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3. Transformada de Laplace Inversa
Como vimos anteriormente, assumimos que todas as funções f = f ( t ) são
seccionalmente contínuas em todos os intervalos finitos de [ 0 , +∞[ e de ordem
exponencial quando t →+∞.
Para este tipo de funções podemos obter a transformada de Laplace F = F ( s ), e
podemos questionar se, dada uma função G = G ( s ), existe uma função g = g ( t ) tal que
G ( ) s =L [ g ( ) t ]?
Se existir, ela será a transformada inversa de Laplace de G = G ( ) s e denota-se por
L
[ G ( s )] = g ( t ).
Definição 3.
Uma transformada inversa de Laplace de uma função F ( s ), designada por L
[ F ( s )], é
outra função f ( ) t que goza da propriedade F ( s ) =L [ f ( t )].
Exemplo 3.
Se ( )
s
F s = então L
[ F ( ) s ] =1, isto porque L[ ]
s
1 1 =.
Se ( )
s 1
F s 2
= então L
[ F ( ) s ] = sen ( ) t.
Teorema 3.
Se L [ f ( ) t ] ≡L [ g ( ) t ]e se f e g são contínuas em [ 0 , +∞[, então f ( t ) ≡ g ( ) t.
Uma dada função F ( ) s pode ter várias, uma só ou nenhuma transformada inversa de
Laplace. O teorema 3.1 garante que se F ( s )tem uma transformada inversa de Laplace
contínua, f ( ) t , então f ( ) t é a única transformada inversa, contínua, de F ( ) s. Assim, a
partir de agora assumimos que L
[ F ( s )] representa a única transformada de Laplace
inversa contínua, quando existe.
Já vimos, anteriormente, uma série de propriedades e teoremas da Transformada de
Laplace.
Podemos, em muitos casos servir-nos destas propriedades e de algumas transformadas
básicas, para obtermos com facilidade as transformadas directas e inversas de Laplace
(em vez de usar a definição de transformada, usando integração).
De referir que as transformadas aparecem para simplificar cálculos (por exemplo, de
integrais e de equações diferenciais como veremos mais tarde).
Teorema 3.
Se as transformadas inversas de Laplace de duas funções F 1 ( ) s e F 2 ( ) s existem,
então, para quaisquer constantes c 1 e c 2
L
[ c 1 F 1 ( ) s + c 2 F 2 ( ) s ] = c 1 L
[ F 1 ( s )]+ c 2 L
[ F 2 ( s )]
L
[ F ( s a )] e f 1 ( ) t
at 1
−
L
[ F ( ) s ] ( t ) f ( ) t
1
n n 1 = −
L
-1 ( )^
f ( ) udu
s
F s t
0 1
1
Seguidamente vamos falar de dois métodos úteis para o cálculo de transformadas
inversas de Laplace.
3.1. Método do completamento do quadrado
Todo o polinómio quadrático em s pode se transformado sob a forma ( )
(^2 ) a s + k + h.
Ou seja,
2 2 2
(^22)
2
(^22) 2 2 2
as k h 4 a
b c 2 a
b a s
4 a
b c 2 a
b s a
b s c a s a
b as bs c a s
onde,
2 a
b k = e 2
2 2
4 a
b h = c −.
3.2.1 Fracções Racionais Próprias D(s)
R(s)
Atendendo a que, qualquer polinómio se pode decompor em factores pode escrever-se
D( s) = as −α 1 s −α 2 ... s −α n onde
a representa o coeficiente do termo de maior grau de D(s) e
α (^) 1 , α 2 ,..., α n são as raízes (iguais ou distintas, reais ou complexas) de D(s).
Do que resulta que qualquer fracção racional própria se pode decompor numa soma de
fracções simples, isto é, dos tipos de
r s r
A
ou
[( ) ]
(^2 2) t s a b
B Cs
( r , t ∈Ν) cuja a integração é fácil.
Podemos então, calcular as raízes do denominador e de acordo com o tipo de raízes,
temos 3 casos:
- Se o denominador D(s) tiver apenas raízes reais simples α (^) 1 , α 2 ,..., α n então a função
racional própria pode-se decompor numa soma de fracções simples, da forma:
−α
−α
−α
n
n
2
2
1
1
s
A
s
A
s
A
a
D(s)
R(s)
onde A 1 ,...,An representam constantes que se podem calcular pelo método dos
coeficientes indeterminados (isto é, dar o mesmo denominador a todas as fracções e
depois igualar os numeradores do 1º e 2º membro para que os dois polinómios
sejam iguais).
- Se o denominador D(s) tiver uma raiz real α com multiplicidade k, então as fracções
simples correspondentes a esta raiz na decomposição de D(s)
R (s) são:
k
k 2
1 2
s
A
s
A
s
A
− α
−α
−α
- Se o denominador D(s) tiver as raízes complexas a ± bi com multiplicidade k, então
as fracções simples correspondentes a estas raízes na decomposição de D(s)
R (s) são:
( ) [( ) ] [( ) ]
2 2 k
k k
2 22
2 2 2 2
1 1
s a b
A B s
s a b
A B s
s a b
A Bs
K
note-se que ( s a ) b as bs c
2 2 2 − + = + +.
Exemplo 3.2.
Determine L
s 2 s 3 s
3 s 6
3 2
Usando o método das fracções simples, temos:
( ) (^ )(^ )^ s^3
C
s 1
B
s
A
ss 1 s 3
3 s 6
ss 2 s 3
3 s 6
s 2 s 3 s
3 s 6
3 2 2
C
B
A 2
3 A 6
2 A 3 B C 3
A B C 0
logo, L
s 1
s
L
4
s
L
4
s 1
L
s + 3
s 3 e 4
e 4
− = − + −.
3.3. Convolução
A transformada de Laplace de um produto de duas funções não é igual ao produto das
transformadas de Laplace das duas funções. No entanto, existe uma operação entre
funções, que, quando transformada, dá o produto das transformadas das duas funções.
Designa-se por convolução (é muito importante no cálculo de transformadas inversas).
Definição 3.3.
O produto de convolução entre duas funções f ( t )e g ( t )define-se por:
f ( ) t *g ( ) t f ( ) u g ( t u ) du
t
0
∫
Exercícios propostos
- Calcule a transformada de Laplace inversa da cada uma das seguintes funções.
1.1. ( )^
s ( s 1 )
F s
t R : 1 e
− −
2
2
s 1
s F s −
t t R : t 2 e te
− −
( s 2 ) 3
F s 2
= ; e sen ( 3 t ) 3
R :
− 2 t
s 2 s 5
F s 2
= ; e sen ( 2 t )
R :
− t
s 2 s 5
s 3 F s 2
= ; R :e ( cos ( 2 t ) sen ( 2 t ))
t
−
2 s 2
F s −
= ; R : e t
2 t −
( )
s 4 s 3 s
s 5 F s 3 2
2
e 3 e 3
R:
3 t t
− − − + −
- Determine as transformadas de Laplace inversas das funções.
Nota: L [^ (^ )]^
s
e ut a
− as
− = e L
u (^ t a )
s
e
as
= − ⎥
−
L [ f ( t a ) ( u t a )] e F ( ) s
− as − − = e L
- [ e F ( ) s ] f ( t a ) ( ut a )
as = − −
−
s
e Fs
s
= ; R :u ( t + 1 )
2
s
s
e
F s = ; R : ( t + 1 ) ( u t + 1 )
2.3. ( )^
s 4
e F s 2
3 s
−
; sen ( 2 t 6 ) ( u t 3 )
R : − −
2.4. ( )^
s 2 s 3
e F s 2
3 s
−
. e sen ( 2 ( t 3 )) ( ut 3 ) 2
R :
t 3 − −
−+
Exercícios Suplementares
1. Faça o gráfico da função f ( x ) = u ( x −π).
2. Faça o gráfico da função f (^ x )^ = u (^ x − 2 )^ − u (^ x − 3 ).
3. Determine L [ f ( t )]se ( )
0 , t 4
t ,t 4 ft
2 .
( )
3
2 4 s
s
28 s 4 s 1 e R:
−
4. Determine L [ f ( t )]se ( )
0 , t 4
t 4 ,t 4 ft
2
. 3
4 s
s
2 e R:
−
