MATE2 Licenciatura Engenharia Civil e Engenharia Geotécnica
Alzira Faria 1/4
1. Integrais Impróprios
A operação de integração pode ser estendida a intervalos a intervalos não limitados e/ou
a funções não limitadas recorrendo à noção de integral impróprio.
Podemos ter duas situações:
1. os limites de integração são infinitos, isto é, quando o intervalo de integração não é
limitado (Integrais Impróprios de 1º Espécie);
2. quando a função integranda não é limitada no intervalo de integração (Integrais
Impróprios de 2ª Espécie).
Por exemplo:
1. O integral ∫+∞ −
0xdxe corresponde à área
abaixo do gráfico de x
e− definida no
intervalo não limitado
[
[
+∞,0 .
2. O integral ∫1
0dx
x
1 corresponde à área abaixo do
gráfico da função não limitada x
1 definida no
intervalo
]]
1,0 .
Vamos, apenas estudar o integral de funções limitadas em domínios não limitados.
Para estudar o integral ∫+∞ −
0xdxe vamos considerar o integral no intervalo
[
]
B,0 e
verificar se existe o limite deste integral quando
+
∞→B. Assim, temos
[
]
()
(
)
11elimelimdxelimdxe B
B
B
0
x
B
B
0x
B
0x=−−−=−== −
+∞→
−
+∞→
−
+∞→
∞+ −∫∫ .
Como este limite existe e é finito podemos dizer que o integral ∫+∞ −
0xdxe é convergente
para o valor 1.
