Baixe Integrais Impróprias: Convergência e Valoração e outras Notas de estudo em PDF para Química Industrial, somente na Docsity!
Integrais Impróprias Exemplo 1: fixemos b ≥ (^) Dada a função f(x) = 1/x1 e tomemos a área A(b) 2 , da região do plano limitada pelo gráficoda função, o eixo OX e as retas x = 1 e x = b (figura ao lado). Temos então que
A área da figura limitada pelo gráficoda função, o eixo OX e a reta x = 1 (veja figura ao lado) é dada por
Voltar ao Índice Definição 1: Seja y = f(x) uma função contínua em [a, +∞ ). Dizemos que a integral imprópria de f em [a, +∞ ) converge e é igual a caso este limite exista (e seja finito), caso contrário dizemos que a integral imprópria def em [a, +∞ ) diverge. Usamos a notação: No exemplo anterior temos .Voltar ao Índice Exemplo 2: Estude a convergência da integral Temos Usando integração por partes para resolver a integral definida temosu = x ⇒ du = dx dv = exdx ⇐ v = ex Temos .
Então, Usando a regra de L´Hospital, De (1) e (2) segue-se que I converge e I = - Voltar ao Índice Exemplo 3: Estude a convergência da integral
Temos Tomando a mudança de variável t = ex^ temos dt = exdx, x = 0x = b ⇒⇒ t = 1t = e b
Usando frações parciais,
temos uma indeterminação do tipo ∞ /∞. Usando L´Hospital , Então I converge e Voltar ao Índice Exemplo 4: Determine os valores de α ∈ R para os quais a integral converge.Temos
Para α ≠ -1: Calculando o limite a seguir: Para α +1 >0, ou seja, para α > -1 temos
O domínio de f(x) é R e é uma função contínua pois trata-se de uma função racionalcujo denominador não se anula. Além disso, f(x) > 0 para todo x ∈ R. Se existe k devemos ter Sejam as integrais Temos,
Portanto existe k e k = Exemplo 6: Verifique se existe um número real k que represente o comprimento de arco π /2 + π /2 = π da espiral de equação polar r = e θ^ com θ ≤ 0. A existência de k é equivalente a ser convergente. Temos,
