duas funções que tendem a 0 no mesmo ponto e é referido como “ a
forma indeterminada de. Para exemplificar melhor isso, podemos dizer que se 0 0 𝑥
aproximando de 0 , as proporções de , e tendem a infinito, e zero
𝑥 𝑥 3
𝑥 𝑥
𝑥^2 𝑥 1
respectivamente. Basicamente, pode assumir os valores , ou infinito. Mas,
0 0 0 1
para se fugir dessas indeterminações podemos aplicar algumas manipulações
algébricas como produtos notáveis e racionalização.
Então, dado que duas funções f(x) e g(x) ambas se aproximam de 0 quando a aproxima-se de algum ponto c, esse fato por si só não dá informações suficientes para avaliar o limite:
𝑥 𝑐
lim →
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
Exemplo de formas indeterminadas:
Representação gráfica :
Existem sete formas indeterminadas que são normalmente consideradas na literatura:
.
0 0 ,^
∞ ∞ , 0 × ∞, ∞^ − ∞ , 0
0 , 1
∞ 𝑒 ∞
0
Forma indeterminada 0^0 :
𝑥 𝑥 𝑦 =^
𝑥^2 𝑥
A forma indeterminada é encontrada regularmente em cálculo, porque com 0 0 frequência surge na avaliação de derivadas usando sua definição em termos de limite.
Integrais impróprias
Temos como principal ponto no momento calcular uma região 𝑅 que é
determinada pelo gráfico 𝑦 = e. Ao analisar o gráfico que será exposto 1 𝑥^2
abaixo, nota-se que é uma região infinita, porque torna-se uma assíntota a função, e também, porque não é claro o significado de área.
Exemplos e figuras
e de controle. As formas indeterminadas são expressões matemáticas que não podem ser resolvidas diretamente. No entanto, existem técnicas específicas, como a regra de L’Hôpital, que podem ser usadas para lidar com essas expressões.
REFERÊNCIAS
GOMES, José de Oliveira. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS : conceitos e aplicações.
- 51 f. Monografia (Especialização) - Curso de Licenciatura em Matemática,
Instituto Federal da Paraíba, Cajazeiras, 2022. Disponível em:
https://repositorio.ifpb.edu.br/xmlui/bitstream/handle/177683/2508/TCC%20-%20JOS
%C3%89%20DE%20OLIVEIRA%20GOMES.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso
em: 20 set. 2023.
KHAN ACADEMY (Brasil). Revisão de integrais impróprias. Disponível em:
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-integration-new/bc-6-13/a/improp
er-integrals-review. Acesso em: 20 set. 2023.
SOUSA, Rogele Passos Marinho David. INDETERMINAÇÕES NO CÁLCULO.
- 37 f. Monografia (Especialização) - Curso de Matemática, Instituto de Ciências
Exatas Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo
Horizonte, 2014. Disponível em:
https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/EABA-9HXHW5/1/monografia_rogele.pdf.
Acesso em: 20 set. 2023.
ROTANDO, Louis M.; KORN, Henry. The Indeterminate Form 0 ⚬. Mathematics
Magazine, [S.L.], v. 50, n. 1, p. 41, 1 jan. 1977. Informa UK Limited.
http://dx.doi.org/10.2307/2689754.
