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Integrais impr´oprias
A integral se chama impr´opria, se um dos limites de integra¸c˜ao ´e infinito ou a fun¸c˜ao tem um n´umero finito de descontinuidades no intervalo de integra¸c˜ao.
Defini¸c˜ao das integrais impr´oprias de I tipo
- Se f for cont´ınua para todo x ≥ a, ent˜ao ∫ (^) +∞
a
f (x)dx = lim b→+∞
∫ (^) b
a
f (x)dx
se esse limite existe.
- Se f for cont´ınua para todo x ≤ b, ent˜ao ∫ (^) b
−∞
f (x)dx = lim a→−∞
∫ (^) b
a
f (x)dx
se esse limite existe.
- Se f for cont´ınua para todos os valores de x e se c for um n´umero real qualquer, ent˜ao ∫ (^) +∞
−∞
f (x)dx = lim a→−∞
∫ (^) c
a
f (x)dx + lim b→+∞
∫ (^) b
c
f (x)dx
se esses limites existiram.
Nos dois primeiros casos, a integral impr´opria converge se o limite exis- tir; caso contr´ario, a integral impr´opria diverge. No terceiro caso, a integral impr´opria do lado esquerdo diverge se uma das duas integrais do lado direito divergir.
Fun¸c˜ao densidade de probabilidade:
D(f ) = R
f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R
−∞ f^ (x)dx^ = 1
Fun¸c˜ao densidade exponencial:
f (x) =
ke−kx, se x ≥ 0 k > 0 0 , se x < 0
Probabilidade de que o evento ira ocorrer no intervalo fechado [a, b]:
P ([a, b]) =
∫ (^) b
a
f (x)dx
Defini¸c˜ao das integrais impr´oprias de II tipo
- Se f for cont´ınua para todo x no intervalo semi-aberto `a esquerda (a, b] e se limx→a+ f (x) = ±∞, ent˜ao ∫ (^) b
a
f (x)dx = lim t→a+
∫ (^) b
t
f (x)dx
se esse limite existe.
- Se f for cont´ınua para todo x no intervalo semi-aberto `a esquerda [a, b) e se limx→b− f (x) = ±∞, ent˜ao ∫ (^) b
a
f (x)dx = lim t→b−
∫ (^) t
a
f (x)dx
se esse limite existe.
- Se f for cont´ınua em todos os valores de x no intervalo [a, b] exceto c, onde a < c < b e se limx→c |f (x)| = ∞, ent˜ao ∫ (^) b
a
f (x)dx = lim t→c−
∫ (^) t
a
f (x)dx + lim p→c+
∫ (^) b
p
f (x)dx
se esses limites existiram.
Nos dois primeiros casos, a integral impr´opria converge se o limite exis- tir; caso contr´ario, a integral impr´opria diverge. No terceiro caso, a integral impr´opria do lado esquerdo diverge se uma das duas integrais do lado direito divergir.
Teorema 1 de compara¸c˜ao (I tipo)
Suponha que f e g sejam fun¸c˜oes cont´ınuas com f (x) ≥ g(x) ≥ 0 para x ≥ a.
- Se
a f^ (x)dx^ ´e convergente, ent˜ao^
a g(x)dx^ ´e convergente.
- Se
a g(x)dx^ ´e divergente, ent˜ao^
a f^ (x)dx^ ´e divergente.
dx a^2 + x^2
a
arctg x a
+C; 16.
dx cosx
ln|ctg( x 2 + π 4 )| + C 1 , ln|tgx + secx| + C 2 ;
dx x^2 − a^2
2 a
ln|
x − a x + a
| + C(a 6 = 0); 17.
shxdx = chx + C;
dx a^2 − x^2
2 a
ln| x + a x − a
| + C(a 6 = 0); 18.
chxdx = shx + C;
dx √ x^2 + a
= ln|x +
x^2 + a| + C(a 6 = 0); 19.
dx ch^2 x
= thx + C;
dx √ a^2 − x^2
a arcsin^
x a +^ C^1 (a >^ 0), − (^1) a arccos xa + C 2 (a > 0);
dx sh^2 x
= −chx+C.
Guia para primeira prova te´orica
- Integral impr´opria
- Defini¸c˜ao das integrais impr´oprias de I tipo
- Fun¸c˜ao densidade de probabilidade, fun¸c˜ao densidade exponencial, prob- abilidade de que o evento ira ocorrer no intervalo fechado [a, b]
- Defini¸c˜ao das integrais impr´oprias de II tipo
- Teorema 1 de compara¸c˜ao (I tipo)
- Teorema 2 de compara¸c˜ao (I tipo)
- Teorema 3 de compara¸c˜ao (II tipo)
- Teorema 4 de compara¸c˜ao (II tipo)
- Tabela das integrais
Exerc´ıcios
- Calcule as seguintes integrais impr´oprias:
(a)
−∞
dx (4 − x)^2 (b)
−∞ xdx
(c)
−∞
dx x^2 + 6x + 12
- E poss´´ ıvel indicar um n´umero para representar a medida da ´area da regi˜ao `a direita da reta x = 1, abaixo do gr´afico y = 1/x, e acima do eixo OX?
- E poss´´ ıvel atribuir um n´umero finito `a medida do volume do s´olido formado pela rota¸c˜ao em torno do eixo OX, da regi˜ao do exemplo anterior?
- Determine se
0 senxdx^ ´e convergente ou divergente.
- Para determinado tipo de bateria el´etrica, a fun¸c˜ao densidade de proba- bilidade de que x horas seja o tempo de vida ´util de uma bateria escolhida ao acaso ´e dada por
f (x) =
e
− x (^60) , se x ≥ 0 0 , se x < 0
Ache a probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida
(a) entre 15 e 25 horas; (b) pelo menos 50 horas.
- Um m´odulo espacial pesa 15 toneladas na superf´ıcie terrestre. Quanto trabalho ´e necess´ario para impulsionar o m´odulo a uma distˆancia infinita da superf´ıcie da Terra? (Utiliza o raio da Terra como 4000 milhas. N˜ao considere o efeito de resistˆencia do ar e o peso do propulsor).
- Achar a ´area da regi˜ao limitada por: y = 1/
x, eixo OX, eixo OY e x = 4.
- Calcular as seguintes integrais impr´oprias:
(a)
2
dx √ x − 2 (b)
∫ (^) π/ 2 0 secxdx
(c)
0
dx x − 1
(d)
0
3 dx x^5
- Determine se a integral ´e divergente ou convergente:
(a)
−∞
dx √ (^3) x (^2) + sen 3 x
(b)
1
xdx √ (x + 1)(x + 2)^2
(c)
1
x + 7 5 x^4 + 3x^2 + 2
- Determine se a integral ´e divergente ou convergente:
(a)
8
9 dx √ (^381) − x 2
(b)
2
exdx (x − 3)^2
(c)
0
cosxdx √ (^3) x
(d)
9
e^9 xdx (x − 9)^4
(e)
9
xdx √ x − 9
- Determine se a integral ´e divergente ou convergente:
(a)
1
1 + e−x x dx
(b)
1
6 + cos^2 xdx √ (^5) x (^4) + 3
Lista dos exerc´ıcios para resolver em casa
- Calcule as seguintes integrais impr´oprias:
(a)
5
dx √ x − 1
(b)
−∞
3 xdx (3x^2 + 2)^3 (c)
−∞ xe
−x^2 dx
- Determine se ´e poss´ıvel atribuir um n´umero finito para representar a ´area da regi˜ao limitada pela curva cuja equa¸c˜ao ´e y = 1/(ex^ + e−x) e pelo eixo OX. Caso seja poss´ıvel, determine-o.
- Determine se ´e poss´ıvel atribuir um n´umero finito para representar a ´area da regi˜ao limitada pela curva cuja equa¸c˜ao ´e y = 1/(x^2 − 1), pelo eixo OX e pela reta x = 2. Caso seja poss´ıvel, determine-o.
- Prove que a integral impr´opria
−∞ x(1 +^ x
(^2) )− (^2) dx ´e convergente e a in-
tegral impr´opria
−∞ x(1 +^ x
(^2) )− (^1) dx ´e divergente.
- Para um certo tipo da lˆampada, a fun¸c˜ao densidade de probabilidade de que x horas seja o tempo de vida ´util de seu bulbo, escolhido ao acaso, ´e dada por
f (x) =
e
−
x (^40) , se x ≥ 0 0 , se x < 0 Ache a probabilidade de que o tempo de vida ´util de um bulbo escolhido ao acaso:
(a) esteja entre 1 min e 2 min; (b) pelo menos 5 min.
- Calcular as seguintes integrais impr´oprias:
(a)
0
dx √ 1 − x (b)
∫ (^) π/ 2 0 secxtgxdx (c)
0
dx x^2 − 2 x − 3
(d)
0
e−
√x dx √ x
(e)
0
xdx 1 − x
- Determine se a integral ´e divergente ou convergente:
(a)
1
2 + e−x x
dx
(b)
1
x + 1 √ x^4 − x
dx
(c)
0
tg−^1 xdx 2 + ex
(d)
0
sec^2 xdx x
x
(e)
∫ (^) π 0
sen^2 xdx √ x
(f)
1
tg−^1 xdx x^3 + 7x + 1
